Πίνακες και ορίζοντες ανακαλύφθηκαν τον δέκατο όγδοο και τον δέκατο ένατο αιώνα. Αρχικά, η ανάπτυξή τους αφορούσε τον μετασχηματισμό γεωμετρικών αντικειμένων και τη λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Ιστορικά, η πρώιμη έμφαση δόθηκε στον καθοριστικό παράγοντα. Στις σύγχρονες μεθόδους επεξεργασίας γραμμικής άλγεβρας, οι πίνακες λαμβάνονται πρώτα υπόψη. Αξίζει να συλλογιστούμε αυτήν την ερώτηση για λίγο.
Απαντήσεις από αυτόν τον τομέα γνώσεων
Οι πίνακες παρέχουν έναν θεωρητικά και πρακτικά χρήσιμο τρόπο επίλυσης πολλών προβλημάτων, όπως:
- συστήματα γραμμικών εξισώσεων;
- ισορροπία στερεών (στη φυσική);
- θεωρία γραφημάτων;
- οικονομικό μοντέλο του Leontief;
- δασοκομία;
- γραφικά και τομογραφία υπολογιστή;
- γενετική;
- κρυπτογραφία;
- ηλεκτρικά δίκτυα;
- fractal.
Στην πραγματικότητα, η άλγεβρα πινάκων για τα "ανδρείκελα" έχει έναν απλοποιημένο ορισμό. Εκφράζεται ως εξής: πρόκειται για ένα επιστημονικό πεδίο γνώσης στο οποίοοι εν λόγω αξίες μελετώνται, αναλύονται και διερευνώνται πλήρως. Σε αυτό το τμήμα της άλγεβρας, μελετώνται διάφορες πράξεις στους υπό μελέτη πίνακες.
Πώς να εργαστείτε με πίνακες
Αυτές οι τιμές θεωρούνται ίσες εάν έχουν τις ίδιες διαστάσεις και κάθε στοιχείο του ενός είναι ίσο με το αντίστοιχο στοιχείο του άλλου. Είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με οποιαδήποτε σταθερά. Αυτό το δεδομένο ονομάζεται βαθμωτός πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Πίνακες ίδιου μεγέθους μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν με εισόδους και οι τιμές συμβατών μεγεθών μπορούν να πολλαπλασιαστούν. Παράδειγμα: προσθέστε δύο Α και Β: A=[21−10]B=[1423]. Αυτό είναι δυνατό επειδή οι Α και Β είναι και οι δύο πίνακες με δύο σειρές και τον ίδιο αριθμό στηλών. Είναι απαραίτητο να προσθέσουμε κάθε στοιχείο του Α στο αντίστοιχο στοιχείο του Β: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Οι πίνακες αφαιρούνται με τον ίδιο τρόπο στην άλγεβρα.
Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα λειτουργεί λίγο διαφορετικά. Επιπλέον, μπορεί να υπάρχουν πολλές περιπτώσεις και επιλογές, καθώς και λύσεις. Αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα Apq και Bmn, τότε το γινόμενο Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Η καταχώρηση στη gth σειρά και την h στήλη του AB είναι το άθροισμα του γινόμενου των αντίστοιχων εγγραφών στα g A και h B. Είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων μόνο εάν ο αριθμός των στηλών στην πρώτη και των γραμμών στη δεύτερη είναι ίσα. Παράδειγμα: πληροί την προϋπόθεση για τα θεωρούμενα Α και Β: A=[1−130]B=[2−11214]. Αυτό είναι δυνατό επειδή ο πρώτος πίνακας περιέχει 2 στήλες και ο δεύτερος περιέχει 2 σειρές. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Βασικές πληροφορίες για τους πίνακες
Οι εν λόγω τιμές οργανώνουν πληροφορίες όπως μεταβλητές και σταθερές και τις αποθηκεύουν σε γραμμές και στήλες, που συνήθως ονομάζονται C. Κάθε θέση στον πίνακα ονομάζεται στοιχείο. Παράδειγμα: C=[1234]. Αποτελείται από δύο σειρές και δύο στήλες. Το στοιχείο 4 βρίσκεται στη σειρά 2 και στη στήλη 2. Συνήθως μπορείτε να ονομάσετε έναν πίνακα με βάση τις διαστάσεις του, αυτός που ονομάζεται Cmk έχει m σειρές και k στήλες.
