Μήτρες: Μέθοδος Gauss. Υπολογισμός μήτρας Gauss: Παραδείγματα

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Η γραμμική άλγεβρα, που διδάσκεται στα πανεπιστήμια σε διάφορες ειδικότητες, συνδυάζει πολλά σύνθετα θέματα. Κάποια από αυτά σχετίζονται με πίνακες, καθώς και με τη λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τις μεθόδους Gauss και Gauss-Jordan. Δεν καταφέρνουν όλοι οι μαθητές να κατανοήσουν αυτά τα θέματα, αλγόριθμους για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Ας κατανοήσουμε μαζί τους πίνακες και τις μεθόδους του Gauss και του Gauss-Jordan.

Βασικές έννοιες

Ένας πίνακας στη γραμμική άλγεβρα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας στοιχείων (πίνακας). Παρακάτω είναι σύνολα στοιχείων που περικλείονται σε παρένθεση. Αυτές είναι μήτρες. Από το παραπάνω παράδειγμα, μπορεί να φανεί ότι τα στοιχεία στους ορθογώνιους πίνακες δεν είναι μόνο αριθμοί. Ο πίνακας μπορεί να αποτελείται από μαθηματικές συναρτήσεις, αλγεβρικά σύμβολα.

Για να κατανοήσουμε ορισμένες έννοιες, ας φτιάξουμε έναν πίνακα A από τα στοιχεία a_ij. Τα ευρετήρια δεν είναι απλώς γράμματα: i είναι ο αριθμός της σειράς στον πίνακα και j είναι ο αριθμός της στήλης, στην περιοχή της τομής της οποίας βρίσκεται το στοιχείοa_ij. Έτσι, βλέπουμε ότι έχουμε έναν πίνακα στοιχείων όπως a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ και ούτω καθεξής. Το γράμμα n υποδηλώνει τον αριθμό των στηλών και το γράμμα m τον αριθμό των σειρών. Το σύμβολο m × n υποδηλώνει τη διάσταση του πίνακα. Αυτή είναι η έννοια που ορίζει τον αριθμό των γραμμών και στηλών σε έναν ορθογώνιο πίνακα στοιχείων.

Προαιρετικά, ο πίνακας πρέπει να έχει πολλές στήλες και σειρές. Με διάσταση 1 × n, ο πίνακας στοιχείων είναι μονής σειράς και με διάσταση m × 1, είναι πίνακας μονής στήλης. Όταν ο αριθμός των σειρών και ο αριθμός των στηλών είναι ίσοι, ο πίνακας ονομάζεται τετράγωνος. Κάθε τετράγωνος πίνακας έχει μια ορίζουσα (det A). Αυτός ο όρος αναφέρεται στον αριθμό που έχει εκχωρηθεί στον πίνακα A.

Μερικές ακόμη σημαντικές έννοιες που πρέπει να θυμάστε για την επιτυχή επίλυση πινάκων είναι η κύρια και η δευτερεύουσα διαγώνιος. Η κύρια διαγώνιος ενός πίνακα είναι η διαγώνιος που κατεβαίνει στη δεξιά γωνία του τραπεζιού από την επάνω αριστερή γωνία. Η πλευρική διαγώνιος πηγαίνει στη δεξιά γωνία προς τα πάνω από την αριστερή γωνία από κάτω.

Stepped matrix view

Δείτε την παρακάτω εικόνα. Σε αυτό θα δείτε μια μήτρα και ένα διάγραμμα. Ας ασχοληθούμε πρώτα με το matrix. Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας αυτού του είδους ονομάζεται βηματικός πίνακας. Έχει μία ιδιότητα: αν a_ij είναι το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο στην i-η σειρά, τότε όλα τα άλλα στοιχεία από τον πίνακα κάτω και αριστερά του a_ij , είναι μηδενικά (δηλαδή, όλα εκείνα τα στοιχεία στα οποία μπορεί να δοθεί ο χαρακτηρισμός γράμματος a_kl, όπου k>i καιl<j).

