Ορισμένα μαθηματικά προβλήματα απαιτούν την ικανότητα υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας. Αυτά τα προβλήματα περιλαμβάνουν την επίλυση εξισώσεων δεύτερης τάξης. Σε αυτό το άρθρο, παρουσιάζουμε μια αποτελεσματική μέθοδο για τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών και τη χρησιμοποιούμε όταν εργάζεστε με τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Τι είναι η τετραγωνική ρίζα;
Στα μαθηματικά, αυτή η έννοια αντιστοιχεί στο σύμβολο √. Τα ιστορικά δεδομένα λένε ότι άρχισε να χρησιμοποιείται για πρώτη φορά γύρω στο πρώτο μισό του 16ου αιώνα στη Γερμανία (το πρώτο γερμανικό έργο για την άλγεβρα του Christoph Rudolf). Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι αυτό το σύμβολο είναι ένα μετασχηματισμένο λατινικό γράμμα r (radix σημαίνει "ρίζα" στα λατινικά).
Η ρίζα οποιουδήποτε αριθμού είναι ίση με μια τέτοια τιμή, το τετράγωνο της οποίας αντιστοιχεί στη ρίζα. Στη γλώσσα των μαθηματικών, αυτός ο ορισμός θα μοιάζει με αυτό: √x=y αν y2=x.
Η ρίζα ενός θετικού αριθμού (x > 0) είναι επίσηςένας θετικός αριθμός (y > 0), αλλά αν η ρίζα ληφθεί από έναν αρνητικό αριθμό (x < 0), τότε το αποτέλεσμά του θα είναι ήδη ένας μιγαδικός αριθμός, συμπεριλαμβανομένης της φανταστικής μονάδας i.
Ακολουθούν δύο απλά παραδείγματα:
√9=3 επειδή 32 =9; √(-9)=3i γιατί i2=-1.
Επαναληπτικός τύπος Heron για την εύρεση τετραγωνικών ριζών
Τα παραπάνω παραδείγματα είναι πολύ απλά και ο υπολογισμός των ριζών σε αυτά δεν είναι δύσκολος. Οι δυσκολίες αρχίζουν να εμφανίζονται ήδη κατά την εύρεση των τιμών ρίζας για οποιαδήποτε τιμή που δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, για παράδειγμα √10, √11, √12, √13, για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι στην πράξη είναι απαραίτητο για την εύρεση ριζών για μη ακέραιους αριθμούς: για παράδειγμα √(12, 15), √(8, 5) και ούτω καθεξής.
Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις θα πρέπει να χρησιμοποιείται ειδική μέθοδος υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας. Επί του παρόντος, πολλές τέτοιες μέθοδοι είναι γνωστές: για παράδειγμα, επέκταση σε μια σειρά Taylor, διαίρεση με στήλη και μερικές άλλες. Από όλες τις γνωστές μεθόδους, ίσως η απλούστερη και πιο αποτελεσματική είναι η χρήση του επαναληπτικού τύπου του Heron, ο οποίος είναι επίσης γνωστός ως Βαβυλωνιακή μέθοδος για τον προσδιορισμό των τετραγωνικών ριζών (υπάρχουν στοιχεία ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι τη χρησιμοποιούσαν στους πρακτικούς υπολογισμούς τους).
Ας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του √x. Ο τύπος για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας είναι ο εξής:
an+1=1/2(a+x/a), όπου limn->∞(a)=> x.
Αποκρυπτογραφήστε αυτόν τον μαθηματικό συμβολισμό. Για να υπολογίσετε το √x, θα πρέπει να πάρετε έναν αριθμό a0 (μπορεί να είναι αυθαίρετο, αλλά για γρήγορο αποτέλεσμα, θα πρέπει να τον επιλέξετε έτσι ώστε (a0) 2 ήταν όσο το δυνατόν πιο κοντά στο x, στη συνέχεια αντικαταστήστε τον στον καθορισμένο τύπο τετραγωνικής ρίζας και λάβετε έναν νέο αριθμό a1, ο οποίος θα είναι πιο κοντά στην επιθυμητή τιμή. είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε ένα1 στην έκφραση και να λάβετε ένα2 Αυτή η διαδικασία θα πρέπει να επαναληφθεί μέχρι να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.
Ένα παράδειγμα εφαρμογής του επαναληπτικού τύπου του Heron
Ο αλγόριθμος που περιγράφηκε παραπάνω για την απόκτηση της τετραγωνικής ρίζας κάποιου δεδομένου αριθμού μπορεί να ακούγεται αρκετά περίπλοκος και μπερδεμένος για πολλούς, αλλά στην πραγματικότητα όλα αποδεικνύονται πολύ πιο απλά, αφού αυτός ο τύπος συγκλίνει πολύ γρήγορα (ειδικά αν είναι ένας τυχερός αριθμός επιλέγεται ένα0).
Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα: πρέπει να υπολογίσουμε το √11. Επιλέγουμε ένα0=3, αφού 32=9, που είναι πιο κοντά στο 11 από το 42=16. Αντικαθιστώντας τον τύπο, παίρνουμε:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Δεν έχει νόημα να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς, καθώς καταλήξαμε ότι το 2 και το a3 αρχίζουν να διαφέρουν μόνο στο 5ο δεκαδικό θέση. Έτσι, ήταν αρκετό να εφαρμόσετε μόνο 2 φορές τον τύπο σευπολογίστε το √11 έως το 0,0001.