Εκτεταμένοι πίνακες
Οι σκέψεις είναι απίστευτα χρήσιμα πράγματα που εμφανίζονται σε πολλούς διαφορετικούς τομείς εφαρμογής. Οι πίνακες βασίζονταν αρχικά σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Δεδομένης της ακόλουθης δομής ανισοτήτων, πρέπει να ληφθεί υπόψη ο ακόλουθος συμπληρωμένος πίνακας:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Γράψτε τους συντελεστές και απαντήστε τις τιμές, συμπεριλαμβανομένων όλων των συμβόλων μείον. Εάν το στοιχείο έχει αρνητικό αριθμό, τότε θα είναι ίσο με "1". Δηλαδή, δεδομένου ενός συστήματος (γραμμικών) εξισώσεων, είναι δυνατό να συσχετιστεί ένας πίνακας (πλέγμα αριθμών εντός αγκύλων) με αυτόν. Είναι αυτό που περιέχει μόνο τους συντελεστές του γραμμικού συστήματος. Αυτό ονομάζεται "διευρυμένος πίνακας". Το πλέγμα που περιέχει τους συντελεστές από την αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης έχει «γεμιστεί» με τις απαντήσεις από τη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.
Records, δηλαδήοι τιμές B του πίνακα αντιστοιχούν στις τιμές x-, y- και z στο αρχικό σύστημα. Εάν είναι σωστά τακτοποιημένο, τότε πρώτα από όλα ελέγξτε το. Μερικές φορές χρειάζεται να αναδιατάξετε τους όρους ή να εισαγάγετε μηδενικά ως σύμβολα θέσης στον πίνακα που μελετάται ή μελετάται.
Δεδομένου του ακόλουθου συστήματος εξισώσεων, μπορούμε να γράψουμε αμέσως τον συσχετιζόμενο επαυξημένο πίνακα:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Πρώτα, φροντίστε να αναδιατάξετε το σύστημα ως:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Στη συνέχεια, μπορείτε να γράψετε τον σχετικό πίνακα ως: [11000113-1012]. Όταν σχηματίζετε ένα εκτεταμένο, αξίζει να χρησιμοποιείτε το μηδέν για κάθε εγγραφή όπου το αντίστοιχο σημείο στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι κενό.
Άλγεβρα μήτρας: Ιδιότητες πράξεων
Αν είναι απαραίτητο να σχηματιστούν στοιχεία μόνο από τιμές συντελεστών, τότε η εξεταζόμενη τιμή θα μοιάζει με αυτό: [110011-101]. Αυτό ονομάζεται "πίνακας συντελεστών".
Λαμβάνοντας υπόψη την ακόλουθη εκτεταμένη άλγεβρα πινάκων, είναι απαραίτητο να τη βελτιώσουμε και να προσθέσουμε το σχετικό γραμμικό σύστημα. Τούτου λεχθέντος, είναι σημαντικό να θυμάστε ότι απαιτούν οι μεταβλητές να είναι καλά διατεταγμένες και τακτοποιημένες. Και συνήθως όταν υπάρχουν τρεις μεταβλητές, χρησιμοποιήστε x, y και z με αυτή τη σειρά. Επομένως, το συσχετισμένο γραμμικό σύστημα θα πρέπει να είναι:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Μέγεθος μήτρας
Τα εν λόγω στοιχεία αναφέρονται συχνά από την απόδοσή τους. Το μέγεθος ενός πίνακα στην άλγεβρα δίνεται ωςμετρήσεις, αφού το δωμάτιο μπορεί να ονομαστεί διαφορετικά. Τα μετρούμενα μέτρα των τιμών είναι οι γραμμές και οι στήλες, όχι το πλάτος και το μήκος. Για παράδειγμα, πίνακας A:
[1234]
[2345]
[3456].
Δεδομένου ότι το A έχει τρεις σειρές και τέσσερις στήλες, το μέγεθος του A είναι 3 × 4.
