Τα κλάσματα είναι κοινά και δεκαδικά. Όταν ο μαθητής μαθαίνει για την ύπαρξη του τελευταίου, αρχίζει να μετατρέπει ό,τι είναι δυνατό σε δεκαδική μορφή με κάθε ευκαιρία, ακόμα κι αν αυτό δεν απαιτείται.
Περίεργα, οι μαθητές γυμνασίου και οι μαθητές έχουν διαφορετικές προτιμήσεις, επειδή είναι ευκολότερο να εκτελούνται πολλές αριθμητικές πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Και οι τιμές με τις οποίες ασχολούνται οι απόφοιτοι μπορεί μερικές φορές να είναι απλώς αδύνατο να μετατραπούν σε δεκαδική μορφή χωρίς απώλεια. Ως αποτέλεσμα, και οι δύο τύποι κλασμάτων προσαρμόζονται, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, στην περίπτωση και έχουν τα δικά τους πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Ας δούμε πώς να δουλέψουμε μαζί τους.
Ορισμός
Τα κλάσματα είναι τα ίδια κλάσματα. Εάν υπάρχουν δέκα φέτες σε ένα πορτοκάλι και σας δόθηκε μία, τότε έχετε το 1/10 του φρούτου στο χέρι σας. Με μια τέτοια σημείωση, όπως στην προηγούμενη πρόταση, το κλάσμα θα ονομάζεται συνηθισμένο κλάσμα. Αν γράψετε το ίδιο με το 0, το 1 είναι δεκαδικό. Και οι δύο επιλογές είναι ίσες, αλλά έχουν τα δικά τους πλεονεκτήματα. Η πρώτη επιλογή είναι πιο βολική κατά τον πολλαπλασιασμό καιδιαίρεση, η δεύτερη - για πρόσθεση, αφαίρεση και σε πολλές άλλες περιπτώσεις.
Πώς να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε άλλη μορφή
Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα κοινό κλάσμα και θέλετε να το μετατρέψετε σε δεκαδικό. Τι πρέπει να γίνει για αυτό;
Με την ευκαιρία, πρέπει να αποφασίσετε εκ των προτέρων ότι κανένας αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί σε δεκαδική μορφή χωρίς προβλήματα. Μερικές φορές πρέπει να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα, χάνοντας έναν ορισμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων και σε πολλούς τομείς - για παράδειγμα, στις ακριβείς επιστήμες - αυτή είναι μια εντελώς απρόσιτη πολυτέλεια. Ταυτόχρονα, οι ενέργειες με δεκαδικά και συνηθισμένα κλάσματα στην Ε' τάξη επιτρέπουν μια τέτοια μεταφορά από τη μια μορφή στην άλλη χωρίς παρεμβολές, τουλάχιστον ως πρακτική.
Αν μπορείτε να πάρετε πολλαπλάσιο του 10 από τον παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με έναν ακέραιο, η μεταφορά θα περάσει χωρίς δυσκολίες: το ¾ γίνεται 0,75, το 13/20 γίνεται 0,65.
Η αντίστροφη διαδικασία είναι ακόμα πιο εύκολη, γιατί από ένα δεκαδικό κλάσμα μπορείτε πάντα να πάρετε ένα συνηθισμένο χωρίς απώλεια ακρίβειας. Για παράδειγμα, το 0,2 γίνεται 1/5 και το 0,08 γίνεται 4/25.
Εσωτερικοί μετασχηματισμοί
Πριν εκτελέσετε κοινές ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα, πρέπει να προετοιμάσετε αριθμούς για πιθανές μαθηματικές πράξεις.
Πρώτα απ' όλα, πρέπει να φέρετε όλα τα κλάσματα του παραδείγματος σε μία κοινή μορφή. Πρέπει να είναι είτε απλοί είτε δεκαδικοί. Ας κάνουμε μια κράτηση αμέσως ότι είναι πιο βολικό να κάνετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με τα πρώτα.
Κατά την προετοιμασία των αριθμών για περαιτέρω ενέργειες, θα βοηθηθείτε από έναν κανόνα που είναι γνωστός ως η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος και χρησιμοποιείται τόσο στα πρώτα χρόνια της μελέτης του μαθήματος όσο και στα ανώτερα μαθηματικά, που μελετώνται στα πανεπιστήμια.
