Τα συνηθισμένα κλάσματα χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν την αναλογία ενός μέρους προς ένα σύνολο. Για παράδειγμα, ένα κέικ μοιράστηκε σε πέντε παιδιά, οπότε το καθένα πήρε το ένα πέμπτο της τούρτας (1/5).
Τα συνηθισμένα κλάσματα είναι συμβολισμοί της μορφής a/b, όπου a και b είναι φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμητής είναι ο πρώτος ή ο επάνω αριθμός και ο παρονομαστής είναι ο δεύτερος ή ο κάτω αριθμός. Ο παρονομαστής δείχνει τον αριθμό των μερών με τα οποία διαιρέθηκε το σύνολο και ο αριθμητής δείχνει τον αριθμό των μερών που λαμβάνονται.
Ιστορία κοινών κλασμάτων
Τα κλάσματα αναφέρονται για πρώτη φορά σε χειρόγραφα του 8ου αιώνα, πολύ αργότερα - τον 17ο αιώνα - θα ονομαστούν «σπασμένοι αριθμοί». Αυτοί οι αριθμοί ήρθαν σε εμάς από την Αρχαία Ινδία, στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκαν από τους Άραβες και μέχρι τον 12ο αιώνα εμφανίστηκαν μεταξύ των Ευρωπαίων.
Αρχικά, τα συνηθισμένα κλάσματα είχαν την ακόλουθη μορφή: 1/2, 1/3, 1/4 κ.λπ. Αυτά τα κλάσματα, που είχαν μια μονάδα στον αριθμητή και σημείωσαν κλάσματα ενός συνόλου, ονομάζονταν βασικά. Πολλοί αιώνες αργότεραοι Έλληνες, και μετά από αυτούς οι Ινδοί, άρχισαν να χρησιμοποιούν άλλα κλάσματα, μέρη των οποίων μπορούσαν να αποτελούνται από οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς.
Ταξινόμηση κοινών κλασμάτων
Υπάρχουν σωστά και ακατάλληλα κλάσματα. Οι σωστές είναι αυτές στις οποίες ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή και οι λάθος είναι αντίστροφα.
Κάθε κλάσμα είναι το αποτέλεσμα ενός πηλίκου, επομένως η κλασματική γραμμή μπορεί να αντικατασταθεί με ασφάλεια με ένα πρόσημο διαίρεσης. Η εγγραφή αυτού του τύπου χρησιμοποιείται όταν η διαίρεση δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί πλήρως. Αναφερόμενοι στο παράδειγμα στην αρχή του άρθρου, ας πούμε ότι το παιδί παίρνει μέρος της τούρτας, όχι ολόκληρη τη λιχουδιά.
Αν ένας αριθμός έχει τόσο σύνθετο συμβολισμό όπως το 2 3/5 (δύο ακέραιοι αριθμοί και τρία πέμπτα), τότε είναι μικτός, αφού ένας φυσικός αριθμός έχει επίσης ένα κλασματικό μέρος. Όλα τα ακατάλληλα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν ελεύθερα σε μεικτούς αριθμούς διαιρώντας τον αριθμητή εξ ολοκλήρου με τον παρονομαστή (έτσι, εκχωρείται ολόκληρο το μέρος), το υπόλοιπο γράφεται στη θέση του αριθμητή με έναν υπό όρους παρονομαστή. Ας πάρουμε ως παράδειγμα το κλάσμα 77/15. Διαιρούμε το 77 με το 15, παίρνουμε τον ακέραιο μέρος 5 και το υπόλοιπο 2. Επομένως, παίρνουμε τον μικτό αριθμό 5 2/15 (πέντε ακέραιοι αριθμοί και δύο δεκαπέντε).
Μπορείτε επίσης να εκτελέσετε την αντίστροφη λειτουργία - όλοι οι μικτοί αριθμοί μετατρέπονται εύκολα σε λανθασμένους. Πολλαπλασιάζουμε τον φυσικό αριθμό (ακέραιο μέρος) με τον παρονομαστή και τον προσθέτουμε με τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Ας κάνουμε τα παραπάνω με το κλάσμα 5 2/15. Πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 15, παίρνουμε 75. Στη συνέχεια προσθέτουμε 2 στον αριθμό που προκύπτει, παίρνουμε 77. Αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο, και εδώ είναι το κλάσμα του επιθυμητού τύπου - 77/15.