→
↓
Οι γραμμές πηγαίνουν στο πλάι. Οι κολώνες ανεβοκατεβαίνουν. Η "Σειρά" και η "στήλη" είναι προδιαγραφές και δεν είναι εναλλάξιμα. Τα μεγέθη μήτρας καθορίζονται πάντα με τον αριθμό των γραμμών και μετά τον αριθμό των στηλών. Μετά από αυτήν τη σύμβαση, το ακόλουθο B:
[123]
Το
[234] είναι 2 × 3. Εάν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό σειρών με τις στήλες, τότε ονομάζεται "τετράγωνο". Για παράδειγμα, τιμές συντελεστών από πάνω:
[110]
[011]
Το
[-101] είναι ένας τετραγωνικός πίνακας 3×3.
Σημειογραφία και μορφοποίηση μήτρας
Σημείωση μορφοποίησης: Για παράδειγμα, όταν χρειάζεται να γράψετε έναν πίνακα, είναι σημαντικό να χρησιμοποιείτε αγκύλες . Οι γραμμές απόλυτης τιμής || δεν χρησιμοποιούνται επειδή έχουν διαφορετική κατεύθυνση σε αυτό το πλαίσιο. Οι παρενθέσεις ή τα σγουρά τιράντες {} δεν χρησιμοποιούνται ποτέ. Ή κάποιο άλλο σύμβολο ομαδοποίησης, ή κανένα απολύτως, καθώς αυτές οι παρουσιάσεις δεν έχουν κανένα νόημα. Στην άλγεβρα, ένας πίνακας βρίσκεται πάντα μέσα σε αγκύλες. Πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο η σωστή σημείωση, διαφορετικά οι απαντήσεις μπορεί να θεωρηθούν αλλοιωμένες.
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι τιμές που περιέχονται σε έναν πίνακα ονομάζονται εγγραφές. Για οποιονδήποτε λόγο, τα εν λόγω στοιχεία συνήθως γράφονταιΤα κεφαλαία γράμματα, όπως το Α ή το Β, και οι εγγραφές καθορίζονται χρησιμοποιώντας τα αντίστοιχα πεζά γράμματα, αλλά με δείκτες. Στον πίνακα A, οι τιμές ονομάζονται συνήθως "ai, j", όπου i είναι η σειρά του A και j είναι η στήλη του A. Για παράδειγμα, a3, 2=8. Η καταχώρηση για a1, 3 είναι 3.
Για μικρότερους πίνακες, αυτούς με λιγότερες από δέκα σειρές και στήλες, το κόμμα του δείκτη μερικές φορές παραλείπεται. Για παράδειγμα, το "a1, 3=3" θα μπορούσε να γραφτεί ως "a13=3". Προφανώς αυτό δεν θα λειτουργήσει για μεγάλους πίνακες καθώς το a213 θα είναι ασαφές.
Τύποι μητρών
Μερικές φορές ταξινομούνται σύμφωνα με τις διαμορφώσεις των αρχείων τους. Για παράδειγμα, ένας τέτοιος πίνακας που έχει όλες τις μηδενικές εγγραφές κάτω από τη διαγώνιο πάνω-αριστερά-κάτω-δεξιά "διαγώνιο" ονομάζεται επάνω τριγωνικός. Μεταξύ άλλων, μπορεί να υπάρχουν και άλλα είδη και είδη, αλλά δεν είναι πολύ χρήσιμα. Γενικά, ως επί το πλείστον αντιλαμβάνεται ως άνω τριγωνικό. Οι τιμές με μη μηδενικούς εκθέτες μόνο οριζόντια ονομάζονται διαγώνιες τιμές. Παρόμοιοι τύποι έχουν μη μηδενικές εγγραφές στις οποίες όλες είναι 1, τέτοιες απαντήσεις ονομάζονται πανομοιότυπες (για λόγους που θα γίνουν σαφείς όταν μάθουμε και κατανοήσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε τις εν λόγω τιμές). Υπάρχουν πολλοί παρόμοιοι ερευνητικοί δείκτες. Η ταυτότητα 3 × 3 συμβολίζεται με I3. Ομοίως, η ταυτότητα 4 × 4 είναι I4.
