Συχνά, όταν λύνετε προβλήματα, πρέπει να μάθετε εάν ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται με ένα δεδομένο ψηφίο χωρίς υπόλοιπο. Αλλά κάθε φορά χρειάζεται πολύς χρόνος για να το μοιραστείτε. Επιπλέον, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να κάνετε λάθος στους υπολογισμούς και να ξεφύγετε από τη σωστή απάντηση. Προκειμένου να αποφευχθεί αυτό το πρόβλημα, βρέθηκαν σημάδια διαιρετότητας σε βασικούς πρώτους ή μονοψήφιους αριθμούς: 2, 3, 9, 11. Τι γίνεται όμως αν χρειαστεί να διαιρέσετε με έναν άλλο, μεγαλύτερο αριθμό; Για παράδειγμα, πώς να υπολογίσετε το πρόσημο της διαιρετότητας με το 15; Θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση σε αυτό το άρθρο.
Πώς να διατυπώσετε το τεστ διαιρετότητας με το 15;
Αν τα σημάδια της διαιρετότητας είναι γνωστά για τους πρώτους αριθμούς, τότε τι να κάνουμε με τους υπόλοιπους;
Αν ο αριθμός δεν είναι πρώτος, τότε μπορεί να συνυπολογιστεί. Για παράδειγμα, το 33 είναι το γινόμενο του 3 και του 11 και το 45 είναι το 9 και το 5. Υπάρχει μια ιδιότητα σύμφωνα με την οποία ένας αριθμός διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίςυπόλοιπο αν μπορεί να διαιρεθεί και με τους δύο παράγοντες. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε μεγάλος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή πρώτων και με βάση αυτούς μπορούμε να διατυπώσουμε το πρόσημο της διαιρετότητας.
Λοιπόν, πρέπει να μάθουμε αν αυτός ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με το 15. Για να το κάνουμε αυτό, ας τον δούμε λεπτομερέστερα. Ο αριθμός 15 μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο του 3 και του 5. Αυτό σημαίνει ότι για να διαιρείται ένας αριθμός με το 15, πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 5. Αυτό είναι το πρόσημο της διαιρετότητας με το 15. στο μέλλον, θα το εξετάσουμε λεπτομερέστερα και θα το διατυπώσουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια.
Πώς καταλαβαίνετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με το 3;
Ανάκληση του τεστ για διαιρετότητα με το 3.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του (ο αριθμός των μονάδων, δεκάδων, εκατοντάδων κ.λπ.) διαιρείται με το 3.
Έτσι, για παράδειγμα, πρέπει να μάθετε ποιος από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί με το 3 χωρίς υπόλοιπο: 76348, 24606, 1128904, 540813.
Φυσικά, μπορείτε απλώς να χωρίσετε αυτούς τους αριθμούς σε μια στήλη, αλλά αυτό θα πάρει πολύ χρόνο. Επομένως, θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της διαιρετότητας με το 3.
- 7 + 6 + 3 + 4 + 8=28. Ο αριθμός 28 δεν διαιρείται με το 3, επομένως το 76348 δεν διαιρείται με το 3.
- 2 + 4 + 6 + 0 + 6=18. Ο αριθμός 18 μπορεί να διαιρεθεί με το 3, πράγμα που σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός διαιρείται επίσης με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Πράγματι, 24 606: 3=8 202.
Ανάλυσε τους υπόλοιπους αριθμούς με τον ίδιο τρόπο:
- 1 + 1 + 2 + 8 + 9 + 4=25. Ο αριθμός 25 δεν διαιρείται με το 3. Άρα το 1.128.904 δεν διαιρείται με το 3.
- 5 + 4 + 0 + 8 + 1 + 3=21. Ο αριθμός 21 διαιρείται με το 3, που σημαίνει ότι το 540.813 διαιρείται με το 3. (540.813: 3=180271)
Απάντηση: 24 606 και 540 813.
Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 5;
Ωστόσο, το πρόσημο ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 15 περιλαμβάνει επίσης όχι μόνο διαιρετότητα με το 3, αλλά και πολλαπλότητα του πέντε.
Το πρόσημο της διαιρετότητας με το 5 είναι το εξής: ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν τελειώνει σε 5 ή 0.
Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε πολλαπλάσια του 5: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900
Οι αριθμοί 11467 και 909 δεν διαιρούνται με το 5.
Οι αριθμοί 670, 840 435 και 67 900 τελειώνουν σε 0 ή 5, που σημαίνει ότι είναι πολλαπλάσια του 5.
Παραδείγματα με λύση
Λοιπόν, τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε πλήρως το πρόσημο της διαιρετότητας με το 15: ένας αριθμός διαιρείται με το 15 όταν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3 και το τελευταίο ψηφίο είναι είτε 5 είτε 0. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι και οι δύο αυτές προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Διαφορετικά, θα λάβουμε έναν αριθμό που δεν είναι πολλαπλάσιο του 15, αλλά μόνο του 3 ή του 5.
Το πρόσημο της διαιρετότητας των αριθμών με το 15 είναι πολύ συχνά απαραίτητο για την επίλυση εργασιών ελέγχου και εξέτασης. Για παράδειγμα, συχνά στο βασικό επίπεδο της εξέτασης στα μαθηματικά υπάρχουν εργασίες που βασίζονται στην κατανόηση του συγκεκριμένου θέματος. Εξετάστε μερικές από τις λύσεις τους στην πράξη.
Εργασία 1.
Μεταξύ των αριθμών, βρείτε αυτούς που διαιρούνται με το 15.
9 085 475; 78 545; 531; 12.000; 90 952
Έτσι, για αρχή, θα απορρίψουμε αυτούς τους αριθμούς που προφανώς δεν πληρούν τα κριτήριά μας. Αυτά είναι το 531 και το 90 952. Παρά το γεγονός ότι το άθροισμα 5+3+1=9 διαιρείται με το 3, ο αριθμός τελειώνει σε ένα, που σημαίνει ότι δεν ταιριάζει. Το ίδιο ισχύει και για το 90952, το οποίοτελειώνει σε 2.
9 085 475, 78 545 και 12 000 ικανοποιούν το πρώτο κριτήριο, τώρα ας τα ελέγξουμε με το δεύτερο.
9+0+8+5+4+7+5=38, το 38 δεν διαιρείται με το 3. Άρα αυτός ο αριθμός είναι επιπλέον στη σειρά μας.
7+8+5+4+5=29. Το 29 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3, δεν πληροί τις προϋποθέσεις.
Αλλά 1+2=3, το 3 διαιρείται ομοιόμορφα με το 3, πράγμα που σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός είναι η απάντηση.
Απάντηση: 12.000
Εργασία 2.
Ο τριψήφιος αριθμός C είναι μεγαλύτερος από το 700 και διαιρείται με το 15. Γράψτε τον μικρότερο τέτοιο αριθμό.
Έτσι, σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας με το 15, αυτός ο αριθμός πρέπει να τελειώνει σε 5 ή 0. Επειδή χρειαζόμαστε το μικρότερο δυνατό, πάρτε το 0 - αυτό θα είναι το τελευταίο ψηφίο.
Δεδομένου ότι ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 700, ο πρώτος αριθμός μπορεί να είναι 7 ή μεγαλύτερος. Έχοντας υπόψη ότι πρέπει να βρούμε τη μικρότερη τιμή, επιλέγουμε 7.
Για να διαιρείται ένας αριθμός με το 15, η συνθήκη 7+x+0=πολλαπλάσιο του 3, όπου x είναι ο αριθμός των δεκάδων.
Έτσι, 7+x+0=9
X=9 -7
X=2
Ο αριθμός 720 είναι αυτό που ψάχνετε.
Απάντηση: 720
Πρόβλημα 3.
Διαγράψτε οποιαδήποτε τρία ψηφία από το 3426578 έτσι ώστε ο αριθμός που προκύπτει να είναι πολλαπλάσιο του 15.
Πρώτον, ο επιθυμητός αριθμός πρέπει να τελειώνει με τον αριθμό 5 ή 0. Επομένως, τα δύο τελευταία ψηφία - 7 και 8 πρέπει να διαγραφούν αμέσως.
Απομένουν 34265.
3+4+2+6+5=20, το 20 δεν διαιρείται με το 3. Το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 3 είναι 18. Για να το πάρετε, πρέπει να αφαιρέσετε το 2. Διαγράψτε τον αριθμό 2.
Βγαίνει 3465. Ελέγξτε την απάντησή σας, 3465: 15=231.
Απάντηση:3465
Σε αυτό το άρθρο, εξετάστηκαν τα κύρια σημάδια διαιρετότητας με το 15 με παραδείγματα. Αυτό το υλικό θα πρέπει να βοηθά τους μαθητές να λύσουν εργασίες αυτού του τύπου και παρόμοιων, καθώς και να κατανοήσουν τον αλγόριθμο εργασίας μαζί τους.
