Ήδη στο δημοτικό σχολείο, οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με κλάσματα. Και μετά εμφανίζονται σε κάθε θέμα. Είναι αδύνατο να ξεχάσεις ενέργειες με αυτούς τους αριθμούς. Επομένως, πρέπει να γνωρίζετε όλες τις πληροφορίες για τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αυτές οι έννοιες είναι απλές, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τα πάντα με τη σειρά.
Γιατί χρειαζόμαστε τα κλάσματα;
Ο κόσμος γύρω μας αποτελείται από ολόκληρα αντικείμενα. Επομένως, δεν υπάρχει ανάγκη για μετοχές. Αλλά η καθημερινή ζωή ωθεί συνεχώς τους ανθρώπους να εργάζονται με μέρη αντικειμένων και πραγμάτων.
Για παράδειγμα, η σοκολάτα αποτελείται από πολλές φέτες. Εξετάστε την κατάσταση όπου το πλακίδιο του σχηματίζεται από δώδεκα ορθογώνια. Αν το χωρίσεις στα δύο, βγάζεις 6 μέρη. Θα χωριστεί καλά στα τρία. Αλλά σε πέντε δεν μπορεί να δοθεί ένας ακέραιος αριθμός κομματιών σοκολάτας.
Με την ευκαιρία, αυτές οι φέτες είναι ήδη κλάσματα. Και η περαιτέρω διαίρεση τους οδηγεί σε πιο σύνθετους αριθμούς.
Τι είναι ένα "κλάσμα";
Αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από μέρη του ενός. Εξωτερικά, μοιάζει με δύο αριθμούς που χωρίζονται μεταξύ τουςοριζόντια ή κάθετο. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται κλασματικό. Ο αριθμός που αναγράφεται στο επάνω μέρος (αριστερά) ονομάζεται αριθμητής. Το παρακάτω (στα δεξιά) είναι ο παρονομαστής.
Στην πραγματικότητα, η κλασματική γραμμή αποδεικνύεται ότι είναι σύμβολο διαίρεσης. Δηλαδή, ο αριθμητής μπορεί να ονομαστεί μέρισμα και ο παρονομαστής μπορεί να ονομαστεί διαιρέτης.
Τι κλάσματα υπάρχουν;
Υπάρχουν μόνο δύο τύποι αυτών στα μαθηματικά: συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Οι μαθητές εξοικειώνονται με τους πρώτους στις δημοτικές τάξεις, αποκαλώντας τους απλώς «κλάσματα». Το δεύτερο μαθαίνουν στην 5η τάξη. Τότε είναι που εμφανίζονται αυτά τα ονόματα.
Συνήθη κλάσματα - όλα αυτά που γράφονται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται με μια ράβδο. Για παράδειγμα, 4/7. Δεκαδικός είναι ένας αριθμός στον οποίο το κλασματικό μέρος έχει σημειογραφία θέσης και διαχωρίζεται από τον ακέραιο με κόμμα. Για παράδειγμα, 4, 7. Οι μαθητές πρέπει να είναι ξεκάθαροι ότι τα δύο παραδείγματα που δίνονται είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί.
Κάθε απλό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό. Αυτή η δήλωση ισχύει σχεδόν πάντα και αντίστροφα. Υπάρχουν κανόνες που σας επιτρέπουν να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως συνηθισμένο κλάσμα.
Ποιους υποτύπους έχουν αυτοί οι τύποι κλασμάτων;
Καλύτερα ξεκινήστε με χρονολογική σειρά καθώς μελετώνται. Τα κοινά κλάσματα έρχονται πρώτα. Ανάμεσά τους διακρίνονται 5 υποείδη.
- Σωστό. Ο αριθμητής του είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή.
- Λάθος. Ο αριθμητής της είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.
- Μειώσιμο/μη αναγώσιμο. Μπορεί να είναι σανσωστό και λάθος. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες. Αν υπάρχουν, τότε υποτίθεται ότι διαιρούν και τα δύο μέρη του κλάσματος, δηλαδή το μειώνουν.
- Μικτό. Ένας ακέραιος εκχωρείται στο συνηθισμένο σωστό (λανθασμένο) κλασματικό μέρος του. Και στέκεται πάντα στα αριστερά.
-
Σύνθετο. Σχηματίζεται από δύο κλάσματα που χωρίζονται το ένα στο άλλο. Δηλαδή, περιέχει τρία κλασματικά χαρακτηριστικά ταυτόχρονα.