Σκεφτείτε τώρα το διάγραμμα. Αντανακλά τη βαθμιδωτή μορφή της μήτρας. Το σχήμα δείχνει 3 τύπους κελιών. Κάθε τύπος υποδηλώνει ορισμένα στοιχεία:

• κενά κελιά - μηδέν στοιχεία του πίνακα;

Τα

• σκιασμένα κελιά είναι αυθαίρετα στοιχεία που μπορεί να είναι μηδενικά και μη;
• τα μαύρα τετράγωνα είναι μη μηδενικά στοιχεία, τα οποία ονομάζονται γωνιακά στοιχεία, "βήματα" (στον πίνακα που εμφανίζεται δίπλα τους, τέτοια στοιχεία είναι οι αριθμοί –1, 5, 3, 8).

Κατά την επίλυση πινάκων, μερικές φορές το αποτέλεσμα είναι ότι το "μήκος" του βήματος είναι μεγαλύτερο από 1. Αυτό επιτρέπεται. Σημασία έχει μόνο το «ύψος» των βημάτων. Σε έναν πίνακα βημάτων, αυτή η παράμετρος πρέπει πάντα να είναι ίση με ένα.

Μείωση μήτρας σε φόρμα βήματος

Οποιοσδήποτε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να μετατραπεί σε κλιμακωτή μορφή. Αυτό γίνεται μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών. Περιλαμβάνουν:

• αναδιάταξη συμβολοσειρών;
• Προσθήκη άλλης γραμμής σε μία γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη εάν χρειάζεται με κάποιο αριθμό (μπορείτε επίσης να εκτελέσετε μια λειτουργία αφαίρεσης).

Ας εξετάσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον πίνακα A, ο οποίος πρέπει να μειωθεί σε κλιμακωτή μορφή.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα ακολουθήσουμε τον αλγόριθμο:

• Είναι βολικό να εκτελείτε μετασχηματισμούς σε έναν πίνακα μετο πρώτο στοιχείο στην επάνω αριστερή γωνία (δηλαδή, το "κορυφαίο" στοιχείο) είναι 1 ή -1. Στην περίπτωσή μας, το πρώτο στοιχείο στην επάνω σειρά είναι 2, οπότε ας ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά.
• Ας εκτελέσουμε πράξεις αφαίρεσης, επηρεάζοντας τις σειρές 2, 3 και 4. Θα πρέπει να λάβουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη κάτω από το στοιχείο "κορυφαίο". Για να επιτευχθεί αυτό το αποτέλεσμα: από τα στοιχεία της γραμμής Νο. 2, αφαιρούμε διαδοχικά τα στοιχεία της γραμμής Νο. 1, πολλαπλασιαζόμενα επί 2. Από τα στοιχεία της γραμμής Νο. 3 αφαιρούμε διαδοχικά τα στοιχεία της γραμμής Νο. 1, πολλαπλασιαζόμενα επί 4. από τα στοιχεία της γραμμής Νο. 4 αφαιρούμε διαδοχικά τα στοιχεία της γραμμής Νο. 1.
• Στη συνέχεια, θα εργαστούμε με έναν περικομμένο πίνακα (χωρίς στήλη 1 και χωρίς γραμμή 1). Το νέο «καθοδηγητικό» στοιχείο, που βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης στήλης και της δεύτερης σειράς, είναι ίσο με -1. Δεν χρειάζεται να αναδιατάξουμε τις γραμμές, επομένως ξαναγράφουμε την πρώτη στήλη και την πρώτη και τη δεύτερη σειρά χωρίς αλλαγές. Ας κάνουμε πράξεις αφαίρεσης για να πάρουμε μηδενικά στη δεύτερη στήλη κάτω από το στοιχείο "οδηγό": από τα στοιχεία της τρίτης γραμμής αφαιρούμε διαδοχικά τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί 3. αφαιρέστε τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής πολλαπλασιασμένα επί 2 από τα στοιχεία της τέταρτης γραμμής.
• Μένει να αλλάξουμε την τελευταία γραμμή. Από τα στοιχεία του αφαιρούμε διαδοχικά τα στοιχεία της τρίτης σειράς. Έτσι, έχουμε έναν βαθμιδωτό πίνακα.