Άλγεβρα μήτρας και γραμμικοί χώροι
Σημειώστε ότι οι τριγωνικοί πίνακες είναι τετράγωνοι. Αλλά οι διαγώνιοι είναι τριγωνικές. Ενόψει αυτού, είναιτετράγωνο. Και οι ταυτότητες θεωρούνται διαγώνιες και, επομένως, τριγωνικές και τετράγωνες. Όταν απαιτείται να περιγραφεί ένας πίνακας, συνήθως προσδιορίζει κανείς την πιο συγκεκριμένη ταξινόμηση, αφού αυτό συνεπάγεται όλες τις άλλες. Ταξινομήστε τις ακόλουθες επιλογές έρευνας:ως 3 × 4. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι τετράγωνα. Επομένως, οι τιμές δεν μπορούν να είναι κάτι άλλο. Η ακόλουθη ταξινόμηση:είναι δυνατή ως 3 × 3. Αλλά θεωρείται τετράγωνο και δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο σε αυτό. Ταξινόμηση των ακόλουθων δεδομένων:ως άνω τριγωνικό 3 × 3, αλλά δεν είναι διαγώνιο. Είναι αλήθεια ότι στις υπό εξέταση τιμές μπορεί να υπάρχουν επιπλέον μηδενικά πάνω ή πάνω από τον εντοπισμένο και υποδεικνυόμενο χώρο. Η υπό μελέτη ταξινόμηση είναι περαιτέρω: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], όπου αναπαρίσταται ως διαγώνιος και, επιπλέον, οι εγγραφές είναι όλες 1. Τότε αυτή είναι μια ταυτότητα 3 × 3, I3.
Δεδομένου ότι οι ανάλογοι πίνακες είναι εξ ορισμού τετράγωνοι, χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε έναν μόνο δείκτη για να βρείτε τις διαστάσεις τους. Για να είναι δύο πίνακες ίσοι, πρέπει να έχουν την ίδια παράμετρο και να έχουν τις ίδιες εγγραφές στα ίδια σημεία. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο στοιχεία υπό εξέταση: A=[1 3 0] [-2 0 0] και B=[1 3] [-2 0]. Αυτές οι τιμές δεν μπορούν να είναι ίδιες καθώς είναι διαφορετικές σε μέγεθος.
Ακόμη κι αν τα Α και Β είναι: A=[3 6] [2 5] [1 4] και B=[1 2 3] [4 5 6] - εξακολουθούν να μην είναι τα ίδια το ίδιο πράγμα. Οι Α και Β έχουν το καθέναέξι καταχωρήσεις και έχουν επίσης τους ίδιους αριθμούς, αλλά αυτό δεν είναι αρκετό για πίνακες. Το Α είναι 3×2. Και το Β είναι ένας πίνακας 2×3. Το Α για 3×2 δεν είναι 2×3. Δεν έχει σημασία αν το Α και το Β έχουν τον ίδιο όγκο δεδομένων ή ακόμα και τους ίδιους αριθμούς με τις εγγραφές. Αν τα Α και Β δεν έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα, αλλά έχουν ίδιες τιμές σε παρόμοια σημεία, δεν είναι ίσα.
Παρόμοιες επιχειρήσεις στην υπό εξέταση περιοχή
Αυτή η ιδιότητα της ισότητας πινάκων μπορεί να μετατραπεί σε εργασίες για ανεξάρτητη έρευνα. Για παράδειγμα, δίνονται δύο πίνακες και υποδεικνύεται ότι είναι ίσοι. Σε αυτήν την περίπτωση, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε αυτήν την ισότητα για να εξερευνήσετε και να λάβετε απαντήσεις για τις τιμές των μεταβλητών.