Τα δεκαδικά κλάσματα έχουν μόνο δύο υποτύπους:
- τελικό, δηλαδή εκείνο του οποίου το κλασματικό μέρος είναι περιορισμένο (έχει τέλος);
- άπειρο - ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν (μπορούν να γραφτούν ατελείωτα).
Πώς να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;
Αν αυτός είναι ένας πεπερασμένος αριθμός, τότε εφαρμόζεται ο συσχετισμός που βασίζεται στον κανόνα - όπως ακούω, έτσι γράφω. Δηλαδή, πρέπει να το διαβάσετε σωστά και να το γράψετε, αλλά χωρίς κόμμα, αλλά με κλασματική γραμμή.
Ως υπόδειξη για τον απαιτούμενο παρονομαστή, να θυμάστε ότι είναι πάντα ένα και μερικά μηδενικά. Τα τελευταία πρέπει να γραφτούν τόσα όσες και τα ψηφία στο κλασματικό μέρος του εν λόγω αριθμού.
Πώς να μετατρέψετε δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα, αν λείπει ολόκληρο το μέρος τους, δηλαδή ίσο με μηδέν; Για παράδειγμα, 0,9 ή 0,05 Μετά την εφαρμογή του καθορισμένου κανόνα, αποδεικνύεται ότι πρέπει να γράψετε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς. Δεν ενδείκνυται όμως. Απομένει να γράψουμε μόνο τα κλασματικά μέρη. Στον πρώτο αριθμόο παρονομαστής θα είναι ίσος με 10, ο δεύτερος θα έχει 100. Δηλαδή, τα υποδεικνυόμενα παραδείγματα θα έχουν αριθμούς ως απαντήσεις: 9/10, 5/100. Επιπλέον, το τελευταίο μπορεί να μειωθεί κατά 5. Επομένως, το αποτέλεσμα για αυτό θα πρέπει να γραφεί 1/20.
Πώς να φτιάξετε ένα συνηθισμένο κλάσμα από ένα δεκαδικό αν το ακέραιο μέρος του είναι διαφορετικό από το μηδέν; Για παράδειγμα, 5, 23 ή 13, 00108. Και τα δύο παραδείγματα διαβάζουν το ακέραιο μέρος και γράφουν την τιμή του. Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι 5, στη δεύτερη - 13. Στη συνέχεια, πρέπει να προχωρήσετε στο κλασματικό μέρος. Με αυτά είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η ίδια λειτουργία. Ο πρώτος αριθμός εμφανίζεται 23/100, ο δεύτερος - 108/100000. Η δεύτερη τιμή πρέπει να μειωθεί ξανά. Η απάντηση είναι μικτά κλάσματα: 5 23/100 και 13 27/25000.
Πώς να μετατρέψω ένα άπειρο δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;
Αν είναι μη περιοδική, τότε μια τέτοια λειτουργία δεν μπορεί να εκτελεστεί. Αυτό το γεγονός οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε δεκαδικό κλάσμα μετατρέπεται πάντα είτε σε τελικό είτε σε περιοδικό.
Το μόνο πράγμα που μπορείτε να κάνετε με ένα τέτοιο κλάσμα είναι να το στρογγυλοποιήσετε. Αλλά τότε το δεκαδικό θα είναι περίπου ίσο με αυτό το άπειρο. Μπορεί ήδη να μετατραπεί σε συνηθισμένο. Αλλά η αντίστροφη διαδικασία: η μετατροπή σε δεκαδικό - δεν θα δώσει ποτέ την αρχική τιμή. Δηλαδή, άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα. Αυτό είναι κάτι που πρέπει να θυμάστε.
Πώς να γράψετε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα;
Σε αυτούς τους αριθμούς, μετά την υποδιαστολή, εμφανίζονται πάντα ένα ή περισσότερα ψηφία, τα οποία επαναλαμβάνονται. Ονομάζονται περίοδοι. Για παράδειγμα, 03(3). Εδώ «3» στην περίοδο. Ταξινομούνται ως ορθολογικά επειδή μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.
Όσοι έχουν συναντήσει περιοδικά κλάσματα γνωρίζουν ότι μπορεί να είναι καθαρά ή μικτά. Στην πρώτη περίπτωση, η περίοδος ξεκινά αμέσως από το κόμμα. Στο δεύτερο, το κλασματικό μέρος αρχίζει με οποιουσδήποτε αριθμούς και μετά αρχίζει η επανάληψη.
Ο κανόνας σύμφωνα με τον οποίο πρέπει να γράψετε ένα άπειρο δεκαδικό ως συνηθισμένο κλάσμα θα είναι διαφορετικός για αυτούς τους δύο τύπους αριθμών. Είναι πολύ εύκολο να γράψουμε καθαρά περιοδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Όπως και με τα τελευταία, πρέπει να μετατραπούν: γράψτε την περίοδο στον αριθμητή και ο αριθμός 9 θα είναι ο παρονομαστής, επαναλαμβάνοντας όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο.
Για παράδειγμα, 0, (5). Ο αριθμός δεν έχει ακέραιο μέρος, επομένως πρέπει να προχωρήσετε αμέσως στο κλασματικό μέρος. Γράψε 5 στον αριθμητή και 9 στον παρονομαστή. Δηλαδή, η απάντηση θα είναι το κλάσμα 5/9.
Ο κανόνας για το πώς να γράψετε ένα συνηθισμένο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα που είναι μικτό.
- Μετρήστε τα κλασματικά ψηφία μέχρι την περίοδο. Θα δηλώνουν τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή.
- Προβολή της διάρκειας της περιόδου. Τόσο το 9 θα έχει παρονομαστή.
- Γράψτε τον παρονομαστή: πρώτα εννιά και μετά μηδενικά.
- Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να γράψετε τη διαφορά δύο αριθμών. Όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή θα μειωθούν, μαζί με την τελεία. Αφαιρείται - είναι χωρίς τελεία.
Για παράδειγμα, 0, 5(8) - γράψτε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα. Το κλασματικό μέρος πριν από την περίοδο είναιένα ψηφίο. Άρα το μηδέν θα είναι ένα. Υπάρχει επίσης μόνο ένα ψηφίο στην περίοδο - 8. Δηλαδή, υπάρχει μόνο ένα εννέα. Δηλαδή στον παρονομαστή πρέπει να γράψετε 90.
Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή από το 58, πρέπει να αφαιρέσετε το 5. Αποδεικνύεται 53. Για παράδειγμα, η απάντηση θα πρέπει να γραφτεί 53/90.
Πώς μετατρέπετε τα κοινά κλάσματα σε δεκαδικά;
Η απλούστερη επιλογή είναι ένας αριθμός του οποίου ο παρονομαστής είναι ο αριθμός 10, 100 και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια, ο παρονομαστής απλώς απορρίπτεται και τοποθετείται κόμμα μεταξύ του κλασματικού και του ακέραιου μέρους.
Υπάρχουν περιπτώσεις που ο παρονομαστής μετατρέπεται εύκολα σε 10, 100 κ.λπ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 20, 25. Αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε με 2, 5 και 4 αντίστοιχα. Απαιτείται μόνο πολλαπλασιασμός όχι μόνο για τον παρονομαστή, αλλά και για τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό.
Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας είναι χρήσιμος: διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να λάβετε δύο απαντήσεις: ένα τελικό ή ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Ενέργειες με κοινά κλάσματα
Πρόσθεση και αφαίρεση
Οι μαθητές τους γνωρίζουν πριν από τους άλλους. Και στην αρχή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές και μετά διαφορετικούς. Οι γενικοί κανόνες μπορούν να περιοριστούν σε αυτό το σχέδιο.
- Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.
- Καταγράψτε πρόσθετους παράγοντες σε όλα τα κοινά κλάσματα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους παράγοντες που ορίζονται για αυτούς.
- Προσθέστε (αφαιρέστε) τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τον κοινό παρονομαστή χωρίςαλλαγές.
- Αν ο αριθμητής του minuend είναι μικρότερος από το subtrahend, τότε πρέπει να μάθετε αν έχουμε έναν μικτό αριθμό ή ένα σωστό κλάσμα.
- Στην πρώτη περίπτωση, το ακέραιο μέρος πρέπει να παίρνει ένα. Προσθέστε έναν παρονομαστή στον αριθμητή ενός κλάσματος. Και μετά κάντε την αφαίρεση.
- Στο δεύτερο - είναι απαραίτητο να εφαρμόσετε τον κανόνα της αφαίρεσης από έναν μικρότερο αριθμό σε έναν μεγαλύτερο. Δηλαδή, αφαιρέστε το συντελεστή του minuend από το συντελεστή του subtrahend και βάλτε το σύμβολο "-" ως απόκριση.
