Η ευθεία είναι το κύριο γεωμετρικό αντικείμενο στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο. Από ευθείες γραμμές κατασκευάζονται πολλές μορφές, για παράδειγμα: ένα παραλληλόγραμμο, ένα τρίγωνο, ένα πρίσμα, μια πυραμίδα κ.λπ. Εξετάστε στο άρθρο διάφορους τρόπους ορισμού των εξισώσεων των γραμμών.
Ορισμός μιας ευθείας γραμμής και τύποι εξισώσεων για την περιγραφή της
Κάθε μαθητής έχει μια καλή ιδέα για ποιο γεωμετρικό αντικείμενο μιλάει. Μια ευθεία γραμμή μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συλλογή σημείων και αν συνδέσουμε κάθε ένα από αυτά με τη σειρά με όλα τα άλλα, τότε λαμβάνουμε ένα σύνολο παράλληλων διανυσμάτων. Με άλλα λόγια, είναι δυνατό να φτάσουμε σε κάθε σημείο της ευθείας από ένα από τα σταθερά σημεία της, μεταφέροντάς το σε κάποιο μοναδιαίο διάνυσμα πολλαπλασιασμένο με έναν πραγματικό αριθμό. Αυτός ο ορισμός μιας ευθείας γραμμής χρησιμοποιείται για να ορίσει μια διανυσματική ισότητα για τη μαθηματική περιγραφή της τόσο στο επίπεδο όσο και στον τρισδιάστατο χώρο.
Μια ευθεία γραμμή μπορεί να αναπαρασταθεί μαθηματικά από τους ακόλουθους τύπους εξισώσεων:
- γενικά;
- διάνυσμα;
- parametric;
- σε τμήματα;
- συμμετρικό (κανονικό).
Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε όλους τους κατονομαζόμενους τύπους και θα δείξουμε πώς να εργαστείτε μαζί τους χρησιμοποιώντας παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.
Διάνυσμα και παραμετρική περιγραφή μιας ευθείας γραμμής
Ας ξεκινήσουμε ορίζοντας μια ευθεία γραμμή μέσω ενός γνωστού διανύσματος. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα σταθερό σημείο στο διάστημα M(x0; y0; z0). Είναι γνωστό ότι η ευθεία διέρχεται από αυτό και κατευθύνεται κατά μήκος του διανυσματικού τμήματος v¯(a; b; c). Πώς να βρείτε ένα αυθαίρετο σημείο της γραμμής από αυτά τα δεδομένα; Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση θα δώσει την ακόλουθη ισότητα:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Όπου το λ είναι ένας αυθαίρετος αριθμός.
Μια παρόμοια έκφραση μπορεί να γραφτεί για τη δισδιάστατη περίπτωση, όπου οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και των σημείων αντιπροσωπεύονται από ένα σύνολο δύο αριθμών:
(x; y)=(x0; y0) + λ(α; β)
Οι γραπτές εξισώσεις ονομάζονται διανυσματικές εξισώσεις και το ίδιο το κατευθυνόμενο τμήμα v¯ είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης για την ευθεία γραμμή.
Από τις γραπτές εκφράσεις προκύπτουν οι αντίστοιχες παραμετρικές εξισώσεις απλά, αρκεί να τις ξαναγράψουμε ρητά. Για παράδειγμα, για την περίπτωση στο διάστημα, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Είναι βολικό να εργάζεστε με παραμετρικές εξισώσεις εάν χρειάζεται να αναλύσετε τη συμπεριφοράκάθε συντεταγμένη. Σημειώστε ότι παρόλο που η παράμετρος λ μπορεί να λάβει αυθαίρετες τιμές, πρέπει να είναι ίδια και στις τρεις ισότητες.
Γενική εξίσωση
Ένας άλλος τρόπος για να ορίσετε μια ευθεία γραμμή, η οποία χρησιμοποιείται συχνά για την εργασία με το εξεταζόμενο γεωμετρικό αντικείμενο, είναι να χρησιμοποιήσετε μια γενική εξίσωση. Για τη δισδιάστατη θήκη, μοιάζει με:
Ax + By + C=0
Εδώ τα κεφαλαία λατινικά γράμματα αντιπροσωπεύουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές. Η ευκολία αυτής της ισότητας στην επίλυση προβλημάτων έγκειται στο γεγονός ότι περιέχει ρητά ένα διάνυσμα που είναι κάθετο σε μια ευθεία γραμμή. Αν το συμβολίσουμε με n¯, τότε μπορούμε να γράψουμε:
n¯=[A; B]
Επιπλέον, η έκφραση είναι βολική στη χρήση για τον προσδιορισμό της απόστασης από μια ευθεία γραμμή σε κάποιο σημείο P(x1; y1). Ο τύπος για την απόσταση d είναι:
d=|Ax1+ By1+ Γ| / √(A2+ B2)
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν εκφράσουμε ρητά τη μεταβλητή y από τη γενική εξίσωση, παίρνουμε την ακόλουθη γνωστή μορφή γραφής μιας ευθείας γραμμής:
y=kx + b
Όπου τα k και b καθορίζονται μοναδικά από τους αριθμούς A, B, C.