Τα παραδείγματα και οι λύσεις πινάκων στην άλγεβρα μπορούν να ποικίλλουν, ειδικά όταν πρόκειται για ισότητες. Δεδομένου ότι λαμβάνονται υπόψη οι παρακάτω πίνακες, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι τιμές x και y. Για να είναι ίσα τα Α και Β, πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα. Στην πραγματικότητα, είναι τέτοιοι, γιατί καθένας από αυτούς είναι πίνακες 2 × 2. Και θα πρέπει να έχουν τις ίδιες αξίες στα ίδια μέρη. Τότε το a1, 1 πρέπει να είναι ίσο με b1, 1, a1, 2 πρέπει να ισούται με b1, 2, και ούτω καθεξής. Όμως, το a1, 1=1 δεν είναι προφανώς ίσο με το b1, 1=x. Για να είναι το Α πανομοιότυπο με το Β, η καταχώρηση πρέπει να έχει a1, 1=b1, 1, άρα μπορεί να είναι 1=x. Ομοίως, οι δείκτες a2, 2=b2, 2, άρα 4=y. Τότε η λύση είναι: x=1, y=4. Δεδομένου ότι τα ακόλουθαΟι πίνακες είναι ίσοι, πρέπει να βρείτε τις τιμές των x, y και z. Για να έχουμε Α=Β, οι συντελεστές πρέπει να έχουν όλες τις καταχωρήσεις ίσες. Δηλαδή, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 και ούτω καθεξής. Συγκεκριμένα, πρέπει:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Όπως μπορείτε να δείτε από τους επιλεγμένους πίνακες: με 1, 1-, 2, 2- και 3, 1-στοιχεία. Λύνοντας αυτές τις τρεις εξισώσεις, παίρνουμε την απάντηση: x=4, y=-6 και z=9. Οι πράξεις άλγεβρας και μήτρας είναι διαφορετικές από αυτές που έχουν συνηθίσει όλοι, αλλά δεν μπορούν να αναπαραχθούν.
Πρόσθετες πληροφορίες σε αυτήν την περιοχή
Η άλγεβρα γραμμικού πίνακα είναι η μελέτη παρόμοιων συνόλων εξισώσεων και των ιδιοτήτων μετασχηματισμού τους. Αυτό το γνωστικό πεδίο σάς επιτρέπει να αναλύετε περιστροφές στο διάστημα, να προσεγγίζετε τα ελάχιστα τετράγωνα, να λύνετε σχετικές διαφορικές εξισώσεις, να προσδιορίζετε έναν κύκλο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία και να επιλύετε πολλά άλλα προβλήματα στα μαθηματικά, τη φυσική και την τεχνολογία. Η γραμμική άλγεβρα ενός πίνακα δεν είναι στην πραγματικότητα η τεχνική έννοια της λέξης που χρησιμοποιείται, δηλαδή, ένας διανυσματικός χώρος v πάνω από ένα πεδίο f, κ.λπ.
Ο πίνακας και η ορίζουσα είναι εξαιρετικά χρήσιμα εργαλεία γραμμικής άλγεβρας. Μία από τις κεντρικές εργασίες είναι η λύση της εξίσωσης πίνακα Ax=b, για το x. Αν και αυτό θα μπορούσε θεωρητικά να λυθεί χρησιμοποιώντας το αντίστροφο x=A-1 β. Άλλες μέθοδοι, όπως η εξάλειψη Gauss, είναι αριθμητικά πιο αξιόπιστες.
Εκτός από το ότι χρησιμοποιείται για την περιγραφή της μελέτης γραμμικών συνόλων εξισώσεων, το καθορισμένοο παραπάνω όρος χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει έναν ορισμένο τύπο άλγεβρας. Συγκεκριμένα, το L σε ένα πεδίο F έχει τη δομή ενός δακτυλίου με όλα τα συνήθη αξιώματα για εσωτερική πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, μαζί με νόμους διανομής. Ως εκ τούτου, του δίνει περισσότερη δομή από ένα δαχτυλίδι. Η άλγεβρα γραμμικής μήτρας δέχεται επίσης μια εξωτερική πράξη πολλαπλασιασμού με βαθμωτές που είναι στοιχεία του υποκείμενου πεδίου F. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των θεωρούμενων μετασχηματισμών από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του σε ένα πεδίο F σχηματίζεται πάνω από το F. Ένα άλλο παράδειγμα γραμμικής άλγεβρα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών τετραγωνικών πινάκων σε ένα πεδίο R πραγματικοί αριθμοί.