Η αναγωγή πινάκων σε μορφή βήματος χρησιμοποιείται στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (SLE) με τη μέθοδο Gauss. Πριν εξετάσουμε αυτήν τη μέθοδο, ας κατανοήσουμε ορισμένους από τους όρους που σχετίζονται με το SLN.

Πίνακες και συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Οι πίνακες χρησιμοποιούνται σε διάφορες επιστήμες. Χρησιμοποιώντας πίνακες αριθμών, μπορείτε, για παράδειγμα, να λύσετε γραμμικές εξισώσεις συνδυασμένες σε ένα σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Αρχικά, ας εξοικειωθούμε με μερικούς όρους και τους ορισμούς τους και ας δούμε επίσης πώς σχηματίζεται ένας πίνακας από ένα σύστημα που συνδυάζει πολλές γραμμικές εξισώσεις.

SLU – πολλές συνδυασμένες αλγεβρικές εξισώσεις με αγνώστους πρώτης ισχύος και χωρίς όρους προϊόντος.

Λύση SLE – βρέθηκαν τιμές αγνώστων, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις στο σύστημα ταυτότητες.

Ένα κοινό ΣΕΛ είναι ένα σύστημα εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση.

Το ασυνεπές SLE είναι ένα σύστημα εξισώσεων που δεν έχει λύσεις.

Πώς σχηματίζεται ένας πίνακας που βασίζεται σε ένα σύστημα που συνδυάζει γραμμικές εξισώσεις; Υπάρχουν έννοιες όπως οι κύριοι και οι εκτεταμένοι πίνακες του συστήματος. Για να ληφθεί ο κύριος πίνακας του συστήματος, είναι απαραίτητο να τεθούν στον πίνακα όλοι οι συντελεστές για τους αγνώστους. Ο διευρυμένος πίνακας λαμβάνεται με την προσθήκη μιας στήλης ελεύθερων όρων στον κύριο πίνακα (περιλαμβάνει γνωστά στοιχεία στα οποία εξισώνεται κάθε εξίσωση του συστήματος). Μπορείτε να καταλάβετε όλη αυτή τη διαδικασία μελετώντας την παρακάτω εικόνα.

Το πρώτο πράγμα που βλέπουμε στην εικόνα είναι ένα σύστημα που περιλαμβάνει γραμμικές εξισώσεις. Τα στοιχεία του: a_ij – αριθμητικοί συντελεστές, x_j – άγνωστες τιμές, b_i – σταθεροί όροι (όπου i=1, 2, …, m, και j=1, 2, …, n). Το δεύτερο στοιχείο στην εικόνα είναι ο κύριος πίνακας των συντελεστών. Από κάθε εξίσωση, οι συντελεστές γράφονται στη σειρά. Ως αποτέλεσμα, υπάρχουν τόσες σειρές στον πίνακα όσες και εξισώσεις στο σύστημα. Ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον μεγαλύτερο αριθμό συντελεστών σε οποιαδήποτε εξίσωση. Το τρίτο στοιχείο στην εικόνα είναι ένας επαυξημένος πίνακας με μια στήλη ελεύθερων όρων.

Γενικές πληροφορίες για τη μέθοδο Gauss

Στη γραμμική άλγεβρα, η μέθοδος Gauss είναι ο κλασικός τρόπος επίλυσης του SLE. Φέρει το όνομα του Carl Friedrich Gauss, που έζησε τον 18ο-19ο αιώνα. Αυτός είναι ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Η ουσία της μεθόδου Gauss είναι η εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Με τη βοήθεια μετασχηματισμών, ο ΣΕΛ ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα τριγωνικής (βηματικής) μορφής, από το οποίο μπορούν να βρεθούν όλες οι μεταβλητές.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Carl Friedrich Gauss δεν είναι ο ανακάλυψες της κλασικής μεθόδου επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος επινοήθηκε πολύ νωρίτερα. Η πρώτη του περιγραφή βρίσκεται στην εγκυκλοπαίδεια γνώσης των αρχαίων Κινέζων μαθηματικών, που ονομάζεται "Μαθηματικά σε 9 βιβλία".