- Δείτε προσεκτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης). Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα επιλέξει ολόκληρο το τμήμα. Δηλαδή, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
Για την εφαρμογή τους, τα κλάσματα δεν χρειάζεται να ανάγονται σε κοινό παρονομαστή. Αυτό διευκολύνει την ανάληψη δράσης. Αλλά πρέπει ακόμα να ακολουθούν τους κανόνες.
- Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, είναι απαραίτητο να λαμβάνονται υπόψη οι αριθμοί σε αριθμητές και παρονομαστές. Εάν οποιοσδήποτε αριθμητής και παρονομαστής έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορούν να μειωθούν.
- Πολλαπλασιασμός αριθμητών.
- Πολλαπλασιασμός παρονομαστών.
- Αν το αποτέλεσμα είναι μειωμένο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα απλοποιηθεί ξανά.
- Κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και τον διαιρέτη (δεύτερο κλάσμα) με ένα αντίστροφο (ανταλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή).
- Στη συνέχεια προχωρήστε όπως στον πολλαπλασιασμό (ξεκινώντας από το βήμα 1).
- Σε εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε (διαιρέσετε) με έναν ακέραιο, τον τελευταίοπρέπει να γράφεται ως ακατάλληλο κλάσμα. Δηλαδή, με παρονομαστή 1. Στη συνέχεια, προχωρήστε όπως περιγράφεται παραπάνω.
Δεκαδικές πράξεις
Πρόσθεση και αφαίρεση
Φυσικά, μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα. Και ενεργήστε σύμφωνα με το ήδη περιγραφόμενο σχέδιο. Αλλά μερικές φορές είναι πιο βολικό να ενεργείτε χωρίς αυτή τη μετάφραση. Τότε οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους θα είναι ακριβώς οι ίδιοι.
- Εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού, δηλαδή μετά την υποδιαστολή. Εκχωρήστε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν σε αυτό.
- Γράψτε κλάσματα έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα.
- Προσθήκη (αφαίρεση) όπως φυσικοί αριθμοί.
- Κατάργηση του κόμματος.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
Είναι σημαντικό να μην προσθέτετε μηδενικά εδώ. Τα κλάσματα υποτίθεται ότι αφήνονται όπως δίνονται στο παράδειγμα. Και μετά πηγαίνετε σύμφωνα με το σχέδιο.
- Για πολλαπλασιασμό, γράψτε τα κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο, αγνοώντας τα κόμματα.
- Πολλαπλασιάστε σαν φυσικούς αριθμούς.
- Βάλτε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας από το δεξί άκρο της απάντησης τόσα ψηφία όσα είναι στα κλασματικά μέρη και των δύο παραγόντων.
- Για διαίρεση, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον διαιρέτη: να τον κάνετε φυσικό αριθμό. Δηλαδή πολλαπλασιάστε το με 10, 100 κ.λπ., ανάλογα με το πόσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη.
- Πολλαπλασιάστε το μέρισμα με τον ίδιο αριθμό.
- Διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό.
- Βάλτε κόμμα στην απάντηση τη στιγμή που τελειώνει η διαίρεση του ακέραιου μέρους.
Τι γίνεται αν υπάρχουν και τα δύο είδη κλασμάτων σε ένα παράδειγμα;
Ναι, στα μαθηματικά υπάρχουν συχνά παραδείγματα στα οποία πρέπει να κάνετε πράξεις σε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα. Πρέπει να σταθμίσετε αντικειμενικά τους αριθμούς και να επιλέξετε τον καλύτερο.
Πρώτος τρόπος: αντιπροσωπεύστε τα συνηθισμένα δεκαδικά
Είναι κατάλληλο εάν η διαίρεση ή η μετατροπή καταλήγουν σε πεπερασμένα κλάσματα. Εάν τουλάχιστον ένας αριθμός δίνει ένα περιοδικό μέρος, τότε αυτή η τεχνική απαγορεύεται. Επομένως, ακόμα κι αν δεν σας αρέσει να εργάζεστε με συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετράτε.
Δεύτερος τρόπος: γράψτε τα δεκαδικά κλάσματα ως κοινά κλάσματα
Αυτή η τεχνική είναι βολική εάν υπάρχουν 1-2 ψηφία μετά την υποδιαστολή. Εάν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, μπορεί να προκύψει ένα πολύ μεγάλο συνηθισμένο κλάσμα και οι δεκαδικές εγγραφές θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε την εργασία γρηγορότερα και ευκολότερα. Επομένως, θα πρέπει πάντα να αξιολογείτε νηφάλια την εργασία και να επιλέγετε την απλούστερη μέθοδο λύσης.
