Κατά τη μελέτη της συμπεριφοράς των αερίων στη φυσική, συχνά προκύπτουν προβλήματα για τον προσδιορισμό της αποθηκευμένης ενέργειας σε αυτά, η οποία θεωρητικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτελέσει κάποια χρήσιμη εργασία. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε το ερώτημα ποιοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της εσωτερικής ενέργειας ενός ιδανικού αερίου.
Η ιδέα ενός ιδανικού αερίου
Η σαφής κατανόηση της έννοιας ενός ιδανικού αερίου είναι σημαντική κατά την επίλυση προβλημάτων με συστήματα σε αυτήν την κατάσταση συνάθροισης. Οποιοδήποτε αέριο παίρνει το σχήμα και τον όγκο του δοχείου στο οποίο τοποθετείται, ωστόσο, δεν είναι κάθε αέριο ιδανικό. Για παράδειγμα, ο αέρας μπορεί να θεωρηθεί μείγμα ιδανικών αερίων, ενώ οι υδρατμοί όχι. Ποια είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των πραγματικών αερίων και του ιδανικού μοντέλου τους;
Η απάντηση στην ερώτηση θα είναι τα ακόλουθα δύο χαρακτηριστικά:
- η αναλογία μεταξύ της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας των μορίων και των ατόμων που αποτελούν το αέριο,
- αναλογία μεταξύ των γραμμικών μεγεθών των σωματιδίωναέριο και η μέση απόσταση μεταξύ τους.
Ένα αέριο θεωρείται ιδανικό μόνο εάν η μέση κινητική ενέργεια των σωματιδίων του είναι ασύγκριτα μεγαλύτερη από την ενέργεια δέσμευσης μεταξύ τους. Η διαφορά μεταξύ αυτών των ενεργειών είναι τέτοια που μπορούμε να υποθέσουμε ότι η αλληλεπίδραση μεταξύ των σωματιδίων απουσιάζει εντελώς. Επίσης, ένα ιδανικό αέριο χαρακτηρίζεται από την απουσία διαστάσεων των σωματιδίων του, ή μάλλον, αυτές οι διαστάσεις μπορούν να αγνοηθούν, καθώς είναι πολύ μικρότερες από τις μέσες αποστάσεις μεταξύ των σωματιδίων.
Καλά εμπειρικά κριτήρια για τον προσδιορισμό της ιδανικότητας ενός συστήματος αερίου είναι τα θερμοδυναμικά χαρακτηριστικά του όπως η θερμοκρασία και η πίεση. Εάν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από 300 K και το δεύτερο είναι μικρότερο από 1 ατμόσφαιρα, τότε οποιοδήποτε αέριο μπορεί να θεωρηθεί ιδανικό.
Ποια είναι η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου;
Προτού γράψετε τον τύπο για την εσωτερική ενέργεια ενός ιδανικού αερίου, πρέπει να γνωρίσετε αυτό το χαρακτηριστικό πιο κοντά.
Στη θερμοδυναμική, η εσωτερική ενέργεια συνήθως συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα U. Στη γενική περίπτωση, προσδιορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:
U=H - PV
Όπου H είναι η ενθαλπία του συστήματος, τα P και V είναι πίεση και όγκος.
Στη φυσική της έννοια, η εσωτερική ενέργεια αποτελείται από δύο συστατικά: την κινητική και τη δυναμική. Το πρώτο σχετίζεται με διάφορα είδη κίνησης των σωματιδίων του συστήματος και το δεύτερο - με την αλληλεπίδραση δύναμης μεταξύ τους. Εάν εφαρμόσουμε αυτόν τον ορισμό στην έννοια ενός ιδανικού αερίου, το οποίο δεν έχει δυναμική ενέργεια, τότε η τιμή του U σε οποιαδήποτε κατάσταση του συστήματος θα είναι ακριβώς ίση με την κινητική του ενέργεια, δηλαδή:
U=Ek.
Παραγωγή του τύπου εσωτερικής ενέργειας
Παραπάνω, διαπιστώσαμε ότι για να το προσδιορίσουμε για ένα σύστημα με ιδανικό αέριο, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε την κινητική του ενέργεια. Από το μάθημα της γενικής φυσικής είναι γνωστό ότι η ενέργεια ενός σωματιδίου μάζας m, που κινείται προς τα εμπρός προς μια ορισμένη κατεύθυνση με ταχύτητα v, καθορίζεται από τον τύπο:
Ek1=mv2/2.
Μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε σωματίδια αερίου (άτομα και μόρια), ωστόσο, πρέπει να γίνουν ορισμένες παρατηρήσεις.
Πρώτον, η ταχύτητα v πρέπει να γίνει κατανοητή ως κάποια μέση τιμή. Το γεγονός είναι ότι τα σωματίδια αερίου κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες σύμφωνα με την κατανομή Maxwell-Boltzmann. Το τελευταίο καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της μέσης ταχύτητας, η οποία δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου εάν δεν υπάρχουν εξωτερικές επιρροές στο σύστημα.
