Στον σημερινό κόσμο, χρησιμοποιούμε όλο και περισσότερο μια ποικιλία αυτοκινήτων και gadget. Και όχι μόνο όταν είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε κυριολεκτικά απάνθρωπη δύναμη: μετακινήστε το φορτίο, σηκώστε το σε ύψος, σκάψτε μια μεγάλη και βαθιά τάφρο κ.λπ. Τα αυτοκίνητα σήμερα συναρμολογούνται από ρομπότ, τα τρόφιμα παρασκευάζονται από πολυκουζίνες και οι στοιχειώδεις αριθμητικοί υπολογισμοί είναι εκτελούνται από αριθμομηχανές. Όλο και πιο συχνά ακούμε την έκφραση «Boolean Algebra». Ίσως είναι καιρός να κατανοήσουμε τον ρόλο του ανθρώπου στη δημιουργία ρομπότ και την ικανότητα των μηχανών να επιλύουν όχι μόνο μαθηματικά, αλλά και λογικά προβλήματα.
Λογική
Μετάφραση από τα ελληνικά, η λογική είναι ένα διατεταγμένο σύστημα σκέψης που δημιουργεί σχέσεις μεταξύ δεδομένων συνθηκών και σας επιτρέπει να εξάγετε συμπεράσματα με βάση υποθέσεις και υποθέσεις. Αρκετά συχνά ρωτάμε ο ένας τον άλλον: "Είναι λογικό;" Η απάντηση που λάβαμε επιβεβαιώνει τις υποθέσεις μας ή επικρίνει το συρμό της σκέψης. Αλλά η διαδικασία δεν σταματά: συνεχίζουμε να συλλογιζόμαστε.
Μερικές φορές ο αριθμός των συνθηκών (εισαγωγικές) είναι τόσο μεγάλος και οι σχέσεις μεταξύ τους είναι τόσο περίπλοκες και περίπλοκες που ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν είναι σε θέση να «χωνέψει» τα πάντα ταυτόχρονα. Μπορεί να χρειαστεί περισσότερος από έναν μήνα (εβδομάδα, έτος) για να καταλάβετε τι συμβαίνει. ΑλλάΗ σύγχρονη ζωή δεν μας δίνει τέτοια χρονικά διαστήματα για τη λήψη αποφάσεων. Και καταφεύγουμε στη βοήθεια των υπολογιστών. Και εδώ εμφανίζεται η άλγεβρα της λογικής, με τους δικούς της νόμους και ιδιότητες. Με τη λήψη όλων των αρχικών δεδομένων, επιτρέπουμε στον υπολογιστή να αναγνωρίσει όλες τις σχέσεις, να εξαλείψει τις αντιφάσεις και να βρει μια ικανοποιητική λύση.
Μαθηματικά και Λογική
Ο διάσημος Gottfried Wilhelm Leibniz διατύπωσε την έννοια της «μαθηματικής λογικής», τα προβλήματα της οποίας ήταν κατανοητά μόνο σε έναν στενό κύκλο επιστημόνων. Αυτή η κατεύθυνση δεν προκάλεσε ιδιαίτερο ενδιαφέρον και μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, λίγοι γνώριζαν τη μαθηματική λογική.
Μεγάλο ενδιαφέρον στην επιστημονική κοινότητα προκάλεσε μια διαμάχη κατά την οποία ο Άγγλος George Boole ανακοίνωσε την πρόθεσή του να δημιουργήσει έναν κλάδο των μαθηματικών που δεν έχει καμία απολύτως πρακτική εφαρμογή. Όπως θυμόμαστε από την ιστορία, η βιομηχανική παραγωγή αναπτυσσόταν ενεργά εκείνη την εποχή, αναπτύχθηκαν κάθε είδους βοηθητικές μηχανές και εργαλειομηχανές, δηλαδή όλες οι επιστημονικές ανακαλύψεις είχαν πρακτική εστίαση.
Κοιτάζοντας μπροστά, ας πούμε ότι η άλγεβρα Boole είναι το πιο χρησιμοποιούμενο μέρος των μαθηματικών στον σύγχρονο κόσμο. Έτσι ο Μπουλ έχασε το επιχείρημά του.
