Μια σημαντική έννοια στα μαθηματικά είναι μια συνάρτηση. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να απεικονίσετε πολλές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση, να αντικατοπτρίσετε τη σχέση μεταξύ ορισμένων ποσοτήτων χρησιμοποιώντας τύπους, πίνακες και εικόνες σε ένα γράφημα. Ένα παράδειγμα είναι η εξάρτηση της πίεσης ενός υγρού στρώματος σε ένα σώμα από το βάθος βύθισης, την επιτάχυνση - από τη δράση μιας ορισμένης δύναμης σε ένα αντικείμενο, την αύξηση της θερμοκρασίας - από τη μεταδιδόμενη ενέργεια και πολλές άλλες διαδικασίες. Η μελέτη μιας συνάρτησης περιλαμβάνει την κατασκευή ενός γραφήματος, την αποσαφήνιση των ιδιοτήτων της, το εύρος και τις τιμές, τα διαστήματα αύξησης και μείωσης. Ένα σημαντικό σημείο σε αυτή τη διαδικασία είναι η εύρεση των ακραίων σημείων. Σχετικά με το πώς να το κάνετε σωστά και η συζήτηση θα συνεχιστεί.
Σχετικά με την ίδια την έννοια σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα
Στην ιατρική, η γραφική παράσταση ενός γραφήματος συνάρτησης μπορεί να πει για την πρόοδο μιας ασθένειας στο σώμα ενός ασθενούς, αντικατοπτρίζοντας οπτικά την κατάστασή του. Ας υποθέσουμε ότι ο χρόνος σε ημέρες απεικονίζεται κατά μήκος του άξονα OX και η θερμοκρασία του ανθρώπινου σώματος απεικονίζεται κατά μήκος του άξονα OY. Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα πώς αυτός ο δείκτης αυξάνεται απότομα καιτότε πέφτει. Είναι επίσης εύκολο να παρατηρήσετε μοναδικά σημεία που αντικατοπτρίζουν τις στιγμές που η συνάρτηση, έχοντας προηγουμένως αυξηθεί, αρχίζει να μειώνεται και αντίστροφα. Αυτά είναι τα ακραία σημεία, δηλαδή οι κρίσιμες τιμές (μέγιστες και ελάχιστες) σε αυτήν την περίπτωση της θερμοκρασίας του ασθενούς, μετά από τις οποίες συμβαίνουν αλλαγές στην κατάστασή του.
Γωνία κλίσης
Είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το σχήμα πώς αλλάζει η παράγωγος μιας συνάρτησης. Εάν οι ευθείες γραμμές του γραφήματος ανεβαίνουν με την πάροδο του χρόνου, τότε είναι θετικό. Και όσο πιο απότομες είναι, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της παραγώγου, καθώς αυξάνεται η γωνία κλίσης. Κατά τις περιόδους μείωσης, αυτή η τιμή λαμβάνει αρνητικές τιμές, μετατρέποντας στο μηδέν στα ακραία σημεία και η γραφική παράσταση της παραγώγου στην τελευταία περίπτωση σχεδιάζεται παράλληλα με τον άξονα OX.
Οποιαδήποτε άλλη διαδικασία θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με τον ίδιο τρόπο. Αλλά το καλύτερο πράγμα σχετικά με αυτήν την έννοια μπορεί να πει την κίνηση διαφόρων σωμάτων, που φαίνεται καθαρά στα γραφήματα.
Movement
Ας υποθέσουμε ότι κάποιο αντικείμενο κινείται σε ευθεία γραμμή, αποκτώντας ταχύτητα ομοιόμορφα. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η αλλαγή στις συντεταγμένες του σώματος αναπαριστά γραφικά μια συγκεκριμένη καμπύλη, την οποία ένας μαθηματικός θα έλεγε κλάδο παραβολής. Ταυτόχρονα, η συνάρτηση αυξάνεται συνεχώς, αφού οι δείκτες συντεταγμένων αλλάζουν όλο και πιο γρήγορα με κάθε δευτερόλεπτο. Το γράφημα ταχύτητας δείχνει τη συμπεριφορά της παραγώγου, η τιμή της οποίας επίσης αυξάνεται. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση δεν έχει κρίσιμα σημεία.
Θα είχε συνεχιστεί επ' αόριστον. Αλλά αν το σώμα αποφασίσει ξαφνικά να επιβραδύνει, σταματήστε και αρχίστε να κινείστε σε άλλοκατεύθυνση? Σε αυτή την περίπτωση, οι δείκτες συντεταγμένων θα αρχίσουν να μειώνονται. Και η συνάρτηση θα περάσει την κρίσιμη τιμή και θα μετατραπεί από αύξουσα σε φθίνουσα.