Επί του παρόντος, οι αριθμομηχανές και οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται ευρέως για τον υπολογισμό των ριζών, ωστόσο, είναι χρήσιμο να θυμάστε τον επισημασμένο τύπο για να μπορείτε να υπολογίσετε με μη αυτόματο τρόπο την ακριβή τους τιμή.
Εξισώσεις δεύτερης τάξης
Η κατανόηση του τι είναι η τετραγωνική ρίζα και η ικανότητα υπολογισμού της χρησιμοποιείται κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτές οι εξισώσεις είναι ισότητες με έναν άγνωστο, η γενική μορφή του οποίου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Εδώ c, b και a είναι ορισμένοι αριθμοί και το a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν και οι τιμές των c και b μπορεί να είναι εντελώς αυθαίρετες, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός.
Οποιεσδήποτε τιμές του x ικανοποιούν την ισότητα που υποδεικνύεται στο σχήμα ονομάζονται ρίζες του (αυτή η έννοια δεν πρέπει να συγχέεται με την τετραγωνική ρίζα √). Εφόσον η εξίσωση που εξετάζουμε έχει τη 2η τάξη (x2), τότε δεν μπορούν να υπάρχουν περισσότεροι από δύο αριθμοί για τις ρίζες της. Ας δούμε πώς μπορείτε να βρείτε αυτές τις ρίζες αργότερα στο άρθρο.
Εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης (τύπος)
Αυτή η μέθοδος επίλυσης του εξεταζόμενου τύπου ισοτήτων ονομάζεται επίσης καθολική, ή μέθοδος μέσω της διάκρισης. Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιεσδήποτε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Ο τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι ο εξής:
Δείχνει ότι οι ρίζες εξαρτώνται από την τιμή καθενός από τους τρεις συντελεστές της εξίσωσης. Επιπλέον, ο υπολογισμόςΤο x1 διαφέρει από τον υπολογισμό x2 μόνο κατά το πρόσημο πριν από την τετραγωνική ρίζα. Η ριζική έκφραση, η οποία ισούται με b2 - 4ac, δεν είναι τίποτα άλλο από τη διάκριση της θεωρούμενης ισότητας. Η διάκριση στον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης παίζει σημαντικό ρόλο επειδή καθορίζει τον αριθμό και το είδος των λύσεων. Έτσι, εάν είναι μηδέν, τότε θα υπάρχει μόνο μία λύση, εάν είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, τέλος, η αρνητική διάκριση οδηγεί σε δύο μιγαδικές ρίζες x1 και x 2.
Θεώρημα Vieta ή μερικές ιδιότητες των ριζών εξισώσεων δεύτερης τάξης
Στα τέλη του 16ου αιώνα, ένας από τους ιδρυτές της σύγχρονης άλγεβρας, ο Γάλλος Francois Viet, μελετώντας εξισώσεις δεύτερης τάξης, μπόρεσε να λάβει τις ιδιότητες των ριζών της. Μαθηματικά, μπορούν να γραφτούν ως εξής:
x1 + x2=-b / a και x1 x 2=γ / α.
Και οι δύο ισότητες μπορούν εύκολα να ληφθούν από οποιονδήποτε, γι' αυτό είναι απαραίτητο μόνο να εκτελεστούν οι κατάλληλες μαθηματικές πράξεις με τις ρίζες που λαμβάνονται μέσω του τύπου με το διαχωριστικό.
Ο συνδυασμός αυτών των δύο παραστάσεων μπορεί δικαίως να ονομαστεί ο δεύτερος τύπος των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, που καθιστά δυνατή την εικασία των λύσεών της χωρίς τη χρήση της διάκρισης. Θα πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι παρόλο που και οι δύο εκφράσεις είναι πάντα έγκυρες, είναι βολικό να τις χρησιμοποιήσετε για να λύσετε μια εξίσωση μόνο εάν μπορεί να συνυπολογιστεί.
Το έργο της εμπέδωσης της αποκτηθείσας γνώσης
Ας λύσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα στο οποίο θα δείξουμε όλες τις τεχνικές που συζητούνται στο άρθρο. Οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι εξής: πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς για τους οποίους το γινόμενο είναι -13 και το άθροισμα είναι 4.
Αυτή η συνθήκη θυμίζει αμέσως το θεώρημα του Vieta, εφαρμόζοντας τους τύπους για το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών και το γινόμενο τους, γράφουμε:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Υποθέτοντας a=1, τότε b=-4 και c=-13. Αυτοί οι συντελεστές μας επιτρέπουν να γράψουμε μια εξίσωση δεύτερης τάξης:
x2 - 4x - 13=0.
Χρησιμοποιήστε τον τύπο με το διαχωριστικό, παίρνουμε τις ακόλουθες ρίζες:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Δηλαδή, η εργασία περιορίστηκε στην εύρεση του αριθμού √68. Σημειώστε ότι 68=417, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την ιδιότητα τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε: √68=2√17.
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον θεωρούμενο τύπο τετραγωνικής ρίζας: a0=4, τότε:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε ένα3 επειδή οι τιμές που βρέθηκαν διαφέρουν μόνο κατά 0,02. Επομένως, √68=8,246. Αντικαθιστώντας το στον τύπο για x 1, 2, παίρνουμε:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 και x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Όπως μπορείτε να δείτε, το άθροισμα των αριθμών που βρέθηκαν είναι πράγματι 4, αλλά αν βρείτε το γινόμενο τους, θα είναι ίσο με -12,999, το οποίο ικανοποιεί την κατάσταση του προβλήματος με ακρίβεια 0,001.
