Ανισότητες και συστήματα ανισοτήτων είναι ένα από τα θέματα που διδάσκονται στην άλγεβρα γυμνασίου. Όσον αφορά τη δυσκολία, δεν είναι και το πιο δύσκολο, γιατί έχει απλούς κανόνες (για αυτούς λίγο αργότερα). Κατά κανόνα, οι μαθητές μαθαίνουν τη λύση συστημάτων ανισοτήτων αρκετά εύκολα. Αυτό οφείλεται και στο γεγονός ότι οι δάσκαλοι απλώς «εκπαιδεύουν» τους μαθητές τους σε αυτό το θέμα. Και αυτό δεν μπορούν να μην το κάνουν, γιατί μελετάται στο μέλλον με τη χρήση άλλων μαθηματικών μεγεθών, και ελέγχεται και για την ΟΓΕ και την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Στα σχολικά εγχειρίδια, το θέμα των ανισοτήτων και των συστημάτων ανισοτήτων καλύπτεται με μεγάλη λεπτομέρεια, οπότε αν πρόκειται να το μελετήσετε, τότε είναι καλύτερο να καταφύγετε σε αυτά. Αυτό το άρθρο είναι μόνο μια παράφραση μεγάλου υλικού και ενδέχεται να περιέχει ορισμένες παραλείψεις.
Η έννοια ενός συστήματος ανισοτήτων
Αν στραφούμε στην επιστημονική γλώσσα, μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του «συστήματοςανισότητες". Αυτό είναι ένα τόσο μαθηματικό μοντέλο που αντιπροσωπεύει πολλές ανισότητες. Φυσικά, αυτό το μοντέλο απαιτεί μια λύση και θα είναι η γενική απάντηση για όλες τις ανισότητες του συστήματος που προτείνονται στην εργασία (συνήθως γράφεται έτσι, για παράδειγμα: "Λύστε το σύστημα των ανισώσεων 4 x + 1 > 2 και 30 - x > 6… ").
Συστήματα ανισώσεων και συστήματα εξισώσεων
Στη διαδικασία εκμάθησης ενός νέου θέματος, συχνά προκύπτουν παρεξηγήσεις. Από τη μια όλα είναι ξεκάθαρα και θα προτιμούσα να ξεκινήσω να λύνω εργασίες, αλλά από την άλλη κάποιες στιγμές μένουν στη «σκιά», δεν είναι καλά κατανοητές. Επίσης, ορισμένα στοιχεία ήδη αποκτηθείσας γνώσης μπορούν να συνυπάρξουν με νέα. Συχνά συμβαίνουν λάθη ως αποτέλεσμα αυτής της επικάλυψης.
Επομένως, πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση του θέματός μας, θα πρέπει να θυμηθούμε τις διαφορές μεταξύ εξισώσεων και ανισώσεων, τα συστήματά τους. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί για άλλη μια φορά ποιες είναι αυτές οι μαθηματικές έννοιες. Μια εξίσωση είναι πάντα μια ισότητα, και είναι πάντα ίση με κάτι (στα μαθηματικά, αυτή η λέξη συμβολίζεται με το σύμβολο "="). Η ανισότητα είναι ένα μοντέλο στο οποίο μια τιμή είναι είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη από μια άλλη, είτε περιέχει τον ισχυρισμό ότι δεν είναι ίδιες. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση, είναι σκόπιμο να μιλάμε για ισότητα, και στη δεύτερη, όσο προφανές κι αν ακούγεται απότο ίδιο το όνομα, σχετικά με την ανισότητα των αρχικών δεδομένων. Τα συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων πρακτικά δεν διαφέρουν μεταξύ τους και οι μέθοδοι επίλυσής τους είναι οι ίδιες. Η μόνη διαφορά είναι ότι το πρώτο χρησιμοποιεί ισότητες ενώ το δεύτερο χρησιμοποιεί ανισότητες.
