Σε αυτό το άρθρο, η μέθοδος θεωρείται ως τρόπος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (SLAE). Η μέθοδος είναι αναλυτική, δηλαδή, σας επιτρέπει να γράψετε έναν γενικό αλγόριθμο λύσης και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τιμές από συγκεκριμένα παραδείγματα εκεί. Σε αντίθεση με τη μέθοδο του πίνακα ή τους τύπους του Cramer, όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε επίσης να εργαστείτε με εκείνες που έχουν άπειρες λύσεις. Ή δεν το έχω καθόλου.
Τι σημαίνει η επίλυση με τη μέθοδο Gauss;
Πρώτον, πρέπει να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων μας ως πίνακα. Μοιάζει με αυτό. Το σύστημα έχει ληφθεί:
Οι συντελεστές γράφονται με τη μορφή πίνακα και στα δεξιά σε ξεχωριστή στήλη - ελεύθερα μέλη. Η στήλη με τα ελεύθερα μέλη χωρίζεται για ευκολία από μια κάθετη μπάρα. Ένας πίνακας που περιλαμβάνει αυτήν τη στήλη ονομάζεται εκτεταμένος.
Στη συνέχεια, ο κύριος πίνακας με τους συντελεστές πρέπει να μειωθεί στο ανώτερο τριγωνικό σχήμα. Αυτό είναι το κύριο σημείο επίλυσης του συστήματος με τη μέθοδο Gauss. Με απλά λόγια, μετά από ορισμένους χειρισμούς, η μήτρα θα πρέπει να μοιάζει με αυτό, έτσι ώστε να υπάρχουν μόνο μηδενικά στο κάτω αριστερό τμήμα της:
Στη συνέχεια, αν γράψετε ξανά τον νέο πίνακα ως σύστημα εξισώσεων, θα παρατηρήσετε ότι η τελευταία γραμμή περιέχει ήδη την τιμή μιας από τις ρίζες, η οποία στη συνέχεια αντικαθίσταται στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκεται μια άλλη ρίζα, και ούτω καθεξής.
Αυτή είναι μια περιγραφή της λύσης Gauss με τους πιο γενικούς όρους. Και τι γίνεται αν ξαφνικά το σύστημα δεν έχει λύση; Ή μήπως υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτούς; Για να απαντήσετε σε αυτές και πολλές άλλες ερωτήσεις, είναι απαραίτητο να εξετάσετε ξεχωριστά όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται στη λύση με τη μέθοδο Gauss.
Πίνακες, οι ιδιότητές τους
Δεν υπάρχει κρυφό νόημα στη μήτρα. Είναι απλώς ένας βολικός τρόπος καταγραφής δεδομένων για μεταγενέστερες λειτουργίες. Ακόμη και οι μαθητές δεν πρέπει να τους φοβούνται.
Η μήτρα είναι πάντα ορθογώνια γιατί είναι πιο βολική. Ακόμη και στη μέθοδο Gauss, όπου όλα καταλήγουν στην κατασκευή ενός τριγωνικού πίνακα, ένα ορθογώνιο εμφανίζεται στην καταχώρηση, μόνο με μηδενικά στο μέρος όπου δεν υπάρχουν αριθμοί. Τα μηδενικά μπορούν να παραληφθούν, αλλά υπονοούνται.
Η μήτρα έχει μέγεθος. Το "πλάτος" του είναι ο αριθμός των σειρών (m), το "μήκος" του είναι ο αριθμός των στηλών (n). Στη συνέχεια, το μέγεθος του πίνακα A (για τον χαρακτηρισμό τους χρησιμοποιούνται συνήθως κεφαλαία λατινικά γράμματα) θα συμβολίζεται ως Am×n. Αν m=n, τότε αυτός ο πίνακας είναι τετράγωνος καιm=n - η σειρά του. Αντίστοιχα, οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα A μπορεί να συμβολιστεί με τον αριθμό της σειράς και της στήλης του: axy; x - αριθμός σειράς, αλλαγή [1, m], y - αριθμός στήλης, αλλαγή [1, n].