Ιδιότητες των κλασμάτων
Ας υποθέσουμε ότι έχετε κάποια αξία. Ας πούμε τα 2/3. Τι συμβαίνει αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 3; Πάρτε 6/9. Κι αν είναι ένα εκατομμύριο; 2000000/3000000. Αλλά περιμένετε, γιατί ο αριθμός δεν αλλάζει καθόλου ποιοτικά - τα 2/3 παραμένουν ίσα με 2000000/3000000. Αλλάζει μόνο η μορφή, όχι το περιεχόμενο. Το ίδιο συμβαίνει όταν και τα δύο μέρη χωρίζονται με την ίδια τιμή. Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα του κλάσματος, η οποία θα σας βοηθήσει επανειλημμένα να εκτελέσετε ενέργειες με δεκαδικά και συνηθισμένα κλάσματα σε τεστ και εξετάσεις.
Ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό ονομάζεται επέκταση του κλάσματος και η διαίρεση ονομάζεται μείωση. Πρέπει να πω ότι η διαγραφή των ίδιων αριθμών στην κορυφή και στο κάτω μέρος κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση κλασμάτων είναι μια εκπληκτικά ευχάριστη διαδικασία (ως μέρος ενός μαθήματος μαθηματικών, φυσικά). Φαίνεται ότι η απάντηση είναι κοντά και το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί.
Ακανόνιστα κλάσματα
Ακατάλληλο κλάσμα είναι αυτό στο οποίο ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, εάν ένα ολόκληρο μέρος μπορεί να διακριθεί από αυτό, εμπίπτει σε αυτόν τον ορισμό.
Αν ένας τέτοιος αριθμός (μεγαλύτερος ή ίσος με ένα) παριστάνεται ως συνηθισμένο κλάσμα, θα λέγεταιλανθασμένος. Και αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή - σωστά. Και οι δύο τύποι είναι εξίσου βολικοί στην υλοποίηση πιθανών ενεργειών με συνηθισμένα κλάσματα. Μπορούν ελεύθερα να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν, να προστεθούν και να αφαιρεθούν.
Αν επιλεγεί ταυτόχρονα ένα ακέραιο μέρος και υπάρχει υπόλοιπο με τη μορφή κλάσματος, ο αριθμός που προκύπτει θα ονομάζεται μικτός. Στο μέλλον, θα συναντήσετε διάφορους τρόπους συνδυασμού τέτοιων δομών με μεταβλητές, καθώς και επίλυσης εξισώσεων όπου απαιτείται αυτή η γνώση.
Αριθμητικές πράξεις
Αν όλα είναι ξεκάθαρα με τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, τότε πώς να συμπεριφερόμαστε όταν πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα; Οι ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα στην 5η τάξη περιλαμβάνουν όλα τα είδη αριθμητικών πράξεων που εκτελούνται με δύο διαφορετικούς τρόπους.
Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πολύ εύκολα. Στην πρώτη περίπτωση, οι αριθμητές και οι παρονομαστές δύο κλασμάτων απλώς πολλαπλασιάζονται. Στο δεύτερο - το ίδιο πράγμα, μόνο σταυρωτά. Έτσι, ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή του δεύτερου και αντίστροφα.
Για να εκτελέσετε πρόσθεση και αφαίρεση, πρέπει να εκτελέσετε μια πρόσθετη ενέργεια - να φέρετε όλα τα στοιχεία της παράστασης σε έναν κοινό παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι τα κάτω μέρη των κλασμάτων πρέπει να αλλάξουν στην ίδια τιμή - πολλαπλάσιο και των δύο διαθέσιμων παρονομαστών. Για παράδειγμα, για 2 και 5 θα είναι 10. Για 3 και 6 - 6. Αλλά τότε τι να κάνουμε με την κορυφή; Δεν μπορούμε να το αφήσουμε όπως ήταν αν αλλάξαμε το κάτω. Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό,που είναι ο παρονομαστής. Αυτή η λειτουργία πρέπει να εκτελεστεί σε κάθε έναν από τους αριθμούς που θα προσθέσουμε ή θα αφαιρέσουμε. Ωστόσο, τέτοιες ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα στην 6η τάξη εκτελούνται ήδη "στο μηχάνημα" και δυσκολίες προκύπτουν μόνο στο αρχικό στάδιο της μελέτης του θέματος.
