Το Matrix είναι ένα ειδικό αντικείμενο στα μαθηματικά. Απεικονίζεται με τη μορφή ενός ορθογώνιου ή τετράγωνου πίνακα, που αποτελείται από ορισμένο αριθμό σειρών και στηλών. Στα μαθηματικά, υπάρχει μεγάλη ποικιλία τύπων πινάκων, που διαφέρουν ως προς το μέγεθος ή το περιεχόμενο. Οι αριθμοί των σειρών και των στηλών του ονομάζονται εντολές. Αυτά τα αντικείμενα χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά για την οργάνωση της γραφής συστημάτων γραμμικών εξισώσεων και την εύκολη αναζήτηση των αποτελεσμάτων τους. Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούν πίνακα λύνονται με τη μέθοδο των Carl Gauss, Gabriel Cramer, δευτερεύουσες και αλγεβρικές προσθήκες και πολλούς άλλους τρόπους. Η βασική δεξιότητα όταν εργάζεστε με πίνακες είναι να τους φέρετε σε μια τυπική μορφή. Ωστόσο, πρώτα, ας καταλάβουμε ποιοι τύποι πινάκων διακρίνονται από τους μαθηματικούς.
Μηδενικός τύπος
Όλα τα συστατικά αυτού του είδους μήτρας είναι μηδενικά. Εν τω μεταξύ, ο αριθμός των σειρών και των στηλών του είναι εντελώς διαφορετικός.
Τετραγωνικός τύπος
Ο αριθμός των στηλών και των γραμμών αυτού του τύπου πίνακα είναι ο ίδιος. Με άλλα λόγια, είναι ένα τραπέζι σε σχήμα «τετράγωνο». Ο αριθμός των στηλών (ή γραμμών) του ονομάζεται σειρά. Ειδικές περιπτώσεις είναι η ύπαρξη πίνακα δεύτερης τάξης (μήτρας 2x2), τέταρτης τάξης (4x4), δέκατης (10x10), δέκατης έβδομης (17x17) κ.ο.κ.
Διάνυσμα στήλης
Αυτός είναι ένας από τους απλούστερους τύπους πινάκων, που περιέχει μόνο μία στήλη, η οποία περιλαμβάνει τρεις αριθμητικές τιμές. Αντιπροσωπεύει μια σειρά ελεύθερων όρων (αριθμούς ανεξάρτητους από μεταβλητές) σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων.
Διάνυσμα σειράς
Προβολή παρόμοια με την προηγούμενη. Αποτελείται από τρία αριθμητικά στοιχεία, οργανωμένα με τη σειρά τους σε μία γραμμή.
Τύπος διαγώνιος
Μόνο τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου (επισημασμένα με πράσινο χρώμα) λαμβάνουν αριθμητικές τιμές στη διαγώνια μορφή του πίνακα. Η κύρια διαγώνιος ξεκινά με το στοιχείο στην επάνω αριστερή γωνία και τελειώνει με το στοιχείο στην κάτω δεξιά, αντίστοιχα. Τα υπόλοιπα εξαρτήματα είναι μηδενικά. Ο διαγώνιος τύπος είναι μόνο ένας τετραγωνικός πίνακας κάποιας τάξης. Μεταξύ των πινάκων της διαγώνιας μορφής, μπορεί κανείς να ξεχωρίσει έναν βαθμωτό. Όλα τα στοιχεία του παίρνουν τις ίδιες τιμές.
Πίνακας ταυτότητας
Ένα υποείδος της διαγώνιας μήτρας. Όλες οι αριθμητικές του τιμές είναι μονάδες. Χρησιμοποιώντας έναν μεμονωμένο τύπο πινάκων μήτρας, εκτελέστε τους βασικούς μετασχηματισμούς του ή βρείτε έναν πίνακα αντίστροφο από τον αρχικό.
Κανονικός τύπος
Η κανονική μορφή μιας μήτρας θεωρείται μία από τις κύριες. Συχνά απαιτείται χύτευση σε αυτό για να λειτουργήσει. Ο αριθμός των σειρών και των στηλών στον κανονικό πίνακα είναι διαφορετικός, δεν ανήκει απαραίτητα στον τετράγωνο τύπο. Είναι κάπως παρόμοιο με τον πίνακα ταυτότητας, ωστόσο, στην περίπτωσή του, δεν παίρνουν όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου τιμή ίση με ένα. Μπορεί να υπάρχουν δύο ή τέσσερις κύριες διαγώνιες μονάδες (όλα εξαρτώνται από το μήκος και το πλάτος της μήτρας). Ή μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου μονάδες (τότε θεωρείται μηδέν). Τα υπόλοιπα στοιχεία του κανονικού τύπου, καθώς και τα στοιχεία της διαγωνίου και της ταυτότητας, είναι ίσα με μηδέν.