Τύποι ανισοτήτων
Υπάρχουν δύο τύποι ανισώσεων: αριθμητικές και με άγνωστη μεταβλητή. Στον πρώτο τύπο παρέχονται τιμές (αριθμοί) που δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, για παράδειγμα, 8 > 10. Ο δεύτερος τύπος είναι ανισότητες που περιέχουν μια άγνωστη μεταβλητή (που υποδεικνύεται με κάποιο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου, πιο συχνά X). Αυτή η μεταβλητή πρέπει να βρεθεί. Ανάλογα με το πόσες υπάρχουν, το μαθηματικό μοντέλο διακρίνει μεταξύ ανισώσεων με μία (αποτελούν σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή) ή πολλές μεταβλητές (απαρτίζουν ένα σύστημα ανισώσεων με πολλές μεταβλητές).
Οι δύο τελευταίοι τύποι, ανάλογα με τον βαθμό κατασκευής τους και το επίπεδο πολυπλοκότητας της λύσης, χωρίζονται σε απλούς και σύνθετους. Οι απλές ονομάζονται και γραμμικές ανισότητες. Αυτοί, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε αυστηρές και μη αυστηρές. Αυστηρά συγκεκριμένα "λέμε" ότι μια τιμή πρέπει να είναι είτε μικρότερη είτε μεγαλύτερη, άρα αυτό είναι καθαρή ανισότητα. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, κ.λπ. Τα μη αυστηρά περιλαμβάνουν επίσης την ισότητα. Δηλαδή, μια τιμή μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή ίση με μια άλλη τιμή (σύμβολο "≧") ή μικρότερη ή ίση με μια άλλη τιμή (σύμβολο "≦"). Ακόμα στη σειράΣτις ανισότητες η μεταβλητή δεν στέκεται στη ρίζα, τετράγωνο, δεν διαιρείται με τίποτα, γι' αυτό και ονομάζονται "απλές". Οι σύνθετες περιλαμβάνουν άγνωστες μεταβλητές, η εύρεση των οποίων απαιτεί περισσότερες μαθηματικές πράξεις. Συχνά βρίσκονται σε τετράγωνο, κύβο ή κάτω από τη ρίζα, μπορεί να είναι αρθρωτά, λογαριθμικά, κλασματικά κ.λπ. Επειδή όμως το καθήκον μας είναι να κατανοήσουμε τη λύση συστημάτων ανισώσεων, θα μιλήσουμε για ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων. Ωστόσο, πριν από αυτό, θα πρέπει να ειπωθούν λίγα λόγια για τις ιδιότητές τους.
Ιδιότητες των ανισοτήτων
Οι ιδιότητες των ανισοτήτων περιλαμβάνουν τις ακόλουθες διατάξεις:
- Το πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται εάν εφαρμοστεί η λειτουργία αλλαγής της ακολουθίας των πλευρών (για παράδειγμα, εάν t1 ≦ t2, μετά t 2 ≧ t1).
- Και τα δύο μέρη της ανισότητας σάς επιτρέπουν να προσθέσετε τον ίδιο αριθμό στον εαυτό σας (για παράδειγμα, αν t1 ≦ t2, τότε t 1 + αριθμός ≦ t2 + αριθμός).
- Δύο ή περισσότερες ανισότητες με το πρόσημο της ίδιας κατεύθυνσης σάς επιτρέπουν να προσθέσετε το αριστερό και το δεξί τους μέρος (για παράδειγμα, αν t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, μετά t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Και τα δύο μέρη της ανισότητας επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό (για παράδειγμα, αν t1 ≦ t2και αριθμός ≦ 0, μετά αριθμός t1 ≧ αριθμός t2).
- Δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν θετικούς όρους και πρόσημο της ίδιας κατεύθυνσης επιτρέπουνπολλαπλασιάζονται ο ένας τον άλλον (για παράδειγμα, αν t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 έπειτα t1 t3 ≦ t2 t4).