Στη μέθοδο Gaussian, οι πίνακες δεν είναι το κύριο σημείο της λύσης. Κατ 'αρχήν, όλες οι πράξεις μπορούν να εκτελεστούν απευθείας με τις ίδιες τις εξισώσεις, ωστόσο, η σημείωση θα είναι πολύ πιο περίπλοκη και θα είναι πολύ πιο εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτήν.
Προκριματικό
Ο πίνακας έχει επίσης μια ορίζουσα. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό. Το να μάθετε τώρα το νόημά του δεν αξίζει τον κόπο, μπορείτε απλώς να δείξετε πώς υπολογίζεται και στη συνέχεια να πείτε ποιες ιδιότητες του πίνακα καθορίζει. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε την ορίζουσα είναι μέσω διαγωνίων. Οι φανταστικές διαγώνιοι σχεδιάζονται στον πίνακα. τα στοιχεία που βρίσκονται σε καθένα από αυτά πολλαπλασιάζονται και, στη συνέχεια, προστίθενται τα προϊόντα που προκύπτουν: διαγώνιες με κλίση προς τα δεξιά - με σύμβολο "συν", με κλίση προς τα αριστερά - με σύμβολο "μείον".
Είναι εξαιρετικά σημαντικό να σημειωθεί ότι η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί μόνο για έναν τετραγωνικό πίνακα. Για έναν ορθογώνιο πίνακα, μπορείτε να κάνετε τα εξής: επιλέξτε το μικρότερο από τον αριθμό των γραμμών και τον αριθμό των στηλών (έστω k) και, στη συνέχεια, σημειώστε τυχαία k στήλες και k σειρές στον πίνακα. Τα στοιχεία που βρίσκονται στην τομή των επιλεγμένων στηλών και γραμμών θα σχηματίσουν έναν νέο τετράγωνο πίνακα. Εάν η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα είναι ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, τότε θα ονομάζεται βασική ελάσσονα του αρχικού ορθογώνιου πίνακα.
Πρινπώς να ξεκινήσετε την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss, δεν βλάπτει να υπολογίσετε την ορίζουσα. Εάν αποδειχθεί μηδέν, τότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι ο πίνακας έχει είτε άπειρο αριθμό λύσεων, είτε δεν υπάρχουν καθόλου. Σε μια τέτοια θλιβερή περίπτωση, πρέπει να προχωρήσετε περισσότερο και να μάθετε για την κατάταξη του πίνακα.
Ταξινόμηση συστημάτων
Υπάρχει κάτι τέτοιο όπως η κατάταξη ενός πίνακα. Αυτή είναι η μέγιστη τάξη της μη μηδενικής ορίζοντάς της (αν θυμόμαστε τη βασική ελάσσονα, μπορούμε να πούμε ότι η κατάταξη ενός πίνακα είναι η τάξη της ελάσσονος βάσης).
Όπως είναι τα πράγματα με την κατάταξη, το SLOW μπορεί να χωριστεί σε:
- Άρθρωση. Για κοινά συστήματα, η κατάταξη του κύριου πίνακα (που αποτελείται μόνο από συντελεστές) συμπίπτει με την κατάταξη του εκτεταμένου (με μια στήλη ελεύθερων όρων). Τέτοια συστήματα έχουν μια λύση, αλλά όχι απαραίτητα μία, επομένως, τα κοινά συστήματα χωρίζονται επιπλέον σε:
- - σίγουρη - έχοντας μια μοναδική λύση. Σε ορισμένα συστήματα, η κατάταξη του πίνακα και ο αριθμός των αγνώστων είναι ίσοι (ή ο αριθμός των στηλών, που είναι το ίδιο πράγμα).
- - αόριστος - με άπειρο αριθμό λύσεων. Η κατάταξη των πινάκων σε τέτοια συστήματα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.
- Μη συμβατό. Για τέτοια συστήματα, οι τάξεις των κύριων και εκτεταμένων πινάκων δεν ταιριάζουν. Τα μη συμβατά συστήματα δεν έχουν λύση.
Η μέθοδος Gauss είναι καλή γιατί σας επιτρέπει να αποκτήσετε είτε μια ξεκάθαρη απόδειξη της ασυνέπειας του συστήματος (χωρίς να υπολογίζετε τις ορίζουσες των μεγάλων πινάκων) είτε μια γενική λύση για ένα σύστημα με άπειρο αριθμό λύσεων.
Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί
Πρινπώς να προχωρήσετε απευθείας στη λύση του συστήματος, μπορείτε να το κάνετε λιγότερο περίπλοκο και πιο βολικό για υπολογισμούς. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών - τέτοιοι που η εφαρμογή τους δεν αλλάζει σε καμία περίπτωση την τελική απάντηση. Πρέπει να σημειωθεί ότι ορισμένοι από τους παραπάνω στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ισχύουν μόνο για πίνακες, η πηγή των οποίων ήταν ακριβώς το SLAE. Ακολουθεί μια λίστα με αυτούς τους μετασχηματισμούς:
- Αλλαγή συμβολοσειρών. Είναι προφανές ότι αν αλλάξουμε τη σειρά των εξισώσεων στην εγγραφή του συστήματος, τότε αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τη λύση. Επομένως, είναι επίσης δυνατή η εναλλαγή σειρών στη μήτρα αυτού του συστήματος, χωρίς να ξεχνάμε, φυσικά, τη στήλη των ελεύθερων μελών.
- Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας συμβολοσειράς με κάποιο παράγοντα. Πολύ χρήσιμο! Με αυτό, μπορείτε να μειώσετε μεγάλους αριθμούς στον πίνακα ή να αφαιρέσετε μηδενικά. Το σύνολο των λύσεων, ως συνήθως, δεν θα αλλάξει και θα γίνει πιο βολικό να εκτελέσετε περαιτέρω λειτουργίες. Το κυριότερο είναι ότι ο συντελεστής δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν.
- Διαγραφή γραμμών με αναλογικούς συντελεστές. Αυτό προκύπτει εν μέρει από την προηγούμενη παράγραφο. Εάν δύο ή περισσότερες σειρές στον πίνακα έχουν αναλογικούς συντελεστές, τότε κατά τον πολλαπλασιασμό / διαίρεση μιας από τις σειρές με τον συντελεστή αναλογικότητας, λαμβάνονται δύο (ή, πάλι, περισσότερες) απολύτως ίδιες σειρές και μπορείτε να αφαιρέσετε τις επιπλέον, αφήνοντας μόνο ένα.
- Διαγράψτε τη μηδενική γραμμή. Εάν κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών λαμβάνεται μια συμβολοσειρά κάπου στην οποία όλα τα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένου του ελεύθερου μέλους, είναι μηδέν, τότε μια τέτοια συμβολοσειρά μπορεί να ονομαστεί μηδέν και να πεταχτεί έξω από τη μήτρα.
- Προσθήκη στα στοιχεία μιας σειράς στοιχείων μιας άλλης (σύμφωνα μεαντίστοιχες στήλες) πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο συντελεστή. Η πιο σκοτεινή και πιο σημαντική μεταμόρφωση όλων. Αξίζει να σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.
Προσθήκη συμβολοσειράς πολλαπλασιαζόμενη επί έναν παράγοντα
Για ευκολία κατανόησης, αξίζει να αποσυναρμολογήσετε αυτή τη διαδικασία βήμα προς βήμα. Λαμβάνονται δύο σειρές από τον πίνακα:
α11 α12 … a1η | β1
a21 α22 … a2n | β2
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσετε το πρώτο πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή "-2" στο δεύτερο.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Στη συνέχεια, η δεύτερη σειρά στον πίνακα αντικαθίσταται με μια νέα, ενώ η πρώτη παραμένει αμετάβλητη.
α11 α12 … a1η | β1
α'21 α'22 … a'2n | β2
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο συντελεστής πολλαπλασιασμού μπορεί να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο συμβολοσειρών, ένα από τα στοιχεία της νέας συμβολοσειράς να είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, είναι δυνατό να ληφθεί μια εξίσωση στο σύστημα, όπου θα υπάρχει ένα λιγότερο άγνωστο. Και αν λάβετε δύο τέτοιες εξισώσεις, τότε η πράξη μπορεί να γίνει ξανά και να λάβετε μια εξίσωση που θα περιέχει ήδη δύο λιγότερους άγνωστους. Και αν κάθε φορά γυρνάμε στο μηδέν ένα συντελεστή για όλες τις σειρές που είναι χαμηλότερες από την αρχική, τότε μπορούμε, όπως βήματα, να κατεβούμε στο κάτω μέρος του πίνακα και να πάρουμε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Αυτό ονομάζεταιλύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.