Τύπος τριγώνου
Ένας από τους πιο σημαντικούς τύπους μήτρας, που χρησιμοποιείται κατά την αναζήτηση της ορίζοντάς του και κατά την εκτέλεση απλών πράξεων. Ο τριγωνικός τύπος προέρχεται από τον διαγώνιο τύπο, επομένως η μήτρα είναι επίσης τετράγωνη. Η τριγωνική όψη της μήτρας χωρίζεται σε άνω τριγωνικό και κάτω τριγωνικό.
Στον επάνω τριγωνικό πίνακα (Εικ. 1), μόνο τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο λαμβάνουν τιμή ίση με μηδέν. Τα στοιχεία της ίδιας της διαγωνίου και το τμήμα του πίνακα κάτω από αυτήν περιέχουν αριθμητικές τιμές.
Στον κάτω τριγωνικό πίνακα (Εικ. 2), αντίθετα, τα στοιχεία που βρίσκονται στο κάτω μέρος του πίνακα είναι ίσα με μηδέν.
Step Matrix
Η προβολή είναι απαραίτητη για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα, καθώς και για στοιχειώδεις πράξεις σε αυτούς (μαζί με τον τριγωνικό τύπο). Ο πίνακας βημάτων ονομάζεται έτσι επειδή περιέχει χαρακτηριστικά "βήματα" μηδενικών (όπως φαίνεται στο σχήμα). Στον κλιμακωτό τύπο, σχηματίζεται μια διαγώνιος μηδενικών (όχι απαραίτητα η κύρια) και όλα τα στοιχεία κάτω από αυτήν τη διαγώνιο έχουν επίσης τιμές ίσες με μηδέν. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι η ακόλουθη: εάν υπάρχει μηδενική γραμμή στον πίνακα βημάτων, τότε οι υπόλοιπες σειρές κάτω από αυτήν επίσης δεν περιέχουν αριθμητικές τιμές.
Έτσι, εξετάσαμε τους πιο σημαντικούς τύπους πινάκων που απαιτούνται για να δουλέψουμε μαζί τους. Τώρα ας ασχοληθούμε με το έργο της μετατροπής ενός πίνακα στην απαιτούμενη φόρμα.
Μείωση σε τριγωνική μορφή
Πώς να φέρετε τη μήτρα σε τριγωνική μορφή; Τις περισσότερες φορές, στις αναθέσεις, χρειάζεται να μετατρέψετε έναν πίνακα σε τριγωνική μορφή για να βρείτε την ορίζοντή του, που αλλιώς ονομάζεται ορίζουσα. Κατά την εκτέλεση αυτής της διαδικασίας, είναι εξαιρετικά σημαντικό να "διατηρηθεί" η κύρια διαγώνιος της μήτρας, επειδή η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ακριβώς το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. Επιτρέψτε μου επίσης να σας υπενθυμίσω εναλλακτικές μεθόδους εύρεσης της ορίζουσας. Η ορίζουσα τετραγωνικού τύπου βρίσκεται χρησιμοποιώντας ειδικούς τύπους. Για παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο του τριγώνου. Για άλλους πίνακες, χρησιμοποιείται η μέθοδος αποσύνθεσης ανά γραμμή, στήλη ή τα στοιχεία τους. Μπορείτε επίσης να εφαρμόσετε τη μέθοδο των δευτερευόντων και αλγεβρικών συμπληρωμάτων του πίνακα.
ΛεπτομέρειεςΑς αναλύσουμε τη διαδικασία μεταφοράς ενός πίνακα σε τριγωνική μορφή χρησιμοποιώντας παραδείγματα ορισμένων εργασιών.
Εργασία 1
Είναι απαραίτητο να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα που παρουσιάζεται, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο να τον φέρετε σε τριγωνική μορφή.
Ο πίνακας που μας δόθηκε είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τρίτης τάξης. Επομένως, για να το μετατρέψουμε σε τριγωνική μορφή, πρέπει να ακυρώσουμε δύο στοιχεία της πρώτης στήλης και ένα στοιχείο της δεύτερης.
Για να το φέρετε σε τριγωνική μορφή, ξεκινήστε το μετασχηματισμό από την κάτω αριστερή γωνία του πίνακα - από τον αριθμό 6. Για να τον μετατρέψετε στο μηδέν, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά επί τρία και αφαιρέστε την από την τελευταία σειρά.
Σημαντικό! Η επάνω γραμμή δεν αλλάζει, αλλά παραμένει η ίδια όπως στην αρχική μήτρα. Δεν χρειάζεται να γράψετε μια συμβολοσειρά τέσσερις φορές την αρχική. Αλλά οι τιμές των συμβολοσειρών των οποίων τα στοιχεία πρέπει να ακυρωθούν αλλάζουν συνεχώς.