George Buhl
Η ίδια η προσωπικότητα του συγγραφέα αξίζει ιδιαίτερης προσοχής. Ακόμη και αν σκεφτεί κανείς ότι στο παρελθόν οι άνθρωποι μεγάλωσαν πριν από εμάς, είναι ακόμα αδύνατο να μην σημειωθεί ότι σε ηλικία 16 ετών, ο J. Buhl δίδασκε σε ένα σχολείο του χωριού και μέχρι την ηλικία των 20 άνοιξε το δικό του σχολείο στο Λίνκολν. Ο μαθηματικός γνώριζε άπταιστα πέντε ξένες γλώσσες και στον ελεύθερο χρόνο του διάβαζε έργαΝεύτωνα και Λαγκράνζ. Και όλα αυτά αφορούν τον γιο ενός απλού εργάτη!
Το 1839 ο Boole υπέβαλε για πρώτη φορά τις επιστημονικές του εργασίες στο Cambridge Mathematical Journal. Ο επιστήμονας είναι 24 ετών. Το έργο του Boole ενδιέφερε τόσο πολύ τα μέλη της Βασιλικής Εταιρείας που το 1844 έλαβε ένα μετάλλιο για τη συμβολή του στην ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης. Αρκετά ακόμη δημοσιευμένα έργα, τα οποία περιέγραφαν τα στοιχεία της μαθηματικής λογικής, επέτρεψαν στον νεαρό μαθηματικό να αναλάβει τη θέση του καθηγητή στο Κολέγιο του Κορκ. Θυμηθείτε ότι ο ίδιος ο Μπουλ δεν είχε καμία εκπαίδευση.
Ιδέα
Καταρχήν, η άλγεβρα Boole είναι πολύ απλή. Υπάρχουν δηλώσεις (λογικές εκφράσεις) που, από τη σκοπιά των μαθηματικών, μπορούν να οριστούν μόνο με δύο λέξεις: «αληθές» ή «λάθος». Για παράδειγμα, την άνοιξη τα δέντρα ανθίζουν - αλήθεια, το καλοκαίρι χιονίζει - ένα ψέμα. Η ομορφιά αυτών των μαθηματικών είναι ότι δεν υπάρχει αυστηρή ανάγκη να χρησιμοποιούνται μόνο αριθμοί. Οποιεσδήποτε δηλώσεις με ξεκάθαρο νόημα είναι αρκετά κατάλληλες για την άλγεβρα των κρίσεων.
Έτσι, η άλγεβρα της λογικής μπορεί να χρησιμοποιηθεί κυριολεκτικά παντού: στον προγραμματισμό και τη σύνταξη εντολών, στην ανάλυση αντικρουόμενων πληροφοριών για γεγονότα και στον προσδιορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών. Το πιο σημαντικό είναι να καταλάβουμε ότι είναι εντελώς ασήμαντο πώς προσδιορίζουμε την αλήθεια ή το ψεύδος της δήλωσης. Αυτά τα «πώς» και τα «γιατί» πρέπει να αφαιρεθούν. Μόνο η δήλωση του γεγονότος έχει σημασία: αλήθεια-λάθος.
Βεβαίως για τον προγραμματισμό σημαντικές είναι οι συναρτήσεις της άλγεβρας της λογικής που γράφονται από το αντίστοιχοσημεία και σύμβολα. Και το να τα μάθεις σημαίνει να μάθεις μια νέα ξένη γλώσσα. Τίποτα δεν είναι αδύνατο.
Βασικές έννοιες και ορισμοί
Χωρίς να μπούμε σε βάθος, ας ασχοληθούμε με την ορολογία. Άρα η άλγεβρα Boole υποθέτει:
- statements;
- λογικές πράξεις;
- λειτουργίες και νόμοι.
Οι δηλώσεις είναι οποιεσδήποτε καταφατικές εκφράσεις που δεν μπορούν να ερμηνευτούν διφορούμενα. Γράφονται ως αριθμοί (5 > 3) ή διατυπώνονται με γνωστές λέξεις (ο ελέφαντας είναι το μεγαλύτερο θηλαστικό). Ταυτόχρονα, η φράση "η καμηλοπάρδαλη δεν έχει λαιμό" έχει επίσης δικαίωμα ύπαρξης, μόνο η άλγεβρα Boole θα την ορίσει ως "ψευδή".
