Το διάνυσμα είναι ένα σημαντικό γεωμετρικό αντικείμενο, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του είναι βολικό να επιλύονται πολλά προβλήματα στο επίπεδο και στο διάστημα. Σε αυτό το άρθρο, θα το ορίσουμε, θα εξετάσουμε τα κύρια χαρακτηριστικά του και θα δείξουμε επίσης πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα διάνυσμα στο χώρο για να ορίσει επίπεδα.
Τι είναι διάνυσμα: δισδιάστατη περίπτωση
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ξεκάθαρα για ποιο αντικείμενο μιλάμε. Στη γεωμετρία, ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα. Όπως κάθε τμήμα, χαρακτηρίζεται από δύο βασικά στοιχεία: τα σημεία έναρξης και τέλους. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων καθορίζουν μοναδικά όλα τα χαρακτηριστικά του διανύσματος.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε δύο αμοιβαία κάθετους άξονες x και y. Ας σημειώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο P(x, y). Εάν συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή (σημείο O) και στη συνέχεια καθορίσουμε την κατεύθυνση προς το P, τότε παίρνουμε το διάνυσμα OP¯ (αργότερα στο άρθρο, η γραμμή πάνω από το σύμβολο δείχνει ότι εξετάζουμε ένα διάνυσμα). Το διανυσματικό σχέδιο στο επίπεδο φαίνεται παρακάτω.
Εδώ, εμφανίζεται επίσης ένα άλλο διάνυσμα AB¯ και μπορείτε να δείτε ότι τα χαρακτηριστικά του είναι ακριβώς τα ίδια με το OP¯, αλλά βρίσκεται σε διαφορετικό μέρος του συστήματος συντεταγμένων. Με παράλληλη μετάφραση OP¯, μπορείτε να πάρετε έναν άπειρο αριθμό διανυσμάτων με τις ίδιες ιδιότητες.
Διάνυσμα στο διάστημα
Όλα τα πραγματικά αντικείμενα που μας περιβάλλουν βρίσκονται σε τρισδιάστατο χώρο. Η μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των τρισδιάστατων σχημάτων ασχολείται με τη στερεομετρία, η οποία λειτουργεί με την έννοια των τρισδιάστατων διανυσμάτων. Διαφέρουν από τα δισδιάστατα μόνο στο ότι η περιγραφή τους απαιτεί μια πρόσθετη συντεταγμένη, η οποία μετράται κατά μήκος του τρίτου κάθετου άξονα x και y z.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα διάνυσμα στο διάστημα. Οι συντεταγμένες του άκρου του κατά μήκος κάθε άξονα υποδεικνύονται με χρωματιστά τμήματα. Η αρχή του διανύσματος βρίσκεται στο σημείο τομής και των τριών αξόνων συντεταγμένων, δηλαδή έχει συντεταγμένες (0; 0; 0).
Δεδομένου ότι ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο είναι μια ειδική περίπτωση ενός χωρικά κατευθυνόμενου τμήματος, θα εξετάσουμε μόνο ένα τρισδιάστατο διάνυσμα στο άρθρο.
Διανυσματικές συντεταγμένες με βάση γνωστές συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο σημεία P(x1; y1; z1) και Q(x2; y2; z2). Πώς να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος PQ¯. Αρχικά, είναι απαραίτητο να συμφωνήσουμε ποιο από τα σημεία θα είναι η αρχή και ποιο το τέλος του διανύσματος. Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να γράφεται το εν λόγω αντικείμενο κατά την κατεύθυνσή του, δηλαδή το P είναι η αρχή, Q- το τέλος. Δεύτερον, οι συντεταγμένες του διανύσματος PQ¯ υπολογίζονται ως η διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής, δηλαδή:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Σημειώστε ότι αλλάζοντας την κατεύθυνση του διανύσματος, οι συντεταγμένες του θα αλλάξουν πρόσημο, ως εξής:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Αυτό σημαίνει PQ¯=-QP¯.
Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ένα ακόμη πράγμα. Ειπώθηκε παραπάνω ότι στο επίπεδο υπάρχει άπειρος αριθμός διανυσμάτων ίσος με το δεδομένο. Το γεγονός αυτό ισχύει και για τη χωρική υπόθεση. Στην πραγματικότητα, όταν υπολογίσαμε τις συντεταγμένες του PQ¯ στο παραπάνω παράδειγμα, πραγματοποιήσαμε τη λειτουργία της παράλληλης μετάφρασης αυτού του διανύσματος με τέτοιο τρόπο ώστε η αρχή του να συμπίπτει με την αρχή. Το διάνυσμα PQ¯ μπορεί να σχεδιαστεί ως κατευθυνόμενο τμήμα από την αρχή στο σημείο M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Διανυσματικές ιδιότητες
Όπως κάθε αντικείμενο γεωμετρίας, ένα διάνυσμα έχει κάποια εγγενή χαρακτηριστικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων. Ας τις απαριθμήσουμε εν συντομία.