Ένα παράδειγμα επίλυσης του ΣΕΛ με τη μέθοδο Gauss

Ας εξετάσουμε τη λύση συστημάτων με τη μέθοδο Gauss σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Θα εργαστούμε με το SLU που φαίνεται στην εικόνα.

Αλγόριθμος επίλυσης:

1. Θα μειώσουμε το σύστημα σε μορφή βήματος με την άμεση κίνηση της μεθόδου Gauss, αλλά πρώταθα συνθέσουμε έναν διευρυμένο πίνακα αριθμητικών συντελεστών και ελεύθερων μελών.
2. Για να λύσουμε τον πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss (δηλαδή να τον φέρουμε σε μια κλιμακωτή μορφή), από τα στοιχεία της δεύτερης και τρίτης σειράς, αφαιρούμε διαδοχικά τα στοιχεία της πρώτης σειράς. Λαμβάνουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη κάτω από το στοιχείο "κορυφαίο". Στη συνέχεια, θα αλλάξουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή σε σημεία για ευκολία. Στα στοιχεία της τελευταίας σειράς, προσθέστε διαδοχικά τα στοιχεία της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί 3.
3. Σαν αποτέλεσμα του υπολογισμού του πίνακα με τη μέθοδο Gauss, λάβαμε μια κλιμακωτή διάταξη στοιχείων. Με βάση αυτό, θα συνθέσουμε ένα νέο σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Με την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss, βρίσκουμε τις τιμές των άγνωστων όρων. Από την τελευταία γραμμική εξίσωση φαίνεται ότι το x₃ είναι ίσο με 1. Αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή στη δεύτερη γραμμή του συστήματος. Παίρνετε την εξίσωση x₂ – 4=–4. Έπεται ότι το x₂ ισούται με 0. Αντικαταστήστε το x₂ και το x₃ στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: x1 _{+ 0 +3=2. Ο άγνωστος όρος είναι -1.}

Απάντηση: χρησιμοποιώντας τον πίνακα, τη μέθοδο Gaussian, βρήκαμε τις τιμές των αγνώστων. x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Μέθοδος Gauss-Jordan

Στη γραμμική άλγεβρα υπάρχει επίσης κάτι όπως η μέθοδος Gauss-Jordan. Θεωρείται τροποποίηση της μεθόδου Gauss και χρησιμοποιείται για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, τον υπολογισμό άγνωστων όρων τετραγωνικών συστημάτων αλγεβρικών γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss-Jordan είναι βολική στο ότι επιτρέπει την επίλυση του SLE σε ένα βήμα (χωρίς τη χρήση άμεσου και αντίστροφουκινείται).

Ας ξεκινήσουμε με τον όρο "αντίστροφος πίνακας". Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα A. Το αντίστροφο για αυτόν θα είναι ο πίνακας A^-1, ενώ η συνθήκη είναι απαραίτητα ικανοποιημένη: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, δηλ. το γινόμενο αυτών των πινάκων είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας (τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα ταυτότητας είναι ένα και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι μηδέν).}

Μια σημαντική απόχρωση: στη γραμμική άλγεβρα υπάρχει ένα θεώρημα για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα. Μια επαρκής και απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη του πίνακα A^-1 είναι ο πίνακας A να είναι μη ενικός.

