Λογάριθμοι: παραδείγματα και λύσεις

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Όπως γνωρίζετε, όταν πολλαπλασιάζονται οι εκφράσεις με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a^ba^c=a^{b+ c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους δείκτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου απαιτείται να απλοποιηθεί ο περίπλοκος πολλαπλασιασμός σε απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Απλή και προσιτή γλώσσα.}

Ορισμός στα μαθηματικά

Ο λογάριθμος είναι μια έκφραση της ακόλουθης μορφής: log_ab=c γ" στην οποία πρέπει να αυξήσετε τη βάση "a" για να λάβετε τελικά την τιμή " σι". Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια έκφραση log_{28. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρεις τέτοιο βαθμό ώστε από το 2 στον απαιτούμενο βαθμό να παίρνεις 8. Έχοντας κάνει κάποιους υπολογισμούς στο μυαλό σου, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και είναι αλήθεια, γιατίΤο 2 ανεβασμένο στη δύναμη του 3 δίνει την απάντηση 8.}

Ποικιλίες λογαρίθμων

Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα, οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρία διαφορετικά είδη λογαριθμικών παραστάσεων:

1. Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e=2, 7).
2. Δεκαδικός λογάριθμος lg a, όπου η βάση είναι ο αριθμός 10.
3. Λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.

Καθένα από αυτά επιλύεται με τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να ληφθούν οι σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμάστε τις ιδιότητες τους και τη σειρά των ενεργειών κατά την επίλυσή τους.

Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί

Στα μαθηματικά, υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν είναι διαπραγματεύσιμοι και είναι αληθινοί. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρέσουμε αριθμούς με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να πάρουμε άρτια ρίζα από αρνητικούς αριθμούς. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε πώς να εργάζεστε ακόμα και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:

• η βάση του "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και ταυτόχρονα να μην είναι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει τη σημασία της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσο με τις τιμές τους;
• εάν είναι > 0, τότε ab>0,αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Πώς λύνω λογάριθμους;

Για παράδειγμα, δίνεται η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10^x=100. Είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια τέτοια δύναμη, αυξάνοντας τον αριθμό δέκα, πάρτε 100. Αυτή, φυσικά, η τετραγωνική δύναμη! 10^2=100.

Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση ως λογαριθμική. Λαμβάνουμε log_{10100=2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν στην εύρεση της ισχύος στην οποία πρέπει να εισαχθεί η βάση του λογαρίθμου για να ληφθεί ένας δεδομένος αριθμός.}

Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή ενός άγνωστου πτυχίου, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με τον πίνακα πτυχίων. Μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνική νοοτροπία και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, μεγαλύτερες τιμές θα απαιτήσουν ένα τραπέζι τροφοδοσίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και από όσους δεν καταλαβαίνουν απολύτως τίποτα σε πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c, στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στη διασταύρωση, τα κελιά ορίζουν τις τιμές των αριθμών που είναι η απάντηση (ac=b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!

Εξισώσεις και ανισώσεις

Αποδεικνύεται ότι ότανΥπό ορισμένες προϋποθέσεις, ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική εξίσωση. Για παράδειγμα, το 3⁴=81 μπορεί να γραφτεί ως ο λογάριθμος του 81 στη βάση 3, που είναι τέσσερα (log₃81=4). Για αρνητικούς βαθμούς, οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2^-5=1/32 γραμμένο ως λογάριθμος, παίρνουμε log_{2 (1/32)=-5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Θα εξετάσουμε παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων λίγο χαμηλότερα, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Προς το παρόν, ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.}

Δίνεται η ακόλουθη έκφραση: log_{2(x-1) > 3 - είναι μια λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή "x" βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμος. Η έκφραση συγκρίνει επίσης δύο τιμές: ο λογάριθμος βάσης δύο του επιθυμητού αριθμού είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.}

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (παράδειγμα - λογάριθμος₂x=√9) _{υπονοούν στην απάντηση μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές, ενώ κατά την επίλυση μιας ανισότητας προσδιορίζεται τόσο το εύρος των αποδεκτών τιμών όσο και τα σημεία διακοπής αυτής της συνάρτησης. Ως αποτέλεσμα, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση της εξίσωσης, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.}

Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους

Όταν λύνετε πρωτόγονες εργασίες για να βρείτε τις τιμές του λογαρίθμου, ενδέχεται να μην γνωρίζετε τις ιδιότητές του. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Με τα παραδείγματα των εξισώσεων θα εξοικειωθούμε αργότερα, ας αναλύσουμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.

