Η γνώση της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο ή σε μια ευθεία σάς επιτρέπει να υπολογίσετε τον όγκο και την επιφάνεια των μορφών στο διάστημα. Ο υπολογισμός αυτής της απόστασης στη γεωμετρία πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες εξισώσεις για τα καθορισμένα γεωμετρικά αντικείμενα. Στο άρθρο θα δείξουμε ποιοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό του.
Εξισώσεις ευθείας και επιπέδου
Πριν δώσουμε τύπους για τον προσδιορισμό της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο και σε μια ευθεία, ας δείξουμε ποιες εξισώσεις περιγράφουν αυτά τα αντικείμενα.
Για να ορίσετε ένα σημείο, χρησιμοποιείται ένα σύνολο συντεταγμένων στο δεδομένο σύστημα αξόνων συντεταγμένων. Εδώ θα εξετάσουμε μόνο το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα στο οποίο οι άξονες έχουν τα ίδια μοναδιαία διανύσματα και είναι αμοιβαία κάθετοι. Σε ένα επίπεδο, ένα αυθαίρετο σημείο περιγράφεται με δύο συντεταγμένες, στο διάστημα - με τρεις.
Διαφορετικοί τύποι εξισώσεων χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό μιας ευθείας γραμμής. Σύμφωνα με το θέμα του άρθρου, παρουσιάζουμεμόνο δύο από αυτά, τα οποία χρησιμοποιούνται σε δισδιάστατο χώρο για τον καθορισμό γραμμών.
Διανυσματική εξίσωση. Έχει την ακόλουθη σημείωση:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; β).
Ο πρώτος όρος εδώ αντιπροσωπεύει τις συντεταγμένες ενός γνωστού σημείου που βρίσκεται στη γραμμή. Ο δεύτερος όρος είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πολλαπλασιαζόμενες με έναν αυθαίρετο αριθμό λ.
Γενική εξίσωση. Η σημειογραφία του είναι η εξής:
Ax + By + C=0;
όπου A, B, C είναι ορισμένοι συντελεστές.
Η γενική εξίσωση χρησιμοποιείται συχνότερα για τον προσδιορισμό γραμμών σε ένα επίπεδο, ωστόσο, για να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή σε ένα επίπεδο, είναι πιο βολικό να εργαστείτε με μια διανυσματική έκφραση.
Ένα επίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο μπορεί επίσης να γραφτεί με διάφορους μαθηματικούς τρόπους. Ωστόσο, τις περισσότερες φορές στα προβλήματα υπάρχει μια γενική εξίσωση, η οποία γράφεται ως εξής:
Ax + By + Cz + D=0.
Το πλεονέκτημα αυτού του συμβολισμού σε σχέση με τους άλλους είναι ότι περιέχει ρητά τις συντεταγμένες ενός διανύσματος κάθετου στο επίπεδο. Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται οδηγός για αυτό, συμπίπτει με την κατεύθυνση του κανονικού και οι συντεταγμένες του είναι ίσες με (A; B; C).
Σημειώστε ότι η παραπάνω έκφραση συμπίπτει με τη μορφή γραφής μιας γενικής εξίσωσης για μια ευθεία γραμμή σε δισδιάστατο χώρο, επομένως όταν λύνετε προβλήματα, θα πρέπει να προσέχετε να μην συγχέετε αυτά τα γεωμετρικά αντικείμενα.
Απόσταση μεταξύ σημείου και γραμμής
Ας δείξουμε πώς να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ μιας ευθείας γραμμής καισημείο σε δισδιάστατο χώρο.
Ας υπάρχει κάποιο σημείο Q(x1; y1) και μια γραμμή που δίνεται από:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; β).
Η απόσταση μεταξύ μιας ευθείας και ενός σημείου νοείται ως το μήκος ενός τμήματος κάθετου σε αυτήν την ευθεία, χαμηλωμένο σε αυτό από το σημείο Q.