Όλες οι προτάσεις πρέπει να είναι σαφείς, αλλά μπορεί να είναι στοιχειώδεις και σύνθετες. Οι τελευταίοι χρησιμοποιούν λογικές συνδέσεις. Δηλαδή, στην άλγεβρα των κρίσεων, οι σύνθετες προτάσεις σχηματίζονται προσθέτοντας στοιχειώδεις προτάσεις μέσω λογικών πράξεων.
Πράξεις Boolean Algebra
Θυμόμαστε ήδη ότι οι πράξεις στην άλγεβρα των κρίσεων είναι λογικές. Ακριβώς όπως η αριθμητική άλγεβρα χρησιμοποιεί την αριθμητική για να προσθέσει, να αφαιρέσει ή να συγκρίνει αριθμούς, τα στοιχεία της μαθηματικής λογικής σάς επιτρέπουν να κάνετε σύνθετες προτάσεις, να αναιρείτε ή να υπολογίζετε το τελικό αποτέλεσμα.
Οι λογικές πράξεις για επισημοποίηση και απλότητα γράφονται από τύπους γνωστούς σε εμάς στην αριθμητική. Οι ιδιότητες της άλγεβρας Boole καθιστούν δυνατή τη σύνταξη εξισώσεων και τον υπολογισμό αγνώστων. Οι λογικές πράξεις συνήθως γράφονται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλήθειας. Οι στήλες τουορίστε τα στοιχεία του υπολογισμού και τη λειτουργία που εκτελείται σε αυτά και οι γραμμές δείχνουν το αποτέλεσμα του υπολογισμού.
Βασικές λογικές ενέργειες
Οι πιο συνηθισμένες πράξεις στην άλγεβρα Boole είναι η άρνηση (NOT) και η λογική AND και OR. Σχεδόν όλες οι ενέργειες στην άλγεβρα των κρίσεων μπορούν να περιγραφούν με αυτόν τον τρόπο. Ας μελετήσουμε κάθε μία από τις τρεις πράξεις με περισσότερες λεπτομέρειες.
Η άρνηση (όχι) ισχύει μόνο για ένα στοιχείο (τελεστή). Επομένως, η πράξη άρνησης ονομάζεται unary. Για να γράψετε την έννοια του "όχι Α" χρησιμοποιήστε τα ακόλουθα σύμβολα: ¬A, A¯¯¯ ή !A. Σε μορφή πίνακα μοιάζει με αυτό:
Η συνάρτηση άρνησης χαρακτηρίζεται από την ακόλουθη πρόταση: εάν το Α είναι αληθές, τότε το Β είναι ψευδές. Για παράδειγμα, η Σελήνη περιστρέφεται γύρω από τη Γη - αλήθεια. Η γη περιστρέφεται γύρω από το φεγγάρι - ψευδής.
Λογικός πολλαπλασιασμός και πρόσθεση
Το λογικό ΚΑΙ ονομάζεται πράξη σύνδεσης. Τι σημαίνει? Πρώτον, ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε δύο τελεστές, δηλ. Και είναι μια δυαδική πράξη. Δεύτερον, ότι μόνο στην περίπτωση της αλήθειας και των δύο τελεστών (τόσο του Α όσο και του Β) είναι αληθής η ίδια η έκφραση. Η παροιμία "Η υπομονή και η δουλειά θα αλέσουν τα πάντα" υποδηλώνει ότι μόνο και οι δύο παράγοντες θα βοηθήσουν ένα άτομο να αντιμετωπίσει τις δυσκολίες.
Σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τη γραφή: A∧B, A⋅B ή A&&B.
Ο σύνδεσμος είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό στην αριθμητική. Μερικές φορές λένε ότι - λογικός πολλαπλασιασμός. Αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία του πίνακα σειρά με σειρά, θα έχουμε ένα αποτέλεσμα παρόμοιο με το λογικό συλλογισμό.