Ο διανυσματικός συντελεστής είναι το μήκος του κατευθυνόμενου τμήματος. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να τις υπολογίσεις. Για το διάνυσμα PQ¯ στο παραπάνω παράδειγμα, ο συντελεστής είναι:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Διανυσματική ενότητα ενεργοποιημένηΤο επίπεδο υπολογίζεται με παρόμοιο τύπο, μόνο χωρίς τη συμμετοχή της τρίτης συντεταγμένης.
Το άθροισμα και η διαφορά των διανυσμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου. Το παρακάτω σχήμα δείχνει πώς να προσθέσετε και να αφαιρέσετε αυτά τα αντικείμενα.
Για να λάβετε το διάνυσμα αθροίσματος, προσθέστε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος. Το επιθυμητό διάνυσμα θα ξεκινά στην αρχή του πρώτου και θα τελειώνει στο τέλος του δεύτερου διανύσματος.
Η διαφορά εκτελείται λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το αφαιρούμενο διάνυσμα αντικαθίσταται από το αντίθετο και στη συνέχεια εκτελείται η πράξη πρόσθεσης που περιγράφεται παραπάνω.
Εκτός από την πρόσθεση και την αφαίρεση, είναι σημαντικό να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό. Εάν ο αριθμός είναι ίσος με k, τότε λαμβάνεται ένα διάνυσμα του οποίου ο συντελεστής είναι k φορές διαφορετικός από τον αρχικό και η κατεύθυνση είναι είτε ίδια (k>0) είτε αντίθετη από την αρχική (k<0).
Ορίζεται επίσης η λειτουργία του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων μεταξύ τους. Θα ξεχωρίσουμε μια ξεχωριστή παράγραφο για αυτό στο άρθρο.
Βαθμιακός και διανυσματικός πολλαπλασιασμός
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διανύσματα u¯(x1; y1; z1) και v¯(x2; y2; z2). Διάνυσμα με διάνυσμα μπορεί να πολλαπλασιαστεί με δύο διαφορετικούς τρόπους:
- Scalar. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός.
- Διάνυσμα. Το αποτέλεσμα είναι κάποιο νέο διάνυσμα.
Το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων u¯ και v¯ υπολογίζεται ως εξής:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Όπου α είναι η γωνία μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι γνωρίζοντας τις συντεταγμένες u¯ και v¯, το γινόμενο κουκίδων τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Το βαθμωτό γινόμενο είναι βολικό στη χρήση κατά την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε δύο κάθετα κατευθυνόμενα τμήματα. Χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό του παραλληλισμού ή της ορθογωνικότητας των διανυσμάτων και για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ τους.
Το διασταυρούμενο γινόμενο των u¯ και v¯ δίνει ένα νέο διάνυσμα που είναι κάθετο στα αρχικά και έχει συντελεστή:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Η κατεύθυνση προς τα κάτω ή προς τα πάνω του νέου διανύσματος καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού (τέσσερα δάχτυλα του δεξιού χεριού κατευθύνονται από το τέλος του πρώτου διανύσματος στο τέλος του δεύτερου και ο αντίχειρας κολλάει προς τα πάνω δείχνει την κατεύθυνση του νέου διανύσματος). Το παρακάτω σχήμα δείχνει το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινόμενου για αυθαίρετα a¯ και b¯.
Το διασταυρούμενο γινόμενο χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των εμβαδών των σχημάτων, καθώς και για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος κάθετου σε ένα δεδομένο επίπεδο.
Τα διανύσματα και οι ιδιότητές τους είναι βολικά στη χρήση κατά τον ορισμό της εξίσωσης ενός επιπέδου.
Κανονική και γενική εξίσωση του επιπέδου
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να ορίσετε ένα επίπεδο. Ένα από αυτά είναι η εξαγωγή της γενικής εξίσωσης του επιπέδου, η οποία προκύπτει απευθείας από τη γνώση του κάθετου σε αυτό διανύσματος και κάποιου γνωστού σημείου που ανήκει στο επίπεδο.
