Τα μαθηματικά είναι μια αρκετά περίπλοκη επιστήμη. Μελετώντας το, δεν χρειάζεται μόνο να λύσει κανείς παραδείγματα και προβλήματα, αλλά και να εργαστεί με διάφορες φιγούρες, ακόμη και αεροπλάνα. Ένα από τα πιο χρησιμοποιούμενα στα μαθηματικά είναι το σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Τα παιδιά διδάσκονται πώς να το δουλεύουν σωστά για περισσότερο από ένα χρόνο. Επομένως, είναι σημαντικό να γνωρίζετε τι είναι και πώς να το δουλέψετε σωστά.
Ας μάθουμε τι είναι αυτό το σύστημα, ποιες ενέργειες μπορείτε να εκτελέσετε με αυτό, καθώς και ας μάθουμε τα κύρια χαρακτηριστικά και τα χαρακτηριστικά του.
Ορισμός της έννοιας
Επίπεδο συντεταγμένων είναι ένα επίπεδο στο οποίο έχει ρυθμιστεί ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Ένα τέτοιο επίπεδο ορίζεται από δύο ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία. Το σημείο τομής αυτών των γραμμών είναι η αρχή των συντεταγμένων. Κάθε σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων δίνεται από ένα ζεύγος αριθμών, οι οποίοι ονομάζονται συντεταγμένες.
Στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών, οι μαθητές πρέπει να συνεργαστούν αρκετά στενά με το σύστημα συντεταγμένων - να δημιουργήσουν σχήματα και σημεία σε αυτό, για να καθορίσουν ποιαη μία ή η άλλη συντεταγμένη ανήκει στο επίπεδο, καθώς και για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων ενός σημείου και τη σύνταξη ή την ονομασία τους. Επομένως, ας μιλήσουμε λεπτομερέστερα για όλα τα χαρακτηριστικά των συντεταγμένων. Αλλά πρώτα, ας αγγίξουμε την ιστορία της δημιουργίας και μετά θα μιλήσουμε για το πώς να εργαστούμε στο επίπεδο συντεταγμένων.
Ιστορικό υπόβαθρο
Οι ιδέες για τη δημιουργία ενός συστήματος συντεταγμένων υπήρχαν στην εποχή του Πτολεμαίου. Ακόμη και τότε, αστρονόμοι και μαθηματικοί σκέφτονταν πώς να μάθουν πώς να ορίζουν τη θέση ενός σημείου σε ένα επίπεδο. Δυστυχώς, εκείνη την εποχή δεν ήταν γνωστό σε εμάς σύστημα συντεταγμένων και οι επιστήμονες έπρεπε να χρησιμοποιήσουν άλλα συστήματα.
Αρχικά ορίζουν σημεία χρησιμοποιώντας γεωγραφικό πλάτος και γεωγραφικό μήκος. Για πολύ καιρό ήταν ένας από τους πιο χρησιμοποιούμενους τρόπους χαρτογράφησης αυτής ή της άλλης πληροφορίας. Όμως το 1637, ο Ρενέ Ντεκάρτ δημιούργησε το δικό του σύστημα συντεταγμένων, που αργότερα ονομάστηκε «καρτεσιανό» προς τιμή του μεγάλου μαθηματικού.
Μετά τη δημοσίευση του έργου «Γεωμετρία», το σύστημα συντεταγμένων του Ρενέ Ντεκάρτ κέρδισε την αναγνώριση στους επιστημονικούς κύκλους.
Ήδη στα τέλη του 17ου αιώνα. η έννοια του «επίπεδου συντεταγμένων» έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη στον κόσμο των μαθηματικών. Παρά το γεγονός ότι έχουν περάσει αρκετοί αιώνες από τη δημιουργία αυτού του συστήματος, εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και ακόμη και στη ζωή.