Δεύτερον, ο τύπος για το Ek1 υποθέτει ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας. Τα σωματίδια αερίου μπορούν να κινηθούν και προς τις τρεις κατευθύνσεις, αλλά και να περιστρέφονται ανάλογα με τη δομή τους. Για να ληφθεί υπόψη ο βαθμός ελευθερίας z, θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με Ek1, π.χ.:
Ek1z=z/2mv2.
Η κινητική ενέργεια ολόκληρου του συστήματος Ek είναι N φορές μεγαλύτερη από το Ek1z, όπου N είναι ο συνολικός αριθμός των σωματιδίων αερίου. Τότε για το U παίρνουμε:
U=z/2Nmv2.
Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, μια αλλαγή στην εσωτερική ενέργεια ενός αερίου είναι δυνατή μόνο εάν ο αριθμός των σωματιδίων N αλλάξει σεσύστημα ή η μέση ταχύτητά τους v.
Εσωτερική ενέργεια και θερμοκρασία
Εφαρμόζοντας τις διατάξεις της μοριακής κινητικής θεωρίας ενός ιδανικού αερίου, μπορούμε να λάβουμε τον ακόλουθο τύπο για τη σχέση μεταξύ της μέσης κινητικής ενέργειας ενός σωματιδίου και της απόλυτης θερμοκρασίας:
mv2/2=1/2kBT.
Εδώ kB είναι η σταθερά Boltzmann. Αντικαθιστώντας αυτήν την ισότητα με τον τύπο για το U που λαμβάνεται στην παραπάνω παράγραφο, καταλήγουμε στην ακόλουθη έκφραση:
U=z/2NkBT.
Αυτή η έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί ως προς την ποσότητα της ουσίας n και της σταθεράς αερίου R με την ακόλουθη μορφή:
U=z/2nR T.
Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, μια αλλαγή στην εσωτερική ενέργεια ενός αερίου είναι δυνατή εάν αλλάξει η θερμοκρασία του. Οι τιμές U και T εξαρτώνται μεταξύ τους γραμμικά, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης U(T) είναι μια ευθεία γραμμή.
Πώς επηρεάζει η δομή ενός σωματιδίου αερίου την εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος;
Η δομή ενός σωματιδίου αερίου (μορίου) αναφέρεται στον αριθμό των ατόμων που το αποτελούν. Παίζει καθοριστικό ρόλο όταν αντικαθιστά τον αντίστοιχο βαθμό ελευθερίας z στον τύπο για το U. Εάν το αέριο είναι μονοατομικό, ο τύπος για την εσωτερική ενέργεια του αερίου γίνεται:
U=3/2nRT.
Από πού προήλθε η τιμή z=3; Η εμφάνισή του συνδέεται με μόνο τρεις βαθμούς ελευθερίας που έχει ένα άτομο, αφού μπορεί να κινηθεί μόνο σε μία από τις τρεις χωρικές κατευθύνσεις.
Εάν είναι διατομικήμόριο αερίου, τότε η εσωτερική ενέργεια πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
U=5/2nRT.
Όπως μπορείτε να δείτε, ένα διατομικό μόριο έχει ήδη 5 βαθμούς ελευθερίας, 3 από τους οποίους είναι μεταφορικοί και 2 περιστροφικοί (σύμφωνα με τη γεωμετρία του μορίου, μπορεί να περιστρέφεται γύρω από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες).
Τέλος, εάν το αέριο είναι τρία ή περισσότερα άτομα, τότε η ακόλουθη έκφραση για το U είναι αληθής:
U=3nRT.
Τα πολύπλοκα μόρια έχουν 3 μεταφορικούς και 3 περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας.
Παράδειγμα προβλήματος
Κάτω από το έμβολο υπάρχει ένα μονοατομικό αέριο σε πίεση 1 ατμόσφαιρας. Ως αποτέλεσμα της θέρμανσης, το αέριο επεκτάθηκε έτσι ώστε ο όγκος του αυξήθηκε από 2 λίτρα σε 3. Πώς άλλαξε η εσωτερική ενέργεια του συστήματος αερίου εάν η διαδικασία διαστολής ήταν ισόβαρη.
Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, οι τύποι που δίνονται στο άρθρο δεν αρκούν. Είναι απαραίτητο να υπενθυμίσουμε την εξίσωση κατάστασης για ένα ιδανικό αέριο. Φαίνεται όπως παρακάτω.
Δεδομένου ότι το έμβολο κλείνει τον κύλινδρο με αέριο, η ποσότητα της ουσίας n παραμένει σταθερή κατά τη διαδικασία διαστολής. Κατά τη διάρκεια μιας ισοβαρικής διαδικασίας, η θερμοκρασία αλλάζει σε ευθεία αναλογία με τον όγκο του συστήματος (νόμος του Charles). Αυτό σημαίνει ότι ο παραπάνω τύπος θα ήταν:
PΔV=nRΔT.
Τότε η έκφραση για την εσωτερική ενέργεια ενός μονατομικού αερίου θα έχει τη μορφή:
ΔU=3/2PΔV.
Αντικαθιστώντας σε αυτήν την εξίσωση τις τιμές της μεταβολής της πίεσης και του όγκου σε μονάδες SI, παίρνουμε την απάντηση: ΔU ≈ 152 J.