- Και τα δύο μέρη της ανισότητας επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, αλλά το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει (για παράδειγμα, αν t1 ≦ t2 και αριθμός ≦ 0, μετά αριθμός t1 ≧ αριθμός t2).
- Όλες οι ανισότητες είναι μεταβατικές (για παράδειγμα, αν t1 ≦ t2 και t2≦ t3, μετά t1 ≦ t3).
Τώρα, αφού μελετήσουμε τις κύριες διατάξεις της θεωρίας που σχετίζονται με τις ανισότητες, μπορούμε να προχωρήσουμε απευθείας στην εξέταση των κανόνων για την επίλυση των συστημάτων τους.
Λύση συστημάτων ανισοτήτων. Γενικές πληροφορίες. Λύσεις
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η λύση είναι οι τιμές της μεταβλητής που ταιριάζουν σε όλες τις ανισότητες του δεδομένου συστήματος. Η λύση συστημάτων ανισοτήτων είναι η υλοποίηση μαθηματικών πράξεων που τελικά οδηγούν στη λύση ολόκληρου του συστήματος ή αποδεικνύουν ότι δεν έχει λύσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταβλητή λέγεται ότι αναφέρεται στο κενό σύνολο αριθμών (γραμμένο ως εξής: το γράμμα που υποδηλώνει τη μεταβλητή ∈ (το σύμβολο "ανήκει") ø (το σύμβολο "κενό σύνολο"), για παράδειγμα, x ∈ ø (διαβάζεται ως εξής: "Η μεταβλητή "x" ανήκει στο κενό σύνολο"). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης συστημάτων ανισώσεων:γραφική, αλγεβρική, μέθοδος αντικατάστασης. Αξίζει να σημειωθεί ότι αναφέρονται σε εκείνα τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν αρκετές άγνωστες μεταβλητές. Στην περίπτωση που υπάρχει μόνο ένα, η μέθοδος διαστήματος θα κάνει.
Γραφική μέθοδος
Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων με πολλούς αγνώστους (από δύο ή περισσότερους). Χάρη σε αυτή τη μέθοδο, το σύστημα των γραμμικών ανισώσεων λύνεται αρκετά εύκολα και γρήγορα, επομένως είναι η πιο κοινή μέθοδος. Αυτό συμβαίνει επειδή η γραφική παράσταση μειώνει τον όγκο της εγγραφής μαθηματικών πράξεων. Γίνεται ιδιαίτερα ευχάριστο να κάνετε ένα μικρό διάλειμμα από το στυλό, να σηκώνετε ένα μολύβι με χάρακα και να προχωρήσετε σε περαιτέρω ενέργειες με τη βοήθειά τους όταν έχει γίνει πολλή δουλειά και θέλετε λίγη ποικιλία. Ωστόσο, σε ορισμένους δεν αρέσει αυτή η μέθοδος λόγω του γεγονότος ότι πρέπει να ξεφύγετε από την εργασία και να αλλάξετε τη διανοητική σας δραστηριότητα στο σχέδιο. Ωστόσο, είναι ένας πολύ αποτελεσματικός τρόπος.
Για να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο, είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλα τα μέλη κάθε ανισότητας στην αριστερή τους πλευρά. Τα πρόσημα θα αντιστραφούν, το μηδέν θα πρέπει να γραφεί στα δεξιά και μετά θα πρέπει να γραφεί κάθε ανισότητα ξεχωριστά. Ως αποτέλεσμα, οι συναρτήσεις θα ληφθούν από τις ανισότητες. Μετά από αυτό, μπορείτε να πάρετε ένα μολύβι και έναν χάρακα: τώρα πρέπει να σχεδιάσετε ένα γράφημα για κάθε συνάρτηση που λαμβάνεται. Ολόκληρο το σύνολο των αριθμών που θα βρίσκεται στο διάστημα της τομής τους θα είναι η λύση στο σύστημα των ανισώσεων.