Στη συνέχεια, ας ασχοληθούμε με την επόμενη τιμή - το στοιχείο της δεύτερης σειράς της πρώτης στήλης, αριθμός 8. Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά επί τέσσερα και αφαιρέστε την από τη δεύτερη σειρά. Παίρνουμε μηδέν.
Απομένει μόνο η τελευταία τιμή - το στοιχείο της τρίτης σειράς της δεύτερης στήλης. Αυτός είναι ο αριθμός (-1). Για να το μηδενίσετε, αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη γραμμή.
Ας ελέγξουμε:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Έτσι η απάντηση στην εργασία είναι -22.
Εργασία 2
Πρέπει να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα φέρνοντάς τον σε τριγωνική μορφή.
Απαριστώμενος πίνακαςανήκει στον τετράγωνο τύπο και είναι πίνακας τέταρτης τάξης. Αυτό σημαίνει ότι τρία στοιχεία της πρώτης στήλης, δύο στοιχεία της δεύτερης στήλης και ένα στοιχείο της τρίτης στήλης πρέπει να μηδενιστούν.
Ας ξεκινήσουμε τη μείωσή του από το στοιχείο που βρίσκεται στην κάτω αριστερή γωνία - από τον αριθμό 4. Πρέπει να μηδενίσουμε αυτόν τον αριθμό. Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να πολλαπλασιάσετε την επάνω σειρά επί τέσσερα και στη συνέχεια να την αφαιρέσετε από την τέταρτη σειρά. Ας γράψουμε το αποτέλεσμα του πρώτου σταδίου του μετασχηματισμού.
Έτσι, η συνιστώσα της τέταρτης γραμμής έχει μηδενιστεί. Ας περάσουμε στο πρώτο στοιχείο της τρίτης γραμμής, στον αριθμό 3. Κάνουμε μια παρόμοια λειτουργία. Πολλαπλασιάστε επί τρία την πρώτη γραμμή, αφαιρέστε την από την τρίτη γραμμή και γράψτε το αποτέλεσμα.
Στη συνέχεια, βλέπουμε τον αριθμό 2 στη δεύτερη γραμμή. Επαναλαμβάνουμε την πράξη: πολλαπλασιάζουμε την επάνω σειρά επί δύο και την αφαιρούμε από τη δεύτερη.
Καταφέραμε να μηδενίσουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης αυτού του τετραγωνικού πίνακα, εκτός από τον αριθμό 1, το στοιχείο της κύριας διαγωνίου που δεν απαιτεί μετασχηματισμό. Τώρα είναι σημαντικό να διατηρήσουμε τα μηδενικά που προκύπτουν, επομένως θα κάνουμε μετασχηματισμούς με γραμμές, όχι στήλες. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη στήλη του πίνακα που παρουσιάζεται.
Ας ξεκινήσουμε πάλι από κάτω - από το στοιχείο της δεύτερης στήλης της τελευταίας σειράς. Αυτός είναι ο αριθμός (-7). Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση είναι πιο βολικό να ξεκινήσετε με τον αριθμό (-1) - το στοιχείο της δεύτερης στήλης της τρίτης σειράς. Για να το μηδενίσετε, αφαιρέστε τη δεύτερη σειρά από την τρίτη σειρά. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά επί επτά και την αφαιρούμε από την τέταρτη. Πήραμε μηδέν αντί για το στοιχείο που βρίσκεται στην τέταρτη σειρά της δεύτερης στήλης. Τώρα ας περάσουμε στο τρίτοστήλη.
Σε αυτήν τη στήλη, πρέπει να γυρίσουμε στο μηδέν μόνο έναν αριθμό - 4. Είναι εύκολο να το κάνετε: απλώς προσθέστε τον τρίτο στην τελευταία γραμμή και δείτε το μηδέν που χρειαζόμαστε.
Μετά από όλους τους μετασχηματισμούς, φέραμε τον προτεινόμενο πίνακα σε τριγωνική μορφή. Τώρα, για να βρείτε την ορίζοντή του, χρειάζεται μόνο να πολλαπλασιάσετε τα προκύπτοντα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. Παίρνουμε: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Επομένως, η λύση είναι ο αριθμός 160.
Λοιπόν, τώρα το ζήτημα του να φέρετε τη μήτρα σε τριγωνική μορφή δεν θα σας δυσκολέψει.
Μείωση σε κλιμακωτή φόρμα
Στις στοιχειώδεις πράξεις σε πίνακες, η κλιμακωτή μορφή είναι λιγότερο "απαιτούμενη" από την τριγωνική. Χρησιμοποιείται πιο συχνά για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα (δηλαδή, του αριθμού των μη μηδενικών σειρών του) ή για τον προσδιορισμό γραμμικά εξαρτώμενων και ανεξάρτητων σειρών. Ωστόσο, η προβολή βαθμιδωτής μήτρας είναι πιο ευέλικτη, καθώς είναι κατάλληλη όχι μόνο για τον τετράγωνο τύπο, αλλά και για όλους τους άλλους.