1. Η βασική ταυτότητα μοιάζει με αυτό: alogaB=B. Ισχύει μόνο εάν το a είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα και το Β είναι μεγαλύτερο από μηδέν.
2. Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ ημερολόγιο}d_s2. _{Σε αυτήν την περίπτωση, η υποχρεωτική προϋπόθεση είναι: d, s}1 _{και s}2 _{> 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον τύπο των λογαρίθμων, με παραδείγματα και μια λύση. Αφήστε log}a_s1 _=f1 _{και καταγραφή}a_s 2_=f2_{, στη συνέχεια a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Λαμβάνουμε ότι s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(ιδιότητες βαθμού) και περαιτέρω εξ ορισμού: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_{=καταγραφή} a_{s1 + ημερολόγιο}a_s2, _{που έπρεπε να αποδειχτεί.}
3. Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log_a(s_1/s₂)=αρχείο καταγραφής _as₁- ημερολόγιο_as_2.
4. Το θεώρημα με τη μορφή τύπου έχει την ακόλουθη μορφή: log_a^qbⁿ =n/q log_aβ.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται "ιδιότητα του βαθμού του λογάριθμου". Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά στηρίζονται σε κανονικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.

Εστω log_ab=t, παίρνουμε a^t=β. Αν σηκώσετε και τις δύο πλευρές στην ισχύ m: a^tn=b^;

αλλά επειδή a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, επομένως log}aq _bn=(nt)/t, μετά καταγραφή^a_q b_n=n/q ημερολόγιο^aβ. Αποδεδειγμένο θεώρημα.

Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι λογαρίθμων προβλημάτων είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία, ενώ περιλαμβάνονται και στο υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων στα μαθηματικά. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να λύσετε σωστά τέτοια προβλήματα.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, αλλά ορισμένοι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να μειωθεί σε μια γενική μορφή. Μπορείτε να απλοποιήσετε μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις εάν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητές τους. Ας τους γνωρίσουμε σύντομα.

Όταν λύνουμε λογαριθμικές εξισώσεις,είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τι είδους λογάριθμο έχουμε μπροστά μας: ένα παράδειγμα έκφρασης μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.

Ακολουθούν παραδείγματα δεκαδικών λογαρίθμων: ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να προσδιορίσετε τον βαθμό στον οποίο η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για λύσεις φυσικών λογαρίθμων, πρέπει να εφαρμοστούν λογαριθμικές ταυτότητες ή οι ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.

Πώς να χρησιμοποιείτε τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις

Λοιπόν, ας δούμε παραδείγματα χρήσης των κύριων θεωρημάτων σχετικά με τους λογάριθμους.

1. Η ιδιότητα του λογαρίθμου του προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί μια μεγάλη τιμή του αριθμού b σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=ημερολόγιο_{2512. Η απάντηση είναι 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - όπως μπορείτε να δείτε, εφαρμόζοντας την τέταρτη ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου, καταφέραμε να λύσουμε με την πρώτη ματιά μια σύνθετη και άλυτη έκφραση. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να συνυπολογίσετε τη βάση και μετά να αφαιρέσετε την ισχύ από το πρόσημο του λογαρίθμου.}

Εργασίες από τις εξετάσεις

Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως αυτές οι εργασίες δεν υπάρχουν μόνο στο μέρος Α (το περισσότεροεύκολο τεστ μέρος της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (οι πιο δύσκολες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση απαιτεί ακριβή και τέλεια γνώση του θέματος "Φυσικοί λογάριθμοι".

Τα παραδείγματα και οι λύσεις προβλημάτων λαμβάνονται από τις επίσημες εκδόσεις της εξέτασης. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.

Δίνεται log₂(2x-1)=4. Λύση:

γράψτε την έκφραση, απλοποιώντας την λίγο log_2(2x-1)=22^{, με τον ορισμό του λογαρίθμου παίρνουμε ότι 2x-1=2}4^{, επομένως 2x=17; x=8, 5.}

Ακολουθώντας μερικές οδηγίες, ακολουθώντας τις οποίες μπορείτε εύκολα να λύσετε όλες τις εξισώσεις που περιέχουν εκφράσεις που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου.

• Είναι καλύτερο να μειώσετε όλους τους λογάριθμους στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι περίπλοκη και μπερδεμένη.
• Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως κατά τον πολλαπλασιασμό του εκθέτη της παράστασης που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και ως βάση του, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.