Αλγεβρικός τρόπος
Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων με δύο άγνωστες μεταβλητές. Οι ανισότητες πρέπει επίσης να έχουν το ίδιο πρόσημο ανισότητας (δηλαδή πρέπει να περιέχουν είτε μόνο το πρόσημο "μεγαλύτερο από" ή μόνο το πρόσημο "λιγότερο από" κ.λπ.) Παρά τους περιορισμούς της, αυτή η μέθοδος είναι επίσης πιο περίπλοκη. Εφαρμόζεται σε δύο βήματα.
Η πρώτη περιλαμβάνει την απαλλαγή από μία από τις άγνωστες μεταβλητές. Πρώτα πρέπει να το επιλέξετε και μετά να ελέγξετε για την παρουσία αριθμών μπροστά από αυτήν τη μεταβλητή. Εάν δεν υπάρχει καμία (τότε η μεταβλητή θα μοιάζει με ένα μόνο γράμμα), τότε δεν αλλάζουμε τίποτα, εάν υπάρχει (ο τύπος της μεταβλητής θα είναι, για παράδειγμα, 5y ή 12y), τότε είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι σε κάθε ανισότητα ο αριθμός μπροστά από την επιλεγμένη μεταβλητή είναι ο ίδιος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε μέλος των ανισώσεων με έναν κοινό παράγοντα, για παράδειγμα, εάν γράφεται 3y στην πρώτη ανισότητα και 5y στη δεύτερη, τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα μέλη της πρώτης ανισότητας με 5, και το δεύτερο κατά 3. Παίρνετε 15 και 15 έτη, αντίστοιχα.
Το δεύτερο στάδιο της απόφασης. Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε την αριστερή πλευρά κάθε ανισότητας στις δεξιές τους πλευρές με αλλαγή του πρόσημου κάθε όρου προς το αντίθετο, γράψτε μηδέν στα δεξιά. Έπειτα έρχεται το διασκεδαστικό μέρος: να απαλλαγούμε από την επιλεγμένη μεταβλητή (αλλιώς γνωστή ως "μείωση") αθροίζοντας τις ανισότητες. Θα λάβετε μια ανισότητα με μια μεταβλητή που πρέπει να λυθεί. Μετά από αυτό, θα πρέπει να κάνετε το ίδιο, μόνο με μια άλλη άγνωστη μεταβλητή. Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν θα είναι η λύση του συστήματος.
Μέθοδος αντικατάστασης
Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων όταν έχετε την ευκαιρία να εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή. Συνήθως αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η άγνωστη μεταβλητή σε έναν όρο της ανισότητας αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη και στον άλλο όρο τετραγωνίζεται. Έτσι, αυτή η μέθοδος στοχεύει στη μείωση του βαθμού των ανισοτήτων στο σύστημα. Η δειγματική ανισότητα x4 - x2 - 1 ≦ 0 λύνεται με αυτόν τον τρόπο. Εισάγεται μια νέα μεταβλητή, για παράδειγμα t. Γράφουν: "Έστω t=x2", μετά το μοντέλο ξαναγράφεται σε νέα μορφή. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε t2 - t - 1 ≦0. Αυτή η ανισότητα πρέπει να λυθεί με τη μέθοδο του διαστήματος (σχετικά με αυτήν λίγο αργότερα), στη συνέχεια να επιστρέψετε στη μεταβλητή X και μετά να κάνετε το ίδιο με μια άλλη ανισότητα. Οι απαντήσεις που θα ληφθούν θα είναι η απόφαση του συστήματος.
Μέθοδος διαστήματος
Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων, και ταυτόχρονα είναι καθολικός και διαδεδομένος. Χρησιμοποιείται στο γυμνάσιο, ακόμα και στο γυμνάσιο. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι ο μαθητής αναζητά διαστήματα ανισότητας στην αριθμητική γραμμή, η οποία σχεδιάζεται σε ένα σημειωματάριο (αυτό δεν είναι γράφημα, αλλά απλώς μια συνηθισμένη ευθεία γραμμή με αριθμούς). Όπου τέμνονται τα διαστήματα των ανισώσεων, βρίσκεται η λύση του συστήματος. Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαστήματος, ακολουθήστε τα εξής βήματα:
- Όλα τα μέλη κάθε ανισότητας μεταφέρονται στην αριστερή πλευρά με αλλαγή του πρόσημου προς το αντίθετο (το μηδέν γράφεται στα δεξιά).