Η εξίσωση σε τμήματα και κανονική
Η εξίσωση σε τμήματα είναι πιο εύκολο να ληφθεί από τη γενική προβολή. Θα σας δείξουμε πώς να το κάνετε.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη γραμμή:
Ax + By + C=0
Μετακινήστε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της ισότητας, μετά διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με αυτόν, παίρνουμε:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, όπου q=-C / A, p=-C / B
Πήραμε τη λεγόμενη εξίσωση σε τμήματα. Πήρε το όνομά του λόγω του ότι ο παρονομαστής με τον οποίο διαιρείται κάθε μεταβλητή δείχνει την τιμή της συντεταγμένης της τομής της ευθείας με τον αντίστοιχο άξονα. Είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί αυτό το γεγονός για την απεικόνιση μιας ευθείας γραμμής σε ένα σύστημα συντεταγμένων, καθώς και για την ανάλυση της σχετικής θέσης της σε σχέση με άλλα γεωμετρικά αντικείμενα (ευθείες γραμμές, σημεία).
Τώρα ας προχωρήσουμε στην απόκτηση της κανονικής εξίσωσης. Αυτό είναι πιο εύκολο να το κάνουμε αν σκεφτούμε την παραμετρική επιλογή. Για την υπόθεση στο αεροπλάνο έχουμε:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Εκφράζουμε την παράμετρο λ σε κάθε ισότητα, μετά την εξισώνουμε, παίρνουμε:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / β;
(x - x0) / a=(y - y0) / β
Αυτή είναι η επιθυμητή εξίσωση γραμμένη σε συμμετρική μορφή. Ακριβώς όπως μια διανυσματική έκφραση, περιέχει ρητά τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης και τις συντεταγμένες ενός από τα σημεία που ανήκει στη γραμμή.
Μπορεί να φανεί ότι σε αυτήν την παράγραφο έχουμε δώσει εξισώσεις για τη δισδιάστατη περίπτωση. Ομοίως, μπορείτε να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής στο διάστημα. Ας σημειωθεί εδώ ότι αν ο κανονικός τύποςοι εγγραφές και η έκφραση σε τμήματα θα έχουν την ίδια μορφή, τότε η γενική εξίσωση στο διάστημα για μια ευθεία γραμμή αντιπροσωπεύεται από ένα σύστημα δύο εξισώσεων για τεμνόμενα επίπεδα.
Το πρόβλημα της κατασκευής της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής
Από τη γεωμετρία, κάθε μαθητής γνωρίζει ότι μέσω δύο σημείων μπορείς να σχεδιάσεις μία μόνο γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι τα ακόλουθα σημεία δίνονται στο επίπεδο συντεταγμένων:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Είναι απαραίτητο να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν και τα δύο σημεία, σε τμήματα, σε διανυσματική, κανονική και γενική μορφή.
Ας πάρουμε πρώτα τη διανυσματική εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, ορίστε για το διάνυσμα άμεσης κατεύθυνσης M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Τώρα μπορείτε να δημιουργήσετε μια διανυσματική εξίσωση λαμβάνοντας ένα από τα δύο σημεία που καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος, για παράδειγμα, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Για να λάβουμε την κανονική εξίσωση, αρκεί να μετατρέψουμε τη ισότητα που βρέθηκε σε παραμετρική μορφή και να εξαιρέσουμε την παράμετρο λ. Έχουμε:
x=-1 - 2λ, επομένως λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, τότε παίρνουμε λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Οι υπόλοιπες δύο εξισώσεις (γενικές και σε τμήματα) μπορούν να βρεθούν από την κανονική μετατρέποντάς την ως εξής:
x + 1=-2y + 6;
γενική εξίσωση: x + 2y - 5=0;
σε τμήματα εξίσωση: x / 5 + y / 2, 5=1
Οι εξισώσεις που προκύπτουν δείχνουν ότι το διάνυσμα (1; 2) πρέπει να είναι κάθετο στην ευθεία. Πράγματι, αν βρείτε το βαθμωτό γινόμενο του με το διάνυσμα κατεύθυνσης, τότε θα είναι ίσο με μηδέν. Η εξίσωση γραμμικού τμήματος λέει ότι η ευθεία τέμνει τον άξονα x στο (5; 0) και τον άξονα y στο (2, 5; 0).
Το πρόβλημα του προσδιορισμού του σημείου τομής των ευθειών
Δύο ευθείες γραμμές δίνονται στο επίπεδο από τις ακόλουθες εξισώσεις:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου όπου τέμνονται αυτές οι ευθείες.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να λύσετε το πρόβλημα:
- Μετατρέψτε τη διανυσματική εξίσωση σε γενική μορφή και, στη συνέχεια, λύστε το σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων.
- Μην κάνετε μετασχηματισμούς, αλλά απλώς αντικαταστήστε τη συντεταγμένη του σημείου τομής, που εκφράζεται μέσω της παραμέτρου λ, στην πρώτη εξίσωση. Στη συνέχεια, βρείτε την τιμή της παραμέτρου.
Ας κάνουμε τον δεύτερο τρόπο. Έχουμε:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Αντικαταστήστε τον αριθμό που προκύπτει στη διανυσματική εξίσωση:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Έτσι, το μόνο σημείο που ανήκει και στις δύο ευθείες είναι το σημείο με συντεταγμένες (-2; 5). Οι γραμμές τέμνονται σε αυτό.