Βασικά βήματα στα οποία βασίζεται η μέθοδος Gauss-Jordan:

1. Κοιτάξτε την πρώτη σειρά ενός συγκεκριμένου πίνακα. Η μέθοδος Gauss-Jordan μπορεί να ξεκινήσει εάν η πρώτη τιμή δεν είναι ίση με μηδέν. Εάν η πρώτη θέση είναι 0, τότε αλλάξτε τις σειρές έτσι ώστε το πρώτο στοιχείο να έχει μια μη μηδενική τιμή (είναι επιθυμητό ο αριθμός να είναι πιο κοντά στο ένα).
2. Διαιρέστε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς με τον πρώτο αριθμό. Θα καταλήξετε με μια συμβολοσειρά που ξεκινά με ένα.
3. Από τη δεύτερη γραμμή, αφαιρέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη με το πρώτο στοιχείο της δεύτερης γραμμής, δηλαδή στο τέλος θα πάρετε μια γραμμή που ξεκινά από το μηδέν. Κάντε το ίδιο για τις υπόλοιπες γραμμές. Διαιρέστε κάθε γραμμή με το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο για να λάβετε 1 διαγώνια.
4. Σαν αποτέλεσμα, θα λάβετε τον επάνω τριγωνικό πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss - Jordan. Σε αυτό, η κύρια διαγώνιος αντιπροσωπεύεται από μονάδες. Η κάτω γωνία είναι γεμάτη με μηδενικά καιεπάνω γωνία - διάφορες τιμές.
5. Από την προτελευταία γραμμή, αφαιρέστε την τελευταία γραμμή πολλαπλασιαζόμενη με τον απαιτούμενο συντελεστή. Θα πρέπει να πάρετε μια συμβολοσειρά με μηδενικά και ένα. Για τις υπόλοιπες γραμμές, επαναλάβετε την ίδια ενέργεια. Μετά από όλους τους μετασχηματισμούς, θα ληφθεί ο πίνακας ταυτότητας.

Ένα παράδειγμα εύρεσης του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Jordan

Για να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει να γράψετε τον επαυξημένο πίνακα A|E και να εκτελέσετε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς. Ας εξετάσουμε ένα απλό παράδειγμα. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον πίνακα A.

Λύση:

1. Πρώτον, ας βρούμε την ορίζουσα μήτρας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian (δείτε Α). Εάν αυτή η παράμετρος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε ο πίνακας θα θεωρείται μη ενικός. Αυτό θα μας επιτρέψει να συμπεράνουμε ότι το A έχει σίγουρα A^-1. Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα, μετατρέπουμε τον πίνακα σε μια σταδιακή μορφή με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Ας μετρήσουμε τον αριθμό K ίσο με τον αριθμό των μεταθέσεων σειρών. Αλλάξαμε τις γραμμές μόνο 1 φορά. Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα. Η τιμή του θα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, πολλαπλασιαζόμενο επί (–1)^K. Αποτέλεσμα υπολογισμού: det A=2.
2. Συνθέστε τον επαυξημένο πίνακα προσθέτοντας τον πίνακα ταυτότητας στον αρχικό πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας στοιχείων θα χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας με τη μέθοδο Gauss-Jordan.
3. Το πρώτο στοιχείο στην πρώτη σειρά είναι ίσο με ένα. Αυτό μας ταιριάζει, γιατί δεν χρειάζεται να αναδιατάξουμε τις γραμμές και να διαιρέσουμε τη δεδομένη γραμμή με κάποιο αριθμό. Ας αρχίσουμε να δουλεύουμεμε τη δεύτερη και τρίτη γραμμή. Για να μετατρέψετε το πρώτο στοιχείο της δεύτερης σειράς σε 0, αφαιρέστε την πρώτη σειρά πολλαπλασιαζόμενη επί 3 από τη δεύτερη σειρά. Αφαιρέστε την πρώτη σειρά από την τρίτη σειρά (δεν απαιτείται πολλαπλασιασμός).
4. Στον προκύπτον πίνακα, το δεύτερο στοιχείο της δεύτερης σειράς είναι -4 και το δεύτερο στοιχείο της τρίτης σειράς είναι -1. Ας ανταλλάξουμε τις γραμμές για ευκολία. Από την τρίτη σειρά αφαιρέστε τη δεύτερη σειρά πολλαπλασιαζόμενη επί 4. Διαιρέστε τη δεύτερη σειρά με -1 και την τρίτη σειρά με 2. Παίρνουμε τον επάνω τριγωνικό πίνακα.
5. Ας αφαιρέσουμε την τελευταία γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 4 από τη δεύτερη γραμμή και την τελευταία γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 5 από την πρώτη γραμμή. Στη συνέχεια, αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 2 από την πρώτη γραμμή. Στην αριστερή πλευρά έχουμε τη μήτρα ταυτότητας. Στα δεξιά είναι ο αντίστροφος πίνακας.