Μείωση των συνηθισμένωνκλάσματα
Τι συνεπάγεται η πράξη αναγωγής κλασμάτων; Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν μη μηδενικό αριθμό, ο οποίος θα είναι ο κοινός διαιρέτης. Σε ένα παράδειγμα, μοιάζει με αυτό: Το 5/10 μπορεί να μειωθεί κατά 5. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται πλήρως με τον αριθμό 5 και προκύπτει το κλάσμα 1/2. Εάν είναι αδύνατο να μειωθεί ένα κλάσμα, τότε αυτό ονομάζεται μη αναγώγιμο.
Για να είναι ίσα τα κλάσματα της μορφής m/n και p/q, πρέπει να ισχύει η ακόλουθη ισότητα: mq=np. Κατά συνέπεια, τα κλάσματα δεν θα είναι ίσα εάν δεν ικανοποιείται η ισότητα. Τα κλάσματα συγκρίνονται επίσης. Από τα κλάσματα με ίσους παρονομαστές, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο. Αντίθετα, μεταξύ των κλασμάτων με ίσους αριθμητές, αυτό με τον μεγαλύτερο παρονομαστή είναι μικρότερο. Δυστυχώς, όλα τα κλάσματα δεν μπορούν να συγκριθούν με αυτόν τον τρόπο. Συχνά, για να συγκρίνετε κλάσματα, πρέπει να τα φέρετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή (LCD).
NOZ
Ας το εξετάσουμε με ένα παράδειγμα: πρέπει να συγκρίνουμε τα κλάσματα 1/3 και 5/12. Εργαζόμαστε με παρονομαστές, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) για τους αριθμούς 3 και 12 - 12. Στη συνέχεια, ας στραφούμε στους αριθμητές. Διαιρούμε το LCM με τον πρώτο παρονομαστή, παίρνουμε τον αριθμό 4 (αυτός είναι ένας πρόσθετος παράγοντας). Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 4 με τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, έτσι εμφανίστηκε ένα νέο κλάσμα 4/12. Επιπλέον, καθοδηγούμενοι από απλούς βασικούς κανόνες, μπορούμε εύκολα να συγκρίνουμε κλάσματα: 4/12 < 5/12, που σημαίνει 1/3 < 5/12.
Να θυμάστε: όταν ο αριθμητής είναι μηδέν, τότε ολόκληρο το κλάσμα είναι μηδέν. Αλλά ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι ίσος με το μηδέν, αφού δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Πότεο παρονομαστής είναι ίσος με ένα, τότε η τιμή ολόκληρου του κλάσματος είναι ίση με τον αριθμητή. Αποδεικνύεται ότι οποιοσδήποτε αριθμός αναπαρίσταται ελεύθερα ως αριθμητής και παρονομαστής της ενότητας: 5/1, 4/1, και ούτω καθεξής.
Αριθμητικές πράξεις με κλάσματα
Σύγκριση των κλασμάτων συζητήθηκε παραπάνω. Ας στραφούμε στη λήψη του αθροίσματος, της διαφοράς, του γινομένου και των μερικών κλασμάτων:
Η πρόσθεση ή η αφαίρεση εκτελείται μόνο μετά από αναγωγή των κλασμάτων σε NOZ. Μετά από αυτό, οι αριθμητές προστίθενται ή αφαιρούνται και γράφονται με τον παρονομαστή αμετάβλητο: 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7
- Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων είναι κάπως διαφορετικός: λειτουργούν χωριστά με αριθμητές και μετά με παρονομαστές: 5/71/7=(51) / (77)=5/49.
- Για να διαιρέσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο με το αντίστροφο του δεύτερου (τα αντίστροφα είναι 5/7 και 7/5). Έτσι: 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
Πρέπει να γνωρίζετε ότι όταν εργάζεστε με μεικτούς αριθμούς, οι πράξεις εκτελούνται χωριστά με ακέραια μέρη και χωριστά με κλασματικά: 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (οκτώ ακέραιοι και έξι έβδομα). Σε αυτήν την περίπτωση, προσθέσαμε το 5 και το 3, μετά το 5/7 με το 1/7. Για πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, θα πρέπει να μεταφράσετε μεικτούς αριθμούς και να εργαστείτε με ακατάλληλα κλάσματα.
Πιθανότατα, αφού διαβάσατε αυτό το άρθρο, έχετε μάθει τα πάντα για τα συνηθισμένα κλάσματα, από το ιστορικό της εμφάνισής τους έως τις αριθμητικές πράξεις. Ελπίζουμε ότι όλες οι απορίες σας έχουν διευθετηθεί.