Η διάζευξη είναι μια λειτουργία λογικής Ή. Παίρνει την αξία της αλήθειαςόταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις είναι αληθής (είτε Α είτε Β). Γράφεται ως εξής: Α∨Β, Α+Β ή Α||Β. Οι πίνακες αλήθειας για αυτές τις πράξεις είναι:
Η διάζευξη είναι σαν την αριθμητική πρόσθεση. Η λειτουργία λογικής πρόσθεσης έχει μόνο έναν περιορισμό: 1+1=1. Αλλά θυμόμαστε ότι σε ψηφιακή μορφή, η μαθηματική λογική περιορίζεται στο 0 και στο 1 (όπου το 1 είναι αληθές, το 0 είναι λάθος). Για παράδειγμα, η δήλωση «σε ένα μουσείο μπορείς να δεις ένα αριστούργημα ή να συναντήσεις έναν ενδιαφέροντα συνομιλητή» σημαίνει ότι μπορείς να δεις έργα τέχνης ή μπορείς να συναντήσεις ένα ενδιαφέρον άτομο. Ταυτόχρονα, δεν αποκλείεται το ενδεχόμενο και τα δύο γεγονότα να συμβαίνουν ταυτόχρονα.
Λειτουργίες και νόμοι
Έτσι, γνωρίζουμε ήδη ποιες λογικές πράξεις χρησιμοποιεί η άλγεβρα Boole. Οι συναρτήσεις περιγράφουν όλες τις ιδιότητες των στοιχείων της μαθηματικής λογικής και σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε πολύπλοκες σύνθετες συνθήκες προβλημάτων. Η πιο κατανοητή και απλή ιδιότητα φαίνεται να είναι η απόρριψη των παράγωγων πράξεων. Τα παράγωγα είναι αποκλειστικά OR, υπονοούμενα και ισοδυναμία. Δεδομένου ότι έχουμε μελετήσει μόνο τις βασικές πράξεις, θα εξετάσουμε επίσης τις ιδιότητες μόνο αυτών.
Συσχετισμός σημαίνει ότι σε προτάσεις όπως "και Α, και Β, και Γ", η σειρά των τελεστών δεν έχει σημασία. Ο τύπος είναι γραμμένος ως εξής:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό είναι χαρακτηριστικό όχι μόνο του συνδέσμου, αλλά και του διαχωρισμού.
Η
Μεταλλαγή δηλώνει ότι το αποτέλεσμαο σύνδεσμος ή ο διαχωρισμός δεν εξαρτάται από το ποιο στοιχείο εξετάστηκε πρώτο:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Η κατανομή επιτρέπει την επέκταση παρενθέσεων σε σύνθετες λογικές εκφράσεις. Οι κανόνες είναι παρόμοιοι με το άνοιγμα αγκύλων στον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση στην άλγεβρα:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Οι ιδιότητες του ενός και του μηδενός, που μπορεί να είναι ένας από τους τελεστές, είναι επίσης παρόμοιες με τον αλγεβρικό πολλαπλασιασμό με μηδέν ή ένα και με πρόσθεση με ένα:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Η
Η αδυναμία μάς λέει ότι εάν, σε σχέση με δύο ίσους τελεστές, το αποτέλεσμα μιας πράξης αποδειχθεί παρόμοιο, τότε μπορούμε να «πετάξουμε» τους επιπλέον τελεστές που περιπλέκουν την πορεία του συλλογισμού. Τόσο ο σύνδεσμος όσο και ο διαχωρισμός είναι αδύναμες πράξεις.
B∧B=B; B∨B=B.
Η απορρόφηση μας επιτρέπει επίσης να απλοποιήσουμε τις εξισώσεις. Η απορρόφηση δηλώνει ότι όταν μια άλλη πράξη με το ίδιο στοιχείο εφαρμόζεται σε μια παράσταση με έναν τελεστή, το αποτέλεσμα είναι ο τελεστής από την πράξη απορρόφησης.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Ακολουθία πράξεων
Η σειρά των πράξεων δεν έχει μικρή σημασία. Στην πραγματικότητα, όσον αφορά την άλγεβρα, υπάρχει μια προτεραιότητα συναρτήσεων που χρησιμοποιεί η άλγεβρα Boole. Οι τύποι μπορούν να απλοποιηθούν μόνο εάν παρατηρηθεί η σημασία των πράξεων. Κατάταξη από το πιο σημαντικό στο λιγότερο, έχουμε την ακόλουθη σειρά:
1. Άρνηση.
2. Σύνδεσμος.
3. Disjunction, αποκλειστικήΉ.
4. Υπονοούμενα, ισοδυναμία.