Σε αυτό το παράδειγμα, μπορείτε και πάλι να καταλάβετε ότι τα ακραία σημεία στο γράφημα συνάρτησης εμφανίζονται τις στιγμές που παύει να είναι μονότονο.
Φυσική σημασία του παραγώγου
Το Περιγράφεται νωρίτερα έδειξε ξεκάθαρα ότι η παράγωγος είναι ουσιαστικά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης. Αυτή η τελειοποίηση περιέχει τη φυσική της σημασία. Τα ακραία σημεία είναι κρίσιμες περιοχές στο διάγραμμα. Είναι δυνατό να τα ανακαλύψετε και να τα εντοπίσετε υπολογίζοντας την τιμή της παραγώγου, η οποία αποδεικνύεται ίση με μηδέν.
Υπάρχει ένα άλλο σημάδι, που είναι επαρκής συνθήκη για εξτρέμ. Η παράγωγος σε τέτοιες θέσεις κλίσης αλλάζει το πρόσημά της: από "+" σε "-" στην περιοχή του μέγιστου και από "-" σε "+" στην περιοχή του ελάχιστου.
Κίνηση υπό την επίδραση της βαρύτητας
Ας φανταστούμε μια άλλη κατάσταση. Τα παιδιά, παίζοντας μπάλα, την πέταξαν με τέτοιο τρόπο που άρχισε να κινείται υπό γωνία προς τον ορίζοντα. Την αρχική στιγμή, η ταχύτητα αυτού του αντικειμένου ήταν η μεγαλύτερη, αλλά υπό την επίδραση της βαρύτητας άρχισε να μειώνεται, και με κάθε δευτερόλεπτο κατά την ίδια τιμή, ίση με περίπου 9,8 m/s2. Αυτή είναι η τιμή της επιτάχυνσης που συμβαίνει υπό την επίδραση της βαρύτητας της γης κατά την ελεύθερη πτώση. Στη Σελήνη, θα ήταν περίπου έξι φορές μικρότερο.
Το γράφημα που περιγράφει την κίνηση του σώματος είναι μια παραβολή με κλαδιά,προς τα κάτω. Πώς να βρείτε ακραία σημεία; Σε αυτή την περίπτωση, αυτή είναι η κορυφή της συνάρτησης, όπου η ταχύτητα του σώματος (μπάλα) παίρνει μηδενική τιμή. Η παράγωγος της συνάρτησης γίνεται μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η κατεύθυνση, και επομένως η τιμή της ταχύτητας, αλλάζει προς το αντίθετο. Το σώμα πετά προς τα κάτω κάθε δευτερόλεπτο όλο και πιο γρήγορα και επιταχύνει με την ίδια ποσότητα - 9,8 m/s2.
Δεύτερη παράγωγος
Στην προηγούμενη περίπτωση, η γραφική παράσταση του συντελεστή ταχύτητας σχεδιάζεται ως ευθεία γραμμή. Αυτή η γραμμή κατευθύνεται πρώτα προς τα κάτω, αφού η αξία αυτής της ποσότητας μειώνεται συνεχώς. Έχοντας φτάσει στο μηδέν σε ένα από τα χρονικά σημεία, τότε οι δείκτες αυτής της τιμής αρχίζουν να αυξάνονται και η κατεύθυνση της γραφικής αναπαράστασης της μονάδας ταχύτητας αλλάζει δραματικά. Η γραμμή δείχνει τώρα προς τα πάνω.
Η ταχύτητα, που είναι η χρονική παράγωγος της συντεταγμένης, έχει επίσης ένα κρίσιμο σημείο. Σε αυτήν την περιοχή, η συνάρτηση, αρχικά μειώνεται, αρχίζει να αυξάνεται. Αυτή είναι η θέση του ακραίου σημείου της παραγώγου της συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, η κλίση της εφαπτομένης γίνεται μηδέν. Και η επιτάχυνση, που είναι η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο, αλλάζει πρόσημο από «-» σε «+». Και η κίνηση από ομοιόμορφα αργή γίνεται ομοιόμορφα επιταχυνόμενη.