Παραδείγματα επιπέδου συντεταγμένων
Πριν μιλήσουμε για τη θεωρία, ας δώσουμε μερικά ενδεικτικά παραδείγματα του επιπέδου συντεταγμένων για να μπορείτε να το φανταστείτε. Το σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται κυρίως στο σκάκι. Στον πίνακα, κάθε τετράγωνο έχει τις δικές του συντεταγμένες - μια συντεταγμένη γραμμάτων, η δεύτερη - ψηφιακή. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να προσδιορίσετε τη θέση ενός συγκεκριμένου κομματιού στον πίνακα.
Το δεύτερο πιο εντυπωσιακό παράδειγμα είναι το αγαπημένο παιχνίδι "Battleship". Θυμηθείτε πώς, όταν παίζετε, ονομάζετε μια συντεταγμένη, για παράδειγμα, B3, υποδεικνύοντας έτσι ακριβώς πού στοχεύετε. Ταυτόχρονα, όταν τοποθετείτε πλοία, ορίζετε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων.
Αυτό το σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται ευρέως όχι μόνο στα μαθηματικά, στα λογικά παιχνίδια, αλλά και σε στρατιωτικές υποθέσεις, την αστρονομία, τη φυσική και πολλές άλλες επιστήμες.
Άξονες συντεταγμένων
Όπως ήδη αναφέρθηκε, υπάρχουν δύο άξονες στο σύστημα συντεταγμένων. Ας μιλήσουμε λίγο για αυτά, καθώς έχουν μεγάλη σημασία.
Ο πρώτος άξονας - τετμημένη - είναι οριζόντιος. Συμβολίζεται ως (βόδι). Ο δεύτερος άξονας είναι ο άξονας y, ο οποίος διέρχεται κατακόρυφα από το σημείο αναφοράς και συμβολίζεται ως (Oy). Είναι αυτοί οι δύο άξονες που σχηματίζουν το σύστημα συντεταγμένων, χωρίζοντας το επίπεδο σε τέσσερα τέταρτα. Η αρχή βρίσκεται στο σημείο τομής αυτών των δύο αξόνων και παίρνει την τιμή 0. Μόνο αν το επίπεδο σχηματίζεται από δύο κάθετα τεμνόμενους άξονες που έχουν σημείο αναφοράς, είναι επίπεδο συντεταγμένων.
Σημειώστε επίσης ότι κάθε ένας από τους άξονες έχει τη δική του κατεύθυνση. Συνήθως, κατά την κατασκευή ενός συστήματος συντεταγμένων, συνηθίζεται να υποδεικνύεται η κατεύθυνση του άξονα με τη μορφή βέλους. Επιπλέον, κατά την κατασκευή του επιπέδου συντεταγμένων, κάθε ένας από τους άξονες υπογράφεται.
Quarters
Τώρα ας πούμε λίγα λόγια για μια τέτοια έννοια όπως τα τέταρτα του επιπέδου συντεταγμένων. Το αεροπλάνο χωρίζεται από δύο άξονες σε τέσσερα τέταρτα. Κάθε ένα από αυτά έχει τον δικό του αριθμό, ενώ η αρίθμηση των αεροπλάνων είναι αριστερόστροφα.
Κάθε τρίμηνο έχει τα δικά του χαρακτηριστικά. Έτσι, στο πρώτο τέταρτο, η τετμημένη και η τεταγμένη είναι θετικά, στο δεύτερο τέταρτο, η τετμημένη είναι αρνητική, η τεταγμένη είναι θετική, στο τρίτο, και η τετμημένη και η τεταγμένη είναι αρνητικές, στο τέταρτο, η τεταγμένη είναι θετική και η τεταγμένη είναι αρνητική.
Με το να θυμάστε αυτά τα χαρακτηριστικά, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε σε ποιο τρίμηνο ανήκει αυτό ή εκείνο το σημείο. Επιπλέον, αυτές οι πληροφορίες μπορεί να σας φανούν χρήσιμες εάν πρέπει να κάνετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το καρτεσιανό σύστημα.