- Οι ανισώσεις γράφονται χωριστά, προσδιορίζεται η λύση καθεμιάς από αυτές.
- Οι τομές των ανισώσεων στον αριθμητικόευθεία. Όλοι οι αριθμοί σε αυτές τις διασταυρώσεις θα είναι η λύση.
Ποιος τρόπος να χρησιμοποιηθεί;
Προφανώς αυτό που φαίνεται το πιο εύκολο και βολικό, αλλά υπάρχουν φορές που οι εργασίες απαιτούν μια συγκεκριμένη μέθοδο. Τις περισσότερες φορές, λένε ότι πρέπει να λύσετε είτε χρησιμοποιώντας ένα γράφημα είτε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος. Η αλγεβρική μέθοδος και η αντικατάσταση χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια ή καθόλου, καθώς είναι αρκετά περίπλοκες και μπερδεμένες, και επιπλέον, χρησιμοποιούνται περισσότερο για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων παρά ανισώσεων, επομένως θα πρέπει να καταφύγετε στη σχεδίαση γραφημάτων και διαστημάτων. Φέρνουν ορατότητα, η οποία δεν μπορεί παρά να συμβάλει στην αποτελεσματική και γρήγορη διεξαγωγή των μαθηματικών πράξεων.
Αν κάτι δεν λειτουργεί
Κατά τη μελέτη ενός συγκεκριμένου θέματος στην άλγεβρα, φυσικά, μπορεί να υπάρχουν προβλήματα με την κατανόησή του. Και αυτό είναι φυσιολογικό, γιατί ο εγκέφαλός μας είναι σχεδιασμένος με τέτοιο τρόπο ώστε να μην μπορεί να κατανοήσει σύνθετο υλικό με μια κίνηση. Συχνά χρειάζεται να ξαναδιαβάσετε μια παράγραφο, να πάρετε τη βοήθεια ενός δασκάλου ή να εξασκηθείτε στην επίλυση τυπικών προβλημάτων. Στην περίπτωσή μας, φαίνονται, για παράδειγμα, ως εξής: "Λύστε το σύστημα των ανισώσεων 3 x + 1 ≧ 0 και 2 x - 1 > 3". Έτσι, η προσωπική προσπάθεια, η βοήθεια από ξένους και η εξάσκηση βοηθούν στην κατανόηση οποιουδήποτε περίπλοκου θέματος.
Reshebnik?
Και το βιβλίο λύσεων είναι επίσης πολύ καλό, αλλά όχι για εξαπάτηση της εργασίας, αλλά για αυτοβοήθεια. Σε αυτά μπορείτε να βρείτε συστήματα ανισοτήτων με λύση, κοιτάξτετους (όπως τα πρότυπα), προσπαθήστε να κατανοήσετε ακριβώς πώς ο συγγραφέας της λύσης αντιμετώπισε την εργασία και, στη συνέχεια, προσπαθήστε να το κάνετε μόνος του.
Συμπεράσματα
Η άλγεβρα είναι ένα από τα πιο δύσκολα μαθήματα στο σχολείο. Λοιπόν, τι μπορείτε να κάνετε; Τα μαθηματικά ήταν πάντα έτσι: για άλλους έρχονται εύκολα και για άλλους είναι δύσκολα. Αλλά σε κάθε περίπτωση, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το πρόγραμμα γενικής εκπαίδευσης είναι σχεδιασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μαθητής να μπορεί να το αντιμετωπίσει. Επιπλέον, πρέπει να έχετε κατά νου έναν τεράστιο αριθμό βοηθών. Μερικά από αυτά έχουν αναφερθεί παραπάνω.