Πριν υπολογίσετε αυτήν την απόσταση, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες Q σε αυτήν την εξίσωση. Αν το ικανοποιούν, τότε το Q ανήκει στη δεδομένη ευθεία και η αντίστοιχη απόσταση είναι ίση με μηδέν. Εάν οι συντεταγμένες του σημείου δεν οδηγούν σε ισότητα, τότε η απόσταση μεταξύ των γεωμετρικών αντικειμένων είναι μη μηδενική. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Εδώ το P είναι ένα αυθαίρετο σημείο της ευθείας, που είναι η αρχή του διανύσματος PQ¯. Το διάνυσμα u¯ είναι ένα τμήμα οδήγησης για μια ευθεία γραμμή, δηλαδή οι συντεταγμένες του είναι (a; b).
Η χρήση αυτού του τύπου απαιτεί τη δυνατότητα υπολογισμού του διασταυρούμενου γινόμενου στον αριθμητή.
Πρόβλημα με σημείο και γραμμή
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ Q(-3; 1) και μιας ευθείας που ικανοποιεί την εξίσωση:
y=5x -2.
Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Q στην έκφραση, μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι το Q δεν βρίσκεται στη γραμμή. Μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για το d που δίνεται στην παραπάνω παράγραφο, εάν αντιπροσωπεύετε αυτήν την εξίσωση σε διανυσματική μορφή. Ας το κάνουμε έτσι:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Τώρα ας πάρουμε οποιοδήποτε σημείο αυτής της γραμμής, για παράδειγμα (0; -2) και να δημιουργήσουμε ένα διάνυσμα που ξεκινά από αυτό και τελειώνει στο Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Τώρα εφαρμόστε τον τύπο για να προσδιορίσετε την απόσταση, παίρνουμε:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Απόσταση από σημείο σε επίπεδο
Όπως στην περίπτωση μιας ευθείας γραμμής, η απόσταση μεταξύ ενός επιπέδου και ενός σημείου στο διάστημα νοείται ως το μήκος του τμήματος, το οποίο από ένα δεδομένο σημείο είναι κάθετα χαμηλωμένο στο επίπεδο και το τέμνει.
Στο διάστημα, ένα σημείο δίνεται από τρεις συντεταγμένες. Αν είναι ίσα με (x1; y1; z1), τότε η απόσταση μεταξύ των επίπεδο και αυτό το σημείο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ Δ|/√(A2+B2+C2).
Σημειώστε ότι η χρήση του τύπου σάς επιτρέπει να βρείτε μόνο την απόσταση από το επίπεδο μέχρι τη γραμμή. Για να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου στο οποίο ένα κάθετο τμήμα τέμνει ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να γράψετε μια εξίσωση για την ευθεία στην οποία ανήκει αυτό το τμήμα και στη συνέχεια να βρείτε ένα κοινό σημείο για αυτήν την ευθεία και ένα δεδομένο επίπεδο.
Πρόβλημα με ένα αεροπλάνο και ένα σημείο
Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο αν είναι γνωστό ότι το σημείο έχει συντεταγμένες (3; -1; 2) και το επίπεδο δίνεται από:
-y + 3z=0.
Για να χρησιμοποιήσουμε τον αντίστοιχο τύπο, γράφουμε πρώτα τους συντελεστές γιαδεδομένο αεροπλάνο. Εφόσον η μεταβλητή x και ο ελεύθερος όρος απουσιάζουν, οι συντελεστές Α και Δ είναι ίσοι με μηδέν. Έχουμε:
A=0; Β=-1; C=3; D=0.
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό το επίπεδο διέρχεται από την αρχή και ο άξονας x ανήκει σε αυτό.
Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου και τους συντελεστές του επιπέδου στον τύπο για την απόσταση d, παίρνουμε:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Σημειώστε ότι αν αλλάξετε τη συντεταγμένη x ενός σημείου, τότε η απόσταση d δεν θα αλλάξει. Αυτό το γεγονός σημαίνει ότι το σύνολο των σημείων (x; -1; 2) σχηματίζει μια ευθεία γραμμή παράλληλη στο δεδομένο επίπεδο.