Ένα παράδειγμα επίλυσης ΣΕΛ με τη μέθοδο Gauss-Jordan

Το σχήμα δείχνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Απαιτείται η εύρεση των τιμών άγνωστων μεταβλητών χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, τη μέθοδο Gauss-Jordan.

Λύση:

1. Ας δημιουργήσουμε έναν επαυξημένο πίνακα. Για να γίνει αυτό, θα βάλουμε τους συντελεστές και τους ελεύθερους όρους στον πίνακα.
2. Λύστε τον πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Jordan. Από τη γραμμή Νο. 2 αφαιρούμε τη γραμμή Νο. 1. Από τη γραμμή Νο. 3 αφαιρούμε τη γραμμή Νο. 1, πολλαπλασιασμένη προηγουμένως με 2.
3. Αλλαγή σειρών 2 και 3.
4. Από τη γραμμή 3 αφαιρέστε τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη επί 2. Διαιρέστε την τρίτη γραμμή που προκύπτει με –1.
5. Αφαίρεση γραμμής 3 από τη γραμμή 2.
6. Αφαιρέστε τη γραμμή 1 από τη γραμμή 12 φορές -1. Στο πλάι, πήραμε μια στήλη που αποτελείται από τους αριθμούς 0, 1 και -1. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι x₁=0, x₂=1 και x₃ =–1.

Αν θέλετε, μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα της λύσης αντικαθιστώντας τις υπολογιζόμενες τιμές στις εξισώσεις:

• 0 – 1=–1, η πρώτη ταυτότητα από το σύστημα είναι σωστή;
• 0 + 1 + (–1)=0, η δεύτερη ταυτότητα από το σύστημα είναι σωστή;
• 0 – 1 + (–1)=–2, η τρίτη ταυτότητα από το σύστημα είναι σωστή.

Συμπέρασμα: χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Jordan, βρήκαμε τη σωστή λύση σε ένα τετραγωνικό σύστημα που συνδυάζει γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις.

Διαδικτυακοί αριθμομηχανές

Η ζωή της σημερινής νεολαίας που σπουδάζει στα πανεπιστήμια και μελετά τη γραμμική άλγεβρα έχει απλοποιηθεί πολύ. Πριν από μερικά χρόνια, έπρεπε να βρούμε λύσεις σε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss και Gauss-Jordan μόνοι μας. Μερικοί μαθητές αντιμετώπισαν με επιτυχία τις εργασίες, ενώ άλλοι μπερδεύτηκαν στη λύση, έκαναν λάθη, ζήτησαν βοήθεια από τους συμμαθητές. Σήμερα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονικές αριθμομηχανές όταν κάνετε την εργασία σας. Για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, αναζήτηση για αντίστροφους πίνακες, έχουν γραφτεί προγράμματα που δείχνουν όχι μόνο τις σωστές απαντήσεις, αλλά δείχνουν και την πρόοδο της επίλυσης ενός συγκεκριμένου προβλήματος.

Υπάρχουν πολλοί πόροι στο Διαδίκτυο με ενσωματωμένες ηλεκτρονικές αριθμομηχανές. Πίνακες Gauss, συστήματα εξισώσεων λύνονται από αυτά τα προγράμματα σε λίγα δευτερόλεπτα. Οι μαθητές χρειάζεται μόνο να καθορίσουν τις απαιτούμενες παραμέτρους (για παράδειγμα, τον αριθμό των εξισώσεων,αριθμός μεταβλητών).