Ο κόσμος είναι διατεταγμένος με τέτοιο τρόπο ώστε η λύση ενός μεγάλου αριθμού προβλημάτων καταλήγει στην εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Οι ρίζες των εξισώσεων είναι σημαντικές για την περιγραφή διαφόρων προτύπων. Αυτό ήταν γνωστό ακόμη και στους τοπογράφους της αρχαίας Βαβυλώνας. Οι αστρονόμοι και οι μηχανικοί αναγκάστηκαν επίσης να λύσουν τέτοια προβλήματα. Πίσω στον 6ο αιώνα μ. Χ., ο Ινδός επιστήμονας Aryabhata ανέπτυξε τα βασικά για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Οι τύποι ολοκληρώθηκαν τον 19ο αιώνα.
Γενικές έννοιες
Σας προσκαλούμε να εξοικειωθείτε με τις βασικές κανονικότητες των τετραγωνικών ισοτήτων. Γενικά, η ισότητα μπορεί να γραφτεί ως εξής:
ax2 + bx + c=0, Ο αριθμός των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μπορεί να είναι ίσος με μία ή δύο. Μια γρήγορη ανάλυση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την έννοια του διακριτικού:
D=b2 - 4ac
Ανάλογα με την υπολογιζόμενη τιμή, παίρνουμε:
- Όταν D > 0 υπάρχουν δύο διαφορετικές ρίζες. Ο γενικός τύπος για τον προσδιορισμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με (-b± √D) / (2a).
- D=0, στην περίπτωση αυτή η ρίζα είναι μία και αντιστοιχεί στην τιμή x=-b / (2a)
- D < 0, για μια αρνητική τιμή του διαχωριστή, δεν υπάρχει λύση στην εξίσωση.
Σημείωση: εάν η διάκριση είναι αρνητική, η εξίσωση δεν έχει ρίζες μόνο στην περιοχή των πραγματικών αριθμών. Εάν η άλγεβρα επεκταθεί στην έννοια των μιγαδικών ριζών, τότε η εξίσωση έχει μια λύση.
Ας δώσουμε μια αλυσίδα ενεργειών που επιβεβαιώνουν τον τύπο για την εύρεση ριζών.
Από τη γενική μορφή της εξίσωσης, προκύπτει:
ax2 + bx=-c
Πολλαπλασιάζουμε το δεξί και το αριστερό μέρος με 4a και προσθέτουμε b2, παίρνουμε
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Μετατρέψτε την αριστερή πλευρά στο τετράγωνο του πολυωνύμου (2ax + b)2. Εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), μεταφέρουμε τον συντελεστή b στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Από εδώ ακολουθεί:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Τι έπρεπε να εμφανιστεί.
Ειδική περίπτωση
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η λύση του προβλήματος μπορεί να απλοποιηθεί. Έτσι, για έναν άρτιο συντελεστή b παίρνουμε έναν απλούστερο τύπο.
Δηλώστε k=1/2b, τότε ο τύπος της γενικής μορφής των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης παίρνει τη μορφή:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Όταν D=0, παίρνουμε x=-k / a
Μια άλλη ειδική περίπτωση είναι η λύση της εξίσωσης με a=1.
Για τη μορφή x2 + bx + c=0 οι ρίζες θα είναι x=-k ± √(k2 - c) με διάκριση μεγαλύτερη από 0. Για την περίπτωση που D=0, η ρίζα θα καθοριστεί από έναν απλό τύπο: x=-k.
Χρήση γραφημάτων
Κάθε άτομο, χωρίς καν να το γνωρίζει, βρίσκεται συνεχώς αντιμέτωπο με φυσικά, χημικά, βιολογικά ακόμα και κοινωνικά φαινόμενα που περιγράφονται καλά από μια τετραγωνική συνάρτηση.
Σημείωση: η καμπύλη που χτίζεται με βάση μια τετραγωνική συνάρτηση ονομάζεται παραβολή.
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα.
- Κατά τον υπολογισμό της τροχιάς ενός βλήματος, χρησιμοποιείται η ιδιότητα της κίνησης κατά μήκος μιας παραβολής ενός σώματος που εκτοξεύεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα.
- Η ιδιότητα της παραβολής να κατανέμει ομοιόμορφα το φορτίο χρησιμοποιείται ευρέως στην αρχιτεκτονική.
Κατανοώντας τη σημασία της παραβολικής συνάρτησης, ας καταλάβουμε πώς να χρησιμοποιήσουμε το γράφημα για να εξερευνήσουμε τις ιδιότητές του, χρησιμοποιώντας τις έννοιες "διάκριση" και "ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης".
Ανάλογα με την τιμή των συντελεστών a και b, υπάρχουν μόνο έξι επιλογές για τη θέση της καμπύλης:
- Το διακριτικό είναι θετικό, το α και το β έχουν διαφορετικά πρόσημα. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτούν προς τα πάνω, η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο λύσεις.
- Η διάκριση και ο συντελεστής b είναι ίσοι με μηδέν, ο συντελεστής a είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Το γράφημα βρίσκεται στη θετική ζώνη, η εξίσωση έχει 1 ρίζα.
- Η διάκριση και όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί. Η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει λύση.
- Η διάκριση και ο συντελεστής a είναι αρνητικοί, το b είναι μεγαλύτερο από μηδέν. Οι κλάδοι του γραφήματος κατευθύνονται προς τα κάτω, η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
- Διακρίσεις καιο συντελεστής β είναι ίσος με μηδέν, ο συντελεστής α είναι αρνητικός. Η παραβολή κοιτάζει προς τα κάτω, η εξίσωση έχει μία ρίζα.
- Οι τιμές του διαχωριστή και όλοι οι συντελεστές είναι αρνητικές. Δεν υπάρχουν λύσεις, οι τιμές των συναρτήσεων βρίσκονται εντελώς στην αρνητική ζώνη.
Σημείωση: η επιλογή a=0 δεν λαμβάνεται υπόψη, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η παραβολή εκφυλίζεται σε ευθεία γραμμή.
Όλα τα παραπάνω απεικονίζονται καλά στο παρακάτω σχήμα.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Συνθήκη: χρησιμοποιώντας τις γενικές ιδιότητες, φτιάξτε μια τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι ίσες μεταξύ τους.
Λύση:
σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος x1 =x2, ή -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Απλοποίηση της σημειογραφίας:
-β + √(b2 - 4α.) / (2α) - (-β - √(β2 - 4ακ.) / (2α))=0, ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους. Η εξίσωση γίνεται 2√(b2 - 4ac)=0. Αυτή η πρόταση είναι αληθής όταν b2 - 4ac=0, επομένως b 2=4ac, τότε η τιμή b=2√(ac) αντικαθίσταται στην εξίσωση
ax2 + 2√(ac)x + c=0, στη μειωμένη μορφή παίρνουμε x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Απάντηση:
για a δεν ισούται με 0 και οποιοδήποτε c, υπάρχει μόνο μία λύση εάν b=2√(c / a).
Οι τετραγωνικές εξισώσεις, παρ' όλη την απλότητά τους, έχουν μεγάλη σημασία στους μηχανικούς υπολογισμούς. Σχεδόν οποιαδήποτε φυσική διαδικασία μπορεί να περιγραφεί με κάποια προσέγγισησυναρτήσεις ισχύος τάξης n. Η τετραγωνική εξίσωση θα είναι η πρώτη τέτοια προσέγγιση.
