Η πυραμίδα είναι ένα γεωμετρικό χωρικό σχήμα, τα χαρακτηριστικά του οποίου μελετώνται στο γυμνάσιο στο μάθημα της συμπαγούς γεωμετρίας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μια τριγωνική πυραμίδα, τους τύπους της, καθώς και τύπους για τον υπολογισμό της επιφάνειάς της.
Για ποια πυραμίδα μιλάμε;
Μια τριγωνική πυραμίδα είναι ένα σχήμα που μπορεί να ληφθεί συνδέοντας όλες τις κορυφές ενός αυθαίρετου τριγώνου με ένα μόνο σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του τριγώνου. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η υπό εξέταση πυραμίδα πρέπει να αποτελείται από ένα αρχικό τρίγωνο, που ονομάζεται βάση του σχήματος, και τρία πλευρικά τρίγωνα που έχουν μια κοινή πλευρά με τη βάση και συνδέονται μεταξύ τους σε ένα σημείο. Η τελευταία ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας.
Η παραπάνω εικόνα δείχνει μια αυθαίρετη τριγωνική πυραμίδα.
Το σχήμα που εξετάζουμε μπορεί να είναι λοξό ή ίσιο. Στην τελευταία περίπτωση, η κάθετη που πέφτει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της πρέπει να την τέμνει στο γεωμετρικό κέντρο. το γεωμετρικό κέντρο οποιουδήποτετρίγωνο είναι το σημείο τομής των διαμέτρων του. Το γεωμετρικό κέντρο συμπίπτει με το κέντρο μάζας του σχήματος στη φυσική.
Αν ένα κανονικό (ισόπλευρο) τρίγωνο βρίσκεται στη βάση μιας ευθύγραμμης πυραμίδας, τότε ονομάζεται κανονικό τριγωνικό. Σε μια κανονική πυραμίδα, όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους και είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
Αν το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας είναι τέτοιο που τα πλευρικά τρίγωνά της γίνονται ισόπλευρα, τότε ονομάζεται τετράεδρο. Σε ένα τετράεδρο, και οι τέσσερις όψεις είναι ίσες μεταξύ τους, επομένως κάθε μία από αυτές μπορεί να θεωρηθεί ως βάση.
Στοιχεία πυραμίδας
Αυτά τα στοιχεία περιλαμβάνουν τις όψεις ή τις πλευρές μιας φιγούρας, τις άκρες, τις κορυφές, το ύψος και τα αποθέματά της.
Όπως φαίνεται, όλες οι πλευρές μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι τρίγωνα. Ο αριθμός τους είναι 4 (3 πλευρές και ένα στη βάση).
Οι κορυφές είναι τα σημεία τομής των τριών τριγωνικών πλευρών. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι για την υπό εξέταση πυραμίδα υπάρχουν 4 από αυτές (3 ανήκουν στη βάση και 1 στην κορυφή της πυραμίδας).
Οι άκρες μπορούν να οριστούν ως γραμμές που τέμνουν δύο τριγωνικές πλευρές ή ως γραμμές που συνδέουν κάθε δύο κορυφές. Ο αριθμός των άκρων αντιστοιχεί στο διπλάσιο του αριθμού των κορυφών της βάσης, δηλαδή, για μια τριγωνική πυραμίδα είναι 6 (3 άκρες ανήκουν στη βάση και 3 άκρες σχηματίζονται από τις πλευρικές όψεις).
Ύψος, όπως σημειώθηκε παραπάνω, είναι το μήκος της κάθετου που τραβιέται από την κορυφή της πυραμίδας μέχρι τη βάση της. Αν σχεδιάσουμε ύψη από αυτή την κορυφή σε κάθε πλευρά της τριγωνικής βάσης,τότε θα ονομάζονται απόθεμα (ή αποθέματα). Έτσι, η τριγωνική πυραμίδα έχει ένα ύψος και τρία αποθέματα. Τα τελευταία είναι ίσα μεταξύ τους για μια κανονική πυραμίδα.