Υποθέστε ότι υπάρχει ένα διάνυσμα n¯ (A; B; C) και ένα σημείο P (x0; y0; z 0). Ποια συνθήκη θα ικανοποιήσει όλα τα σημεία Q(x; y; z) του επιπέδου; Αυτή η συνθήκη συνίσταται στην καθετότητα οποιουδήποτε διανύσματος PQ¯ στο κανονικό n¯. Για δύο κάθετα διανύσματα, το γινόμενο με τελείες γίνεται μηδέν (cos(90o)=0), γράψτε το εξής:
(n¯PQ¯)=0 ή
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Ανοίγοντας τις αγκύλες, παίρνουμε:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ή
Ax + By + Cz +D=0 όπου D=-Ax0-By0-Cz0.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται γενική για το επίπεδο. Βλέπουμε ότι οι συντελεστές μπροστά από τα x, y και z είναι οι συντεταγμένες του κάθετου διανύσματος n¯. Ονομάζεται οδηγός αεροπλάνου.
Διανυσματική παραμετρική εξίσωση του επιπέδου
Ο δεύτερος τρόπος για να ορίσετε ένα επίπεδο είναι να χρησιμοποιήσετε δύο διανύσματα που βρίσκονται σε αυτό.
Υποθέστε ότι υπάρχουν διανύσματα u¯(x1; y1; z1) και v¯(x2; y2; z2). Όπως ειπώθηκε, καθένα από αυτά στο διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν άπειρο αριθμό πανομοιότυπων κατευθυνόμενων τμημάτων, επομένως, χρειάζεται ένα ακόμη σημείο για να προσδιοριστεί μοναδικά το επίπεδο. Έστω αυτό το σημείο P(x0;y0; z0). Οποιοδήποτε σημείο Q(x; y; z) θα βρίσκεται στο επιθυμητό επίπεδο εάν το διάνυσμα PQ¯ μπορεί να αναπαρασταθεί ως συνδυασμός u¯ και v¯. Δηλαδή, έχουμε:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Όπου α και β είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί. Από αυτή την ισότητα ακολουθεί η έκφραση:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Ονομάζεται παραμετρική διανυσματική εξίσωση του επιπέδου σε σχέση με 2 διανύσματα u¯ και v¯. Αντικαθιστώντας τις αυθαίρετες παραμέτρους α και β, μπορεί κανείς να βρει όλα τα σημεία (x; y; z) που ανήκουν σε αυτό το επίπεδο.
Από αυτήν την εξίσωση είναι εύκολο να ληφθεί η γενική έκφραση για το επίπεδο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης n¯, το οποίο θα είναι κάθετο και στα δύο διανύσματα u¯ και v¯, δηλαδή θα πρέπει να εφαρμοστεί το διανυσματικό γινόμενο τους.
Το πρόβλημα του προσδιορισμού της γενικής εξίσωσης του επιπέδου
Ας δείξουμε πώς να χρησιμοποιείτε τους παραπάνω τύπους για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Ας υποθέσουμε ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης του επιπέδου είναι n¯(5; -3; 1). Θα πρέπει να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(2; 0; 0) ανήκει σε αυτό.
Η γενική εξίσωση γράφεται ως:
Ax + By + Cz +D=0.
Δεδομένου ότι είναι γνωστό το διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο, η εξίσωση θα έχει τη μορφή:
5x - 3y + z +D=0.
Μένει να βρούμε τον ελεύθερο όρο Δ. Τον υπολογίζουμε από τη γνώση των συντεταγμένων P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Έτσι, η επιθυμητή εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:
5x - 3y + z -10=0.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει πώς μοιάζει το επίπεδο που προκύπτει.
Οι υποδεικνυόμενες συντεταγμένες των σημείων αντιστοιχούν στις τομές του επιπέδου με τους άξονες x, y και z.
Το πρόβλημα του προσδιορισμού του επιπέδου μέσω δύο διανυσμάτων και ενός σημείου
Τώρα ας υποθέσουμε ότι το προηγούμενο επίπεδο ορίζεται διαφορετικά. Είναι γνωστά δύο διανύσματα u¯(-2; 0; 10) και v¯(-2; -10/3; 0), καθώς και το σημείο P(2; 0; 0). Πώς να γράψετε την εξίσωση επιπέδου σε διανυσματική παραμετρική μορφή; Χρησιμοποιώντας τον εξεταζόμενο αντίστοιχο τύπο, παίρνουμε:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Σημειώστε ότι οι ορισμοί αυτής της εξίσωσης του επιπέδου, τα διανύσματα u¯ και v¯ μπορούν να ληφθούν απολύτως οποιοιδήποτε, αλλά με μία προϋπόθεση: δεν πρέπει να είναι παράλληλοι. Διαφορετικά, το επίπεδο δεν μπορεί να προσδιοριστεί μοναδικά, ωστόσο, μπορεί κανείς να βρει μια εξίσωση για μια δέσμη ή ένα σύνολο επιπέδων.