Όπως μπορείτε να δείτε, μόνο η άρνηση και ο σύνδεσμος δεν έχουν ίση προτεραιότητα. Και η προτεραιότητα του διαχωρισμού και του XOR είναι ίσες, καθώς και οι προτεραιότητες της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας.
Συναρτήσεις συνεπαγωγής και ισοδυναμίας
Όπως έχουμε ήδη πει, εκτός από τις βασικές λογικές πράξεις, η μαθηματική λογική και η θεωρία των αλγορίθμων χρησιμοποιούν παραγώγους. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα υπονοούμενα και η ισοδυναμία.
Συνεπαγωγή, ή λογική συνέπεια, είναι μια δήλωση στην οποία η μία ενέργεια είναι συνθήκη και η άλλη είναι συνέπεια της εφαρμογής της. Με άλλα λόγια, αυτή είναι μια πρόταση με προθέσεις "αν … τότε." «Αν σου αρέσει να οδηγείς, σου αρέσει να κουβαλάς έλκηθρα». Δηλαδή, για σκι, πρέπει να σφίξετε το έλκηθρο στο λόφο. Εάν δεν υπάρχει επιθυμία να κατεβείτε στο βουνό, τότε δεν χρειάζεται να μεταφέρετε το έλκηθρο. Γράφεται ως εξής: A→B ή A⇒B.
Η ισοδυναμία υποθέτει ότι η ενέργεια που προκύπτει συμβαίνει μόνο όταν και οι δύο τελεστές είναι αληθείς. Για παράδειγμα, η νύχτα μετατρέπεται σε μέρα όταν (και μόνο όταν) ο ήλιος ανατέλλει στον ορίζοντα. Στη γλώσσα της μαθηματικής λογικής, αυτή η δήλωση γράφεται ως εξής: A≡B, A⇔B, A==B.
Άλλοι νόμοι της άλγεβρας Boole
Η άλγεβρα των κρίσεων αναπτύσσεται και πολλοί ενδιαφερόμενοι επιστήμονες έχουν διατυπώσει νέους νόμους. Τα αξιώματα του Σκωτσέζου μαθηματικού O. de Morgan θεωρούνται τα πιο διάσημα. Παρατήρησε και όρισε ιδιότητες όπως στενή άρνηση, συμπλήρωμα και διπλή άρνηση.
Κλείσιμο άρνηση σημαίνει ότι δεν υπάρχει άρνηση πριν από την παρένθεση:όχι (Α ή Β)=όχι Α ή ΟΧΙ Β.
Όταν ένας τελεστής αναιρείται, ανεξάρτητα από την τιμή του, μιλάμε για συμπλήρωμα:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Και τέλος, η διπλή άρνηση αντισταθμίζει τον εαυτό της. Εκείνοι. είτε η άρνηση εξαφανίζεται πριν από τον τελεστή, είτε παραμένει μόνο ένας.
Πώς να λύσετε τεστ
Η μαθηματική λογική συνεπάγεται την απλοποίηση δεδομένων εξισώσεων. Ακριβώς όπως στην άλγεβρα, πρέπει πρώτα να κάνετε τη συνθήκη όσο το δυνατόν πιο εύκολη (να απαλλαγείτε από πολύπλοκες εισόδους και λειτουργίες με αυτές) και μετά να αρχίσετε να αναζητάτε τη σωστή απάντηση.
Τι μπορεί να γίνει για να απλοποιηθεί; Μετατρέψτε όλες τις παράγωγες πράξεις σε απλές. Στη συνέχεια, ανοίξτε όλες τις αγκύλες (ή το αντίστροφο, βγάλτε το από αγκύλες για να συντομεύσετε αυτό το στοιχείο). Το επόμενο βήμα θα πρέπει να είναι η εφαρμογή των ιδιοτήτων της άλγεβρας Boole στην πράξη (απορρόφηση, ιδιότητες μηδέν και ενός κ.λπ.).
Τελικά, η εξίσωση πρέπει να αποτελείται από τον ελάχιστο αριθμό αγνώστων σε συνδυασμό με απλές πράξεις. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε μια λύση είναι να επιτύχετε έναν μεγάλο αριθμό κοντινών αρνητικών. Τότε η απάντηση θα εμφανιστεί σαν από μόνη της.