Για να αναγάγετε έναν πίνακα σε κλιμακωτή μορφή, πρέπει πρώτα να βρείτε την ορίζοντή του. Για αυτό, οι παραπάνω μέθοδοι είναι κατάλληλες. Ο σκοπός της εύρεσης της ορίζουσας είναι να ανακαλύψει εάν μπορεί να μετατραπεί σε πίνακα βημάτων. Εάν η ορίζουσα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από το μηδέν, τότε μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στην εργασία. Εάν είναι ίσο με μηδέν, δεν θα λειτουργήσει η μείωση του πίνακα σε μια κλιμακωτή μορφή. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να ελέγξετε εάν υπάρχουν σφάλματα στην εγγραφή ή στους μετασχηματισμούς του πίνακα. Εάν δεν υπάρχουν τέτοιες ανακρίβειες, η εργασία δεν μπορεί να επιλυθεί.
Ας δούμε πώςφέρτε τον πίνακα σε μια κλιμακωτή φόρμα χρησιμοποιώντας παραδείγματα πολλών εργασιών.
Εργασία 1. Βρείτε την κατάταξη του δεδομένου πίνακα μήτρας.
Μπροστά μας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τρίτης τάξης (3x3). Γνωρίζουμε ότι για να βρούμε την κατάταξη, είναι απαραίτητο να τη μειώσουμε σε κλιμακωτή μορφή. Επομένως, πρέπει πρώτα να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, που σημαίνει ότι ο πίνακας μπορεί να αναχθεί σε κλιμακωτή μορφή. Ας ξεκινήσουμε τις μεταμορφώσεις του.
Ας το ξεκινήσουμε με το στοιχείο της αριστερής στήλης της τρίτης σειράς - τον αριθμό 2. Πολλαπλασιάστε την επάνω σειρά επί δύο και αφαιρέστε την από την τρίτη. Χάρη σε αυτή τη λειτουργία, τόσο το στοιχείο που χρειαζόμαστε όσο και ο αριθμός 4 - το στοιχείο της δεύτερης στήλης της τρίτης σειράς - μετατράπηκαν σε μηδέν.
Στη συνέχεια, μηδενίστε το στοιχείο της δεύτερης σειράς της πρώτης στήλης - τον αριθμό 3. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την επάνω σειρά επί τρία και αφαιρέστε την από τη δεύτερη.
Βλέπουμε ότι η αναγωγή είχε ως αποτέλεσμα έναν τριγωνικό πίνακα. Στην περίπτωσή μας, ο μετασχηματισμός δεν μπορεί να συνεχιστεί, καθώς τα υπόλοιπα στοιχεία δεν μπορούν να μηδενιστούν.
Έτσι, συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των σειρών που περιέχουν αριθμητικές τιμές σε αυτόν τον πίνακα (ή την κατάταξή του) είναι 3. Απάντηση στην εργασία: 3.
Εργασία 2. Προσδιορίστε τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών αυτού του πίνακα.
Πρέπει να βρούμε συμβολοσειρές που δεν μπορούν να αντιστραφούν από κανέναν μετασχηματισμόστο μηδέν. Στην πραγματικότητα, πρέπει να βρούμε τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών ή την κατάταξη του αντιπροσωπευόμενου πίνακα. Για να το κάνουμε αυτό, ας το απλοποιήσουμε.
Βλέπουμε έναν πίνακα που δεν ανήκει στον τετράγωνο τύπο. Έχει διαστάσεις 3Χ4. Ας ξεκινήσουμε επίσης το καστ από το στοιχείο της κάτω αριστερής γωνίας - τον αριθμό (-1).
Προσθέστε την πρώτη γραμμή στην τρίτη. Στη συνέχεια, αφαιρέστε το δεύτερο από αυτό για να μετατρέψετε τον αριθμό 5 στο μηδέν.
Περαιτέρω μετασχηματισμοί είναι αδύνατον. Άρα, συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών σε αυτό και η απάντηση στην εργασία είναι 3.
Τώρα το να φέρετε τη μήτρα σε μια κλιμακωτή φόρμα δεν είναι μια αδύνατη δουλειά για εσάς.
Στα παραδείγματα αυτών των εργασιών, αναλύσαμε την αναγωγή ενός πίνακα σε τριγωνική μορφή και σε κλιμακωτή μορφή. Προκειμένου να ακυρωθούν οι επιθυμητές τιμές των πινάκων μήτρας, σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτείται η εμφάνιση φαντασίας και ο σωστός μετασχηματισμός των στηλών ή των σειρών τους. Καλή τύχη στα μαθηματικά και στην εργασία με πίνακες!