Διάγραμμα επιτάχυνσης
Σκεφτείτε τώρα τέσσερις εικόνες. Κάθε ένα από αυτά εμφανίζει ένα γράφημα της μεταβολής με την πάροδο του χρόνου μιας τέτοιας φυσικής ποσότητας όπως η επιτάχυνση. Στην περίπτωση του «Α», η τιμή του παραμένει θετική και σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του σώματος, όπως και η συντεταγμένη του, αυξάνεται συνεχώς. Αν έναφανταστείτε ότι το αντικείμενο θα κινείται με αυτόν τον τρόπο για άπειρο μεγάλο χρονικό διάστημα, η συνάρτηση που αντανακλά την εξάρτηση της συντεταγμένης από το χρόνο θα αποδειχθεί ότι αυξάνεται συνεχώς. Από αυτό προκύπτει ότι δεν έχει κρίσιμες περιοχές. Επίσης, δεν υπάρχουν ακραία σημεία στο γράφημα της παραγώγου, δηλαδή γραμμικά μεταβαλλόμενη ταχύτητα.
Το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση «Β» με θετική και συνεχώς αυξανόμενη επιτάχυνση. Είναι αλήθεια ότι τα σχέδια για τις συντεταγμένες και την ταχύτητα θα είναι κάπως πιο περίπλοκα εδώ.
Όταν η επιτάχυνση τείνει στο μηδέν
Βλέποντας την εικόνα "Β", μπορείτε να δείτε μια εντελώς διαφορετική εικόνα που χαρακτηρίζει την κίνηση του σώματος. Η ταχύτητά του θα απεικονίζεται γραφικά ως παραβολή με κλαδιά στραμμένα προς τα κάτω. Εάν συνεχίσουμε τη γραμμή που περιγράφει την αλλαγή στην επιτάχυνση έως ότου διασταυρωθεί με τον άξονα OX και περαιτέρω, τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι μέχρι αυτή την κρίσιμη τιμή, όπου η επιτάχυνση αποδεικνύεται ίση με μηδέν, η ταχύτητα του αντικειμένου θα αυξηθεί όλο και πιο αργά. Το ακραίο σημείο της παραγώγου της συντεταγμένης θα βρίσκεται ακριβώς στην κορυφή της παραβολής, μετά την οποία το σώμα θα αλλάξει ριζικά τη φύση της κίνησης και θα αρχίσει να κινείται προς την άλλη κατεύθυνση.
Στην τελευταία περίπτωση, "G", η φύση της κίνησης δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια. Εδώ γνωρίζουμε μόνο ότι δεν υπάρχει επιτάχυνση για κάποια υπό εξέταση περίοδο. Αυτό σημαίνει ότι το αντικείμενο μπορεί να παραμείνει στη θέση του ή η κίνηση γίνεται με σταθερή ταχύτητα.
Εργασία προσθήκης συντεταγμένων
Ας περάσουμε σε εργασίες που απαντώνται συχνά στη μελέτη της άλγεβρας στο σχολείο και προσφέρονται γιαπροετοιμασία για τις εξετάσεις. Το παρακάτω σχήμα δείχνει το γράφημα της συνάρτησης. Απαιτείται ο υπολογισμός του αθροίσματος των ακραίων πόντων.
Ας το κάνουμε αυτό για τον άξονα y προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες των κρίσιμων περιοχών όπου παρατηρείται αλλαγή στα χαρακτηριστικά της συνάρτησης. Με απλά λόγια, βρίσκουμε τις τιμές κατά μήκος του άξονα x για τα σημεία καμπής και, στη συνέχεια, προχωράμε στην προσθήκη των όρων που προκύπτουν. Σύμφωνα με το γράφημα, είναι προφανές ότι παίρνουν τις ακόλουθες τιμές: -8; -7; -5; -3; -2; ένας; 3. Αυτό αθροίζεται σε -21, που είναι η απάντηση.
Βέλτιστη λύση
Δεν είναι απαραίτητο να εξηγήσουμε πόσο σημαντική μπορεί να είναι η επιλογή της βέλτιστης λύσης στην εκτέλεση πρακτικών εργασιών. Εξάλλου, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να επιτευχθεί ο στόχος και η καλύτερη διέξοδος, κατά κανόνα, είναι μόνο ένας. Αυτό είναι εξαιρετικά απαραίτητο, για παράδειγμα, όταν σχεδιάζουμε πλοία, διαστημόπλοια και αεροσκάφη, αρχιτεκτονικές κατασκευές για να βρούμε το βέλτιστο σχήμα αυτών των τεχνητών αντικειμένων.
Η ταχύτητα των οχημάτων εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την κατάλληλη ελαχιστοποίηση της αντίστασης που αντιμετωπίζουν όταν κινούνται μέσα στο νερό και τον αέρα, από υπερφορτώσεις που προκύπτουν υπό την επίδραση βαρυτικών δυνάμεων και πολλών άλλων δεικτών. Ένα πλοίο στη θάλασσα χρειάζεται ιδιότητες όπως η σταθερότητα κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας· για ένα ποταμόπλοιο, ένα ελάχιστο βύθισμα είναι σημαντικό. Κατά τον υπολογισμό του βέλτιστου σχεδιασμού, τα ακραία σημεία στο γράφημα μπορούν να δώσουν οπτικά μια ιδέα για την καλύτερη λύση σε ένα σύνθετο πρόβλημα. Καθήκοντα αυτού του είδους είναι συχνάλύνονται στην οικονομία, σε οικονομικούς τομείς, σε πολλές άλλες καταστάσεις ζωής.
Από την αρχαία ιστορία
Ακραία προβλήματα απασχολούσαν ακόμη και τους αρχαίους σοφούς. Έλληνες επιστήμονες αποκάλυψαν με επιτυχία το μυστήριο των περιοχών και των όγκων μέσω μαθηματικών υπολογισμών. Ήταν οι πρώτοι που κατάλαβαν ότι σε ένα επίπεδο με διάφορες μορφές με την ίδια περίμετρο, ο κύκλος έχει πάντα το μεγαλύτερο εμβαδόν. Ομοίως, μια μπάλα είναι προικισμένη με τον μέγιστο όγκο μεταξύ άλλων αντικειμένων στο χώρο με την ίδια επιφάνεια. Διάσημες προσωπικότητες όπως ο Αρχιμήδης, ο Ευκλείδης, ο Αριστοτέλης, ο Απολλώνιος αφοσιώθηκαν στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Ο Heron πέτυχε πολύ καλά να βρει ακραίους πόντους, ο οποίος, έχοντας καταφύγει σε υπολογισμούς, κατασκεύασε έξυπνες συσκευές. Αυτά περιελάμβαναν αυτόματα μηχανήματα που κινούνται μέσω ατμού, αντλιών και στροβίλων που λειτουργούν με την ίδια αρχή.
Κατασκευή της Καρχηδόνας
Υπάρχει ένας θρύλος, η πλοκή του οποίου βασίζεται στην επίλυση ενός από τα ακραία προβλήματα. Το αποτέλεσμα της επιχειρηματικής προσέγγισης που επέδειξε η Φοίνικα πριγκίπισσα, η οποία στράφηκε στους σοφούς για βοήθεια, ήταν η κατασκευή της Καρχηδόνας. Το οικόπεδο για αυτήν την αρχαία και διάσημη πόλη παρουσιάστηκε στη Διδώ (αυτό ήταν το όνομα του ηγεμόνα) από τον αρχηγό μιας από τις αφρικανικές φυλές. Η έκταση της παραχώρησης δεν του φαινόταν στην αρχή πολύ μεγάλη, αφού σύμφωνα με το συμβόλαιο έπρεπε να καλυφθεί με οξείδιο. Αλλά η πριγκίπισσα διέταξε τους στρατιώτες της να το κόψουν σε λεπτές λωρίδες και να φτιάξουν μια ζώνη από αυτές. Αποδείχθηκε ότι ήταν τόσο μεγάλο που κάλυψε τον ιστότοπο,εκεί που χωράει όλη η πόλη.
Η προέλευση του λογισμού
Και τώρα ας περάσουμε από την αρχαιότητα σε μια μεταγενέστερη εποχή. Είναι ενδιαφέρον ότι τον 17ο αιώνα, ο Κέπλερ παρακινήθηκε να κατανοήσει τα θεμέλια της μαθηματικής ανάλυσης από μια συνάντηση με έναν πωλητή κρασιού. Ο έμπορος ήταν τόσο καλά γνώστης του επαγγέλματός του που μπορούσε εύκολα να προσδιορίσει τον όγκο του ποτού στο βαρέλι κατεβάζοντας απλώς ένα σιδερένιο τουρνικέ μέσα του. Αναλογιζόμενος μια τέτοια περιέργεια, ο διάσημος επιστήμονας κατάφερε να λύσει αυτό το δίλημμα για τον εαυτό του. Αποδεικνύεται ότι οι επιδέξιοι βαρελοποιοί εκείνης της εποχής είχαν το κόλπο να κατασκευάζουν αγγεία με τέτοιο τρόπο ώστε σε ένα ορισμένο ύψος και ακτίνα της περιφέρειας των δακτυλίων στερέωσης να έχουν μέγιστη χωρητικότητα.
Αυτό ήταν για λόγους Kepler για περαιτέρω προβληματισμό. Ο Μπόχαρς έφτασε στη βέλτιστη λύση με μακρά αναζήτηση, λάθη και νέες προσπάθειες, μεταφέροντας την εμπειρία του από γενιά σε γενιά. Όμως ο Κέπλερ ήθελε να επιταχύνει τη διαδικασία και να μάθει πώς να κάνει το ίδιο σε σύντομο χρονικό διάστημα μέσω μαθηματικών υπολογισμών. Όλες οι εξελίξεις του, που συλλήφθηκαν από συναδέλφους, μετατράπηκαν στα γνωστά πλέον θεωρήματα του Fermat και του Newton - Leibniz.
Πρόβλημα μέγιστης περιοχής
Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα σύρμα με μήκος 50 εκ. Πώς να φτιάξετε ένα ορθογώνιο από αυτό με τη μεγαλύτερη επιφάνεια;
Ξεκινώντας μια απόφαση, θα πρέπει κανείς να προχωρήσει από απλές και γνωστές αλήθειες. Είναι σαφές ότι η περίμετρος της φιγούρας μας θα είναι 50 εκ. Αποτελείται επίσης από τα διπλάσια μήκη και των δύο πλευρών. Αυτό σημαίνει ότι, έχοντας ορίσει ένα από αυτά ως "X", το άλλο μπορεί να εκφραστεί ως (25 - X).
Από εδώ έχουμεένα εμβαδόν ίσο με Χ (25 - Χ). Αυτή η έκφραση μπορεί να αναπαρασταθεί ως συνάρτηση που παίρνει πολλές τιμές. Η λύση του προβλήματος απαιτεί την εύρεση του μέγιστου από αυτά, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να ανακαλύψετε τα ακραία σημεία.
Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο και την εξισώνουμε με μηδέν. Το αποτέλεσμα είναι μια απλή εξίσωση: 25 - 2X=0.
Από αυτό μαθαίνουμε ότι μία από τις πλευρές X=12, 5.
Επομένως, άλλο: 25 – 12, 5=12, 5.
Αποδεικνύεται ότι η λύση στο πρόβλημα θα είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 12,5 cm.
Πώς να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα
Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα. Φανταστείτε ότι υπάρχει ένα σώμα του οποίου η ευθύγραμμη κίνηση περιγράφεται από την εξίσωση S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, όπου η απόσταση που διανύσατε εκφράζεται σε μέτρα και ο χρόνος είναι σε δευτερόλεπτα. Απαιτείται να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα. Πως να το κάνεις? Λήψη βρείτε την ταχύτητα, δηλαδή την πρώτη παράγωγο.
Λαμβάνουμε την εξίσωση: V=- 3t2 + 18t – 24. Τώρα, για να λύσουμε το πρόβλημα, πρέπει και πάλι να βρούμε τα ακραία σημεία. Αυτό πρέπει να γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη εργασία. Βρείτε την πρώτη παράγωγο της ταχύτητας και εξισώστε την με μηδέν.
Λαμβάνουμε: - 6t + 18=0. Επομένως t=3 s. Αυτή είναι η στιγμή που η ταχύτητα του σώματος παίρνει μια κρίσιμη τιμή. Αντικαθιστούμε τα ληφθέντα δεδομένα στην εξίσωση ταχύτητας και παίρνουμε: V=3 m/s.
Αλλά πώς να καταλάβουμε ότι αυτή είναι ακριβώς η μέγιστη ταχύτητα, επειδή τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης μπορεί να είναι οι μέγιστες ή οι ελάχιστες τιμές της; Για να ελέγξετε, πρέπει να βρείτε ένα δεύτεροπαράγωγο της ταχύτητας. Εκφράζεται ως ο αριθμός 6 με πρόσημο μείον. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο που βρέθηκε είναι το μέγιστο. Και σε περίπτωση θετικής τιμής της δεύτερης παραγώγου, θα υπήρχε ένα ελάχιστο. Έτσι, η λύση που βρέθηκε ήταν σωστή.
Οι εργασίες που δίνονται ως παράδειγμα είναι μόνο ένα μέρος από εκείνες που μπορούν να επιλυθούν με τη δυνατότητα εύρεσης των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλά περισσότερα. Και αυτή η γνώση ανοίγει απεριόριστες δυνατότητες για τον ανθρώπινο πολιτισμό.