Εργασία με το επίπεδο συντεταγμένων
Όταν καταλάβαμε την έννοια ενός αεροπλάνου και μιλήσαμε για τα τέταρτά του, μπορούμε να προχωρήσουμε σε ένα τέτοιο πρόβλημα όπως η εργασία με αυτό το σύστημα, και επίσης να μιλήσουμε για το πώς να βάλουμε σημεία, συντεταγμένες ψηφίων σε αυτό. Στο επίπεδο συντεταγμένων, αυτό δεν είναι τόσο δύσκολο όσο μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά.
Πρώτα απ 'όλα, το ίδιο το σύστημα είναι κατασκευασμένο, όλες οι σημαντικές ονομασίες εφαρμόζονται σε αυτό. Στη συνέχεια, υπάρχει εργασία απευθείας με σημεία ή σχήματα. Σε αυτήν την περίπτωση, ακόμη και κατά την κατασκευή σχημάτων, τα σημεία εφαρμόζονται πρώτα στο επίπεδο και μετά τα σχήματα έχουν ήδη σχεδιαστεί.
Στη συνέχεια, θα μιλήσουμε περισσότερα για τη δημιουργία ενός συστήματος και την άμεση εφαρμογή σημείων και σχημάτων.
Κανόνεςκατασκευή αεροπλάνου
Αν αποφασίσετε να αρχίσετε να σημειώνετε σχήματα και σημεία σε χαρτί, θα χρειαστείτε ένα επίπεδο συντεταγμένων. Οι συντεταγμένες των σημείων απεικονίζονται σε αυτό. Για να φτιάξετε ένα επίπεδο συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο έναν χάρακα και ένα στυλό ή μολύβι. Αρχικά σχεδιάζεται η οριζόντια τετμημένη και μετά η κάθετη - τεταγμένη. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι οι άξονες τέμνονται σε ορθή γωνία.
Επιπλέον, σε κάθε άξονα υποδείξτε την κατεύθυνση και υπογράψτε τους χρησιμοποιώντας τους γενικά αποδεκτούς συμβολισμούς x και y. Το σημείο τομής των αξόνων σημειώνεται επίσης και υπογράφεται με τον αριθμό 0.
Το επόμενο υποχρεωτικό στοιχείο είναι η σήμανση. Οι μονάδες-τμήματα σημειώνονται και υπογράφονται σε κάθε έναν από τους άξονες και στις δύο κατευθύνσεις. Αυτό γίνεται για να μπορείτε στη συνέχεια να εργάζεστε με το αεροπλάνο με μέγιστη άνεση.
Σήμανση σημείου
Τώρα ας μιλήσουμε για το πώς να σχεδιάσουμε τις συντεταγμένες των σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων. Αυτά είναι τα βασικά που πρέπει να γνωρίζετε για να τοποθετήσετε επιτυχώς μια ποικιλία σχημάτων στο επίπεδο, ακόμα και να σημειώσετε εξισώσεις.
Όταν σχεδιάζετε σημεία, θυμηθείτε πώς είναι γραμμένες σωστά οι συντεταγμένες τους. Έτσι, συνήθως ορίζοντας ένα σημείο, δύο αριθμοί γράφονται σε αγκύλες. Το πρώτο ψηφίο δείχνει τη συντεταγμένη του σημείου κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, το δεύτερο - κατά μήκος του άξονα τεταγμένων.
Χτίστε ένα σημείο με αυτόν τον τρόπο. Πρώτα, σημειώστε ένα δεδομένο σημείο στον άξονα Ox και, στη συνέχεια, σημειώστε ένα σημείο στον άξονα Oy. Στη συνέχεια, σχεδιάστε φανταστικές γραμμές από αυτούς τους χαρακτηρισμούς και βρείτε τη θέση τομής τους - αυτό θα είναι το δεδομένο σημείο.
Απλώς πρέπει να το σημειώσετε και να το υπογράψετε. Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι αρκετά απλά και δεν απαιτούν ειδικές δεξιότητες.
Τοποθετήστε το σχήμα
Τώρα ας περάσουμε σε μια τέτοια ερώτηση όπως η κατασκευή των σχημάτων στο επίπεδο συντεταγμένων. Για να δημιουργήσετε οποιοδήποτε σχήμα στο επίπεδο συντεταγμένων, θα πρέπει να ξέρετε πώς να τοποθετείτε σημεία σε αυτό. Εάν ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό, τότε η τοποθέτηση μιας φιγούρας σε ένα αεροπλάνο δεν είναι τόσο δύσκολη.
Πρώτα από όλα, θα χρειαστείτε τις συντεταγμένες των σημείων του σχήματος. Σε αυτά θα εφαρμόσουμε τα γεωμετρικά σχήματα που επιλέξατε στο σύστημα συντεταγμένων μας. Σκεφτείτε να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο, ένα τρίγωνο και έναν κύκλο.
Ας ξεκινήσουμε με ένα ορθογώνιο. Η εφαρμογή του είναι αρκετά εύκολη. Πρώτον, τέσσερα σημεία εφαρμόζονται στο επίπεδο, υποδεικνύοντας τις γωνίες του ορθογωνίου. Τότε όλα τα σημεία συνδέονται διαδοχικά μεταξύ τους.
Το σχέδιο ενός τριγώνου δεν διαφέρει. Το μόνο πράγμα είναι ότι έχει τρεις γωνίες, πράγμα που σημαίνει ότι εφαρμόζονται τρία σημεία στο επίπεδο, που δηλώνουν τις κορυφές του.
Σχετικά με τον κύκλο, εδώ πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες δύο σημείων. Το πρώτο σημείο είναι το κέντρο του κύκλου, το δεύτερο είναι το σημείο που δηλώνει την ακτίνα του. Αυτά τα δύο σημεία σχεδιάζονται σε ένα επίπεδο. Στη συνέχεια λαμβάνεται μια πυξίδα, μετράται η απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Το σημείο της πυξίδας τοποθετείται σε ένα σημείο που δείχνει το κέντρο και περιγράφεται ένας κύκλος.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο και εδώ, το κύριο πράγμα είναι να έχετε πάντα έναν χάρακα και μια πυξίδα στο χέρι.
Τώρα ξέρετε πώς να σχεδιάζετε συντεταγμένες σχήματος. Στο επίπεδο συντεταγμένων, αυτό δεν είναι τόσο δύσκολο να γίνει όσο μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά.
Συμπεράσματα
Λοιπόν, εξετάσαμε μαζί σας μία από τις πιο ενδιαφέρουσες και βασικές έννοιες για τα μαθηματικά που κάθε μαθητής έχει να αντιμετωπίσει.
Ανακαλύψαμε ότι το επίπεδο συντεταγμένων είναι το επίπεδο που σχηματίζεται από την τομή δύο αξόνων. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων, να βάλετε σχήματα σε αυτό. Το αεροπλάνο χωρίζεται σε τέταρτα, καθένα από τα οποία έχει τα δικά του χαρακτηριστικά.
Η κύρια ικανότητα που πρέπει να αναπτυχθεί όταν εργάζεστε με το επίπεδο συντεταγμένων είναι η ικανότητα να σχεδιάζετε σωστά δεδομένα σημεία σε αυτό. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να γνωρίζετε τη σωστή θέση των αξόνων, τα χαρακτηριστικά των τεταρτημορίων, καθώς και τους κανόνες με τους οποίους ορίζονται οι συντεταγμένες των σημείων.
Ελπίζουμε ότι οι πληροφορίες που παρουσιάσαμε ήταν προσβάσιμες και κατανοητές, καθώς και χρήσιμες για εσάς και βοήθησαν στην καλύτερη κατανόηση αυτού του θέματος.