Σύγκριση
Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή θα είναι μεγαλύτερο. Αν τα πάνω μέρη είναι ίδια, τότε αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή θα είναι μεγαλύτερο. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τέτοιες επιτυχημένες καταστάσεις για σύγκριση σπάνια συμβαίνουν. Πιθανότατα, τόσο το πάνω όσο και το κάτω μέρος των εκφράσεων δεν θα ταιριάζουν. Στη συνέχεια, πρέπει να θυμάστε τις πιθανές ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα και να χρησιμοποιήσετε την τεχνική που χρησιμοποιείται στην πρόσθεση και την αφαίρεση. Επίσης, να θυμάστε ότι αν μιλάμε για αρνητικούς αριθμούς, τότε το μεγαλύτερο κλάσμα θα είναι μικρότερο.
Πλεονεκτήματα των κοινών κλασμάτων
Συμβαίνει οι δάσκαλοι να λένε στα παιδιά μια φράση, το περιεχόμενο της οποίας μπορεί να εκφραστεί ως εξής: όσο περισσότερες πληροφορίες δίνονται κατά τη διατύπωση της εργασίας, τόσο πιο εύκολη θα είναι η λύση. Ακούγεται περίεργο; Αλλά πραγματικά: με μεγάλο αριθμό γνωστών τιμών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε σχεδόν οποιονδήποτε τύπο, αλλά εάν παρέχονται μόνο δύο αριθμοί, μπορεί να απαιτηθούν πρόσθετες αναστοχασμοί, θα πρέπει να θυμάστε και να αποδείξετε θεωρήματα, να δώσετε επιχειρήματα υπέρ της ύπαρξής σας σωστά…
Γιατί το κάνουμε αυτό; Και επιπλέον, τα συνηθισμένα κλάσματα, παρ' όλη τη δυσκινησία τους, μπορούν να απλοποιήσουν πολύ τη ζωή.στον μαθητή, επιτρέποντας κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση να μειώσει ολόκληρες γραμμές τιμών και κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος και της διαφοράς, να βγάλει κοινά επιχειρήματα και, πάλι, να τα μειώσει.
Όταν απαιτείται η εκτέλεση κοινών ενεργειών με συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα, πραγματοποιούνται μετασχηματισμοί υπέρ του πρώτου: πώς μετατρέπετε το 3/17 σε δεκαδικό τύπο; Μόνο με απώλεια πληροφοριών, όχι αλλιώς. Αλλά το 0, το 1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως 1/10 και μετά ως 17/170. Και στη συνέχεια οι δύο αριθμοί που προκύπτουν μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν: 30/170 + 17/170=47/170.
Τα οφέλη των δεκαδικών
Εάν οι πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα είναι πιο βολικές, τότε η γραφή όλων με τη βοήθειά τους είναι εξαιρετικά άβολη, τα δεκαδικά ψηφία έχουν ένα σημαντικό πλεονέκτημα εδώ. Σύγκριση: 1748/10000 και 0,1748 Αυτή είναι η ίδια τιμή που παρουσιάζεται σε δύο διαφορετικές εκδόσεις. Φυσικά, ο δεύτερος τρόπος είναι πιο εύκολος!
Επίσης, οι δεκαδικοί είναι πιο εύκολο να αναπαρασταθούν επειδή όλα τα δεδομένα έχουν μια κοινή βάση που διαφέρει μόνο κατά τάξεις μεγέθους. Ας πούμε ότι μπορούμε εύκολα να αναγνωρίσουμε μια έκπτωση 30% και να την αξιολογήσουμε ακόμη και ως σημαντική. Θα καταλάβετε αμέσως ποιο είναι περισσότερο - 30% ή 137/379; Έτσι, τα δεκαδικά κλάσματα παρέχουν τυποποίηση των υπολογισμών.