Η βάση της πυραμίδας και το εμβαδόν της
Δεδομένου ότι η βάση για το υπό εξέταση σχήμα είναι γενικά ένα τρίγωνο, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του αρκεί να βρούμε το ύψος του ho και το μήκος της πλευράς της βάσης α, στο οποίο είναι χαμηλωμένο. Ο τύπος για την περιοχή So της βάσης είναι:
So=1/2hoa
Αν το τρίγωνο της βάσης είναι ισόπλευρο, τότε το εμβαδόν της βάσης της τριγωνικής πυραμίδας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
So=√3/4a2
Δηλαδή, η περιοχή Soκαθορίζεται μοναδικά από το μήκος της πλευράς a της τριγωνικής βάσης.
Πλάγια και συνολική επιφάνεια του σχήματος
Πριν εξετάσετε το εμβαδόν μιας τριγωνικής πυραμίδας, είναι χρήσιμο να δείξετε την ανάπτυξή της. Αυτή απεικονίζεται παρακάτω.
Η περιοχή αυτής της σάρωσης που σχηματίζεται από τέσσερα τρίγωνα είναι η συνολική επιφάνεια της πυραμίδας. Ένα από τα τρίγωνα αντιστοιχεί στη βάση, ο τύπος για την εξεταζόμενη τιμή της οποίας γράφτηκε παραπάνω. Τρεις πλευρικές τριγωνικές όψεις μαζί σχηματίζουν την πλευρική περιοχή του σχήματος. Επομένως, για να προσδιορίσετε αυτήν την τιμή, αρκεί να εφαρμόσετε τον παραπάνω τύπο για ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε καθένα από αυτά και στη συνέχεια να προσθέσετε τα τρία αποτελέσματα.
Αν η πυραμίδα είναι σωστή, τότε ο υπολογισμόςΗ πλευρική επιφάνεια διευκολύνεται, καθώς όλες οι πλευρικές όψεις είναι πανομοιότυπα ισόπλευρα τρίγωνα. Σημειώστε hbτο μήκος του αποθέματος, τότε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας Sb μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής:
Sb=3/2ahb
Αυτός ο τύπος προκύπτει από τη γενική έκφραση για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Ο αριθμός 3 εμφανίστηκε στους αριθμητές λόγω του γεγονότος ότι η πυραμίδα έχει τρεις πλευρικές όψεις.
Απότεμα hb σε μια κανονική πυραμίδα μπορεί να υπολογιστεί εάν το ύψος του σχήματος h είναι γνωστό. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε:
hb=√(h2+ a2/12)
Προφανώς, το συνολικό εμβαδόν S της επιφάνειας του σχήματος ισούται με το άθροισμα των επιφανειών της πλευράς και της βάσης του:
S=So+ Sb
Για μια κανονική πυραμίδα, που αντικαθιστά όλες τις γνωστές τιμές, παίρνουμε τον τύπο:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
Το εμβαδόν μιας τριγωνικής πυραμίδας εξαρτάται μόνο από το μήκος της πλευράς της βάσης της και από το ύψος.
Παράδειγμα προβλήματος
Είναι γνωστό ότι το πλευρικό άκρο μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι 7 cm και η πλευρά της βάσης είναι 5 cm. Πρέπει να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας του σχήματος, αν γνωρίζετε ότι η πυραμίδα είναι κανονικό.
Χρησιμοποιήστε μια γενική ισότητα:
S=So+ Sb
Η περιοχή Soισούται με:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 cm2.
Για να προσδιορίσετε την πλευρική επιφάνεια, πρέπει να βρείτε το απότεμα. Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι μέσω του μήκους της πλευρικής ακμής ab προσδιορίζεται από τον τύπο:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6,538 εκ.
Τότε η περιοχή του Sb είναι:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49,035 cm2.
Το συνολικό εμβαδόν της πυραμίδας είναι:
S=So+ Sb=10,825 + 49,035=59,86cm2.
Σημειώστε ότι κατά την επίλυση του προβλήματος, δεν χρησιμοποιήσαμε την τιμή του ύψους της πυραμίδας στους υπολογισμούς.