Γενικά
Ας υπάρχει ένα σύστημα. Έχει m εξισώσεις και n άγνωστες ρίζες. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:
Ο κύριος πίνακας συντάσσεται από τους συντελεστές του συστήματος. Μια στήλη ελεύθερων μελών προστίθεται στον εκτεταμένο πίνακα και χωρίζεται από μια γραμμή για ευκολία.
Επόμενο:
- η πρώτη σειρά του πίνακα πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή k=(-a21/a11);
- προστίθενται η πρώτη τροποποιημένη σειρά και η δεύτερη σειρά του πίνακα;
- αντί για τη δεύτερη σειρά, το αποτέλεσμα της προσθήκης από την προηγούμενη παράγραφο εισάγεται στον πίνακα.
- τώρα ο πρώτος συντελεστής στη νέα δεύτερη γραμμή είναι a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Τώρα εκτελείται η ίδια σειρά μετασχηματισμών, εμπλέκονται μόνο η πρώτη και η τρίτη γραμμή. Αντίστοιχα, σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, το στοιχείο a21 αντικαθίσταται από ένα31. Στη συνέχεια, όλα επαναλαμβάνονται για ένα41, … am1. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας όπου το πρώτο στοιχείο στις σειρές [2, m] είναι ίσο με μηδέν. Τώρα πρέπει να ξεχάσετε τη γραμμή νούμερο ένα και να εκτελέσετε τον ίδιο αλγόριθμο ξεκινώντας από τη δεύτερη γραμμή:
- k συντελεστής=(-a32/a22);
- η δεύτερη τροποποιημένη γραμμή προστίθεται στην "τρέχουσα" γραμμή;
- το αποτέλεσμα της προσθήκης αντικαθίσταται στην τρίτη, τέταρτη και ούτω καθεξής γραμμές, ενώ η πρώτη και η δεύτερη παραμένουν αμετάβλητες·
- στις σειρές [3, m] του πίνακα, τα δύο πρώτα στοιχεία είναι ήδη ίσα με μηδέν.
Ο αλγόριθμος πρέπει να επαναληφθεί μέχρι να εμφανιστεί ο συντελεστής k=(-am, m-1/amm). Αυτό σημαίνει ότι ο αλγόριθμος εκτελέστηκε τελευταία μόνο για την κατώτερη εξίσωση. Τώρα ο πίνακας μοιάζει με τρίγωνο ή έχει βαθμιδωτό σχήμα. Η κατώτατη γραμμή περιέχει την εξίσωση amn × x =bm. Ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι γνωστοί και η ρίζα εκφράζεται μέσω αυτών: x =bm/amn. Η ρίζα που προκύπτει αντικαθίσταται στην επάνω σειρά για να βρεθεί xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/aμν))÷aμ-1, n-1. Και ούτω καθεξής κατ' αναλογία: σε κάθε επόμενη γραμμή υπάρχει μια νέα ρίζα και, έχοντας φτάσει στην "κορυφή" του συστήματος, μπορεί κανείς να βρει ένα σύνολο λύσεων [x1, … x ]. Θα είναι το μόνο.
Όταν δεν υπάρχουν λύσεις
Αν σε μία από τις σειρές του πίνακα όλα τα στοιχεία, εκτός από τον ελεύθερο όρο, είναι ίσα με μηδέν, τότε η εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή τη σειρά μοιάζει με 0=b. Δεν έχει λύση. Και αφού μια τέτοια εξίσωση περιλαμβάνεται στο σύστημα, τότε το σύνολο των λύσεων ολόκληρου του συστήματος είναι κενό, δηλαδή είναι εκφυλισμένο.
Όταν υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων
Μπορεί να αποδειχθεί ότι στον μειωμένο τριγωνικό πίνακα δεν υπάρχουν σειρές με ένα στοιχείο - τον συντελεστή της εξίσωσης και ένα - ένα ελεύθερο