Ακόμη και στο σχολείο, ο καθένας μας μελετούσε εξισώσεις και, σίγουρα, συστήματα εξισώσεων. Αλλά δεν γνωρίζουν πολλοί ότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσής τους. Σήμερα θα αναλύσουμε λεπτομερώς όλες τις μεθόδους για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, που αποτελούνται από περισσότερες από δύο ισότητες.
Ιστορία
Σήμερα είναι γνωστό ότι η τέχνη της επίλυσης εξισώσεων και των συστημάτων τους ξεκίνησε από την αρχαία Βαβυλώνα και την Αίγυπτο. Ωστόσο, οι ισότητες στη συνήθη τους μορφή εμφανίστηκαν μετά την εμφάνιση του σημείου ίσου "=", το οποίο εισήχθη το 1556 από τον Άγγλο μαθηματικό Record. Παρεμπιπτόντως, αυτό το σύμβολο επιλέχθηκε για έναν λόγο: σημαίνει δύο παράλληλα ίσα τμήματα. Πράγματι, δεν υπάρχει καλύτερο παράδειγμα ισότητας.
Ιδρυτής των σύγχρονων χαρακτηρισμών γραμμάτων των αγνώστων και των σημείων των βαθμών είναι ο Γάλλος μαθηματικός Francois Viet. Ωστόσο, οι χαρακτηρισμοί του διέφεραν σημαντικά από τους σημερινούς. Για παράδειγμα, σημείωσε το τετράγωνο ενός άγνωστου αριθμού με το γράμμα Q (λατ. "quadratus"), και τον κύβο με το γράμμα C (λατ. "cubus"). Αυτοί οι χαρακτηρισμοί τώρα φαίνονται άβολοι, αλλά τότεήταν ο πιο κατανοητός τρόπος για να γραφτούν συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.
Ωστόσο, το μειονέκτημα των τότε μεθόδων λύσης ήταν ότι οι μαθηματικοί θεωρούσαν μόνο θετικές ρίζες. Ίσως αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αρνητικές τιμές δεν είχαν πρακτική χρήση. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ήταν οι Ιταλοί μαθηματικοί Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano και Rafael Bombelli που ήταν οι πρώτοι που θεώρησαν τις αρνητικές ρίζες τον 16ο αιώνα. Και η σύγχρονη ματιά, η κύρια μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων (μέσω της διάκρισης) δημιουργήθηκε μόλις τον 17ο αιώνα χάρη στο έργο του Ντεκάρτ και του Νεύτωνα.
Στα μέσα του 18ου αιώνα, ο Ελβετός μαθηματικός Gabriel Cramer βρήκε έναν νέο τρόπο για να διευκολύνει την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτή η μέθοδος πήρε στη συνέχεια το όνομά του και μέχρι σήμερα τη χρησιμοποιούμε. Αλλά για τη μέθοδο Cramer θα μιλήσουμε λίγο αργότερα, αλλά προς το παρόν θα συζητήσουμε γραμμικές εξισώσεις και μεθόδους επίλυσής τους ξεχωριστά από το σύστημα.
Γραμμικές εξισώσεις
Οι γραμμικές εξισώσεις είναι οι απλούστερες ισότητες με μεταβλητές. Ταξινομούνται ως αλγεβρικά. Οι γραμμικές εξισώσεις γράφονται σε γενική μορφή ως εξής: 2+…a x =β. Θα χρειαστούμε την αναπαράστασή τους σε αυτή τη μορφή κατά την περαιτέρω μεταγλώττιση συστημάτων και πινάκων.
Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων
Ο ορισμός αυτού του όρου είναι ο εξής: είναι ένα σύνολο εξισώσεων που έχουν κοινούς αγνώστους και κοινή λύση. Κατά κανόνα, στο σχολείο όλα αποφασίζονταν από συστήματαμε δύο ή και τρεις εξισώσεις. Υπάρχουν όμως συστήματα με τέσσερα ή περισσότερα στοιχεία. Ας μάθουμε πρώτα πώς να τα γράψουμε, ώστε να είναι βολικό να τα λύσουμε αργότερα. Πρώτον, τα συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων θα φαίνονται καλύτερα εάν όλες οι μεταβλητές γραφτούν ως x με τον κατάλληλο δείκτη: 1, 2, 3 κ.λπ. Δεύτερον, όλες οι εξισώσεις πρέπει να μειωθούν στην κανονική μορφή: a1x1+a2 x 2+…a x =β.
Μετά από όλα αυτά τα βήματα, μπορούμε να αρχίσουμε να μιλάμε για το πώς να βρούμε μια λύση σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Οι πίνακες θα είναι πολύ χρήσιμες για αυτό.
Matrices
Ένας πίνακας είναι ένας πίνακας που αποτελείται από γραμμές και στήλες και τα στοιχεία του βρίσκονται στην τομή τους. Αυτές μπορεί να είναι είτε συγκεκριμένες τιμές είτε μεταβλητές. Τις περισσότερες φορές, για να οριστούν στοιχεία, τοποθετούνται συνδρομητές κάτω από αυτά (για παράδειγμα, a11 ή a23). Το πρώτο ευρετήριο σημαίνει τον αριθμό της σειράς και το δεύτερο τον αριθμό της στήλης. Σε πίνακες, καθώς και σε οποιοδήποτε άλλο μαθηματικό στοιχείο, μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες πράξεις. Έτσι μπορείτε:
1) Αφαιρέστε και προσθέστε πίνακες του ίδιου μεγέθους.
2) Πολλαπλασιάστε έναν πίνακα με κάποιον αριθμό ή διάνυσμα.
3) Μεταφορά: Μετατρέψτε τις σειρές μήτρας σε στήλες και τις στήλες σε σειρές.
4) Πολλαπλασιάστε πίνακες εάν ο αριθμός των σειρών της μιας από αυτές είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών της άλλης.
Θα συζητήσουμε όλες αυτές τις τεχνικές με περισσότερες λεπτομέρειες, καθώς θα μας φανούν χρήσιμες στο μέλλον. Η αφαίρεση και η προσθήκη πινάκων είναι πολύ εύκολη. Έτσικαθώς παίρνουμε πίνακες του ίδιου μεγέθους, τότε κάθε στοιχείο ενός πίνακα αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο ενός άλλου. Έτσι, προσθέτουμε (αφαιρούμε) αυτά τα δύο στοιχεία (είναι σημαντικό να βρίσκονται στις ίδιες θέσεις στους πίνακές τους). Όταν πολλαπλασιάζετε έναν πίνακα με έναν αριθμό ή διάνυσμα, χρειάζεται απλώς να πολλαπλασιάσετε κάθε στοιχείο του πίνακα με αυτόν τον αριθμό (ή διάνυσμα). Η μεταφορά είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα διαδικασία. Είναι πολύ ενδιαφέρον μερικές φορές να το βλέπουμε στην πραγματική ζωή, για παράδειγμα, όταν αλλάζετε τον προσανατολισμό ενός tablet ή ενός τηλεφώνου. Τα εικονίδια στην επιφάνεια εργασίας είναι μια μήτρα και όταν αλλάζετε τη θέση, μετατίθεται και γίνεται ευρύτερο, αλλά μειώνεται σε ύψος.
Ας ρίξουμε μια άλλη ματιά σε μια τέτοια διαδικασία όπως ο πολλαπλασιασμός πινάκων. Αν και δεν θα μας είναι χρήσιμο, θα είναι χρήσιμο να το γνωρίζουμε. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε δύο πίνακες μόνο εάν ο αριθμός των στηλών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον άλλο. Τώρα ας πάρουμε τα στοιχεία μιας γραμμής ενός πίνακα και τα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης ενός άλλου. Τα πολλαπλασιάζουμε το ένα με το άλλο και μετά τα προσθέτουμε (δηλαδή, για παράδειγμα, το γινόμενο των στοιχείων a11 και a12 επί b 12και b22 θα ισούται με: a11b12 + a 12 b22). Έτσι, λαμβάνεται ένα στοιχείο του πίνακα και συμπληρώνεται περαιτέρω με παρόμοια μέθοδο.
Τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να εξετάζουμε πώς λύνεται το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων.
Μέθοδος Gauss
Αυτό το θέμα αρχίζει να περνάει ακόμα και στο σχολείο. Γνωρίζουμε καλά την έννοια του «σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων» και ξέρουμε πώς να τις λύσουμε. Τι γίνεται όμως αν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από δύο; Η μέθοδος Gauss θα μας βοηθήσει σε αυτό.
Φυσικά, αυτή η μέθοδος είναι βολική στη χρήση εάν κάνετε μια μήτρα από το σύστημα. Αλλά δεν μπορείτε να το μεταμορφώσετε και να το λύσετε στην πιο αγνή του μορφή.
Λοιπόν πώς αυτή η μέθοδος λύνει το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων Gauss; Παρεμπιπτόντως, αν και αυτή η μέθοδος πήρε το όνομά του, ανακαλύφθηκε στην αρχαιότητα. Ο Gauss προτείνει τα εξής: να πραγματοποιηθούν πράξεις με εξισώσεις προκειμένου να μειωθεί τελικά ολόκληρο το σύνολο σε μια κλιμακωτή μορφή. Δηλαδή, είναι απαραίτητο από πάνω προς τα κάτω (αν τοποθετηθεί σωστά) από την πρώτη εξίσωση μέχρι την τελευταία να μειώνεται ένας άγνωστος. Με άλλα λόγια, πρέπει να φροντίσουμε να λάβουμε, ας πούμε, τρεις εξισώσεις: στην πρώτη - τρεις άγνωστους, στη δεύτερη - δύο, στην τρίτη - μία. Στη συνέχεια, από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε τον πρώτο άγνωστο, αντικαθιστούμε την τιμή του με τη δεύτερη ή την πρώτη εξίσωση και, στη συνέχεια, βρίσκουμε τις υπόλοιπες δύο μεταβλητές.
Μέθοδος Cramer
Για να κατακτήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να κατακτήσετε τις δεξιότητες πρόσθεσης, αφαίρεσης πινάκων και πρέπει επίσης να μπορείτε να βρείτε ορίζοντες. Επομένως, εάν τα κάνετε όλα αυτά άσχημα ή δεν ξέρετε καθόλου πώς, θα πρέπει να μάθετε και να εξασκηθείτε.
Ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου και πώς να γίνει έτσι ώστε να προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων Cramer; Όλα είναι πολύ απλά. Πρέπει να κατασκευάσουμε έναν πίνακα από αριθμητικούς (σχεδόν πάντα) συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Για να το κάνετε αυτό, απλώς πάρτε τους αριθμούς μπροστά από τους αγνώστους και τακτοποιήστε τουςπίνακα με τη σειρά με την οποία καταγράφονται στο σύστημα. Αν του αριθμού προηγείται το σύμβολο "-", τότε σημειώνουμε έναν αρνητικό συντελεστή. Έτσι, έχουμε συντάξει τον πρώτο πίνακα από τους συντελεστές των αγνώστων, χωρίς να συμπεριλαμβάνονται οι αριθμοί μετά τα ίσα (φυσικά, η εξίσωση πρέπει να μειωθεί στην κανονική μορφή, όταν μόνο ο αριθμός είναι στα δεξιά και όλοι οι άγνωστοι με συντελεστές στα αριστερά). Στη συνέχεια, πρέπει να δημιουργήσετε αρκετούς ακόμη πίνακες - έναν για κάθε μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε με τη σειρά κάθε στήλη με συντελεστές στον πρώτο πίνακα με μια στήλη αριθμών μετά το σύμβολο ίσου. Έτσι, λαμβάνουμε αρκετούς πίνακες και μετά βρίσκουμε τους ορίζοντες τους.
Αφού βρήκαμε τις ορίζουσες, το θέμα είναι μικρό. Έχουμε έναν αρχικό πίνακα και υπάρχουν αρκετοί προκύπτοντες πίνακες που αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεταβλητές. Για να πάρουμε τις λύσεις του συστήματος, διαιρούμε την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο αριθμός που προκύπτει είναι η τιμή μιας από τις μεταβλητές. Ομοίως, βρίσκουμε όλα τα άγνωστα.
Άλλες μέθοδοι
Υπάρχουν πολλές ακόμη μέθοδοι για να βρείτε τη λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, η λεγόμενη μέθοδος Gauss-Jordan, η οποία χρησιμοποιείται για την εύρεση λύσεων σε ένα σύστημα τετραγωνικών εξισώσεων και συνδέεται επίσης με τη χρήση πινάκων. Υπάρχει επίσης μια μέθοδος Jacobi για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Είναι το πιο εύκολο να προσαρμοστεί σε έναν υπολογιστή και χρησιμοποιείται στους υπολογιστές.
Δύσκολες περιπτώσεις
Η πολυπλοκότητα εμφανίζεται συνήθως όταν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών. Τότε μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι είτε το σύστημα είναι ασυνεπές (δηλαδή δεν έχει ρίζες), είτε ο αριθμός των λύσεών του τείνει στο άπειρο. Αν έχουμε τη δεύτερη περίπτωση, τότε πρέπει να γράψουμε τη γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων. Θα περιέχει τουλάχιστον μία μεταβλητή.
Συμπέρασμα
Εδώ φτάνουμε στο τέλος. Συνοψίζοντας: έχουμε αναλύσει τι είναι ένα σύστημα και ένας πίνακας, μάθαμε πώς να βρίσκουμε μια γενική λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Επιπλέον, εξετάστηκαν και άλλες επιλογές. Ανακαλύψαμε πώς λύνεται το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: η μέθοδος Gauss και η μέθοδος Cramer. Μιλήσαμε για δύσκολες περιπτώσεις και άλλους τρόπους εύρεσης λύσεων.
Στην πραγματικότητα, αυτό το θέμα είναι πολύ πιο εκτεταμένο, και αν θέλετε να το κατανοήσετε καλύτερα, σας συμβουλεύουμε να διαβάσετε πιο εξειδικευμένη βιβλιογραφία.