Στο γυμνάσιο οι μαθητές λύνουν τετραγωνικές εξισώσεις. Είναι ήδη εξαιρετικά προβληματικό να εκτελέσετε ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα εδώ, καθώς ο τύπος για τον υπολογισμό των τιμών της μεταβλητής περιέχει την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος. Με την παρουσία ενός κλάσματος που δεν μπορεί να αναχθεί σε δεκαδικό, η λύση γίνεται τόσο πολύπλοκη πουείναι σχεδόν αδύνατο να υπολογιστεί η ακριβής απάντηση χωρίς αριθμομηχανή.
Έτσι, κάθε τρόπος αναπαράστασης κλασμάτων έχει τα δικά του πλεονεκτήματα στο αντίστοιχο πλαίσιο.
Φόρμες Συμμετοχής
Υπάρχουν δύο τρόποι για να γράψετε ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα: μέσω μιας οριζόντιας γραμμής, σε δύο "βαθμίδες" και μέσω μιας κάθετης (γνωστής και ως "κάθετο") - σε μια γραμμή. Όταν ένας μαθητής γράφει σε ένα σημειωματάριο, η πρώτη επιλογή είναι συνήθως πιο βολική, και επομένως πιο κοινή. Η κατανομή ενός αριθμού αριθμών σε κελιά συμβάλλει στην ανάπτυξη της προσοχής στους υπολογισμούς και τους μετασχηματισμούς. Όταν γράφετε σε μια συμβολοσειρά, μπορείτε κατά λάθος να ανακατέψετε τη σειρά των ενεργειών, να χάσετε τυχόν δεδομένα - δηλαδή να κάνετε ένα λάθος.
Πολύ συχνά στην εποχή μας υπάρχει ανάγκη να εκτυπώνουμε αριθμούς σε υπολογιστή. Μπορείτε να διαχωρίσετε κλάσματα με μια παραδοσιακή οριζόντια γραμμή χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση στο Microsoft Word 2010 και νεότερες εκδόσεις. Το γεγονός είναι ότι σε αυτές τις εκδόσεις του λογισμικού υπάρχει μια επιλογή που ονομάζεται "φόρμουλα". Εμφανίζει ένα ορθογώνιο μετασχηματιζόμενο πεδίο εντός του οποίου μπορείτε να συνδυάσετε οποιαδήποτε μαθηματικά σύμβολα, να δημιουργήσετε κλάσματα δύο και «τεσσάρων ορόφων». Στον παρονομαστή και τον αριθμητή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αγκύλες, πινακίδες λειτουργίας. Ως αποτέλεσμα, θα μπορείτε να γράψετε οποιεσδήποτε κοινές ενέργειες με συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα στην παραδοσιακή μορφή, δηλαδή όπως διδάσκονται να κάνουν στο σχολείο.
Εάν χρησιμοποιείτε το τυπικό πρόγραμμα επεξεργασίας κειμένου Σημειωματάριο, τότε τα πάνταΟι κλασματικές εκφράσεις θα πρέπει να γράφονται με κάθετο. Δυστυχώς, δεν υπάρχει άλλος τρόπος εδώ.
Συμπέρασμα
Έτσι, εξετάσαμε όλες τις βασικές ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα, οι οποίες, όπως αποδεικνύεται, δεν είναι τόσο πολλές.
Αν στην αρχή μπορεί να φανεί ότι πρόκειται για μια δύσκολη ενότητα των μαθηματικών, τότε αυτή είναι μόνο μια προσωρινή εντύπωση - θυμηθείτε, μια φορά το σκεφτήκατε για τον πίνακα πολλαπλασιασμού και ακόμη νωρίτερα - για τα συνηθισμένα βιβλία αντιγραφής και μετρώντας από ένα έως δέκα.
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι τα κλάσματα χρησιμοποιούνται παντού στην καθημερινή ζωή. Θα ασχοληθείτε με χρήματα και υπολογισμούς μηχανικής, πληροφορική και μουσικό γραμματισμό, και παντού - παντού! - θα εμφανιστούν κλασματικοί αριθμοί. Επομένως, μην είστε τεμπέληδες και μελετήστε προσεκτικά αυτό το θέμα - ειδικά επειδή δεν είναι τόσο δύσκολο.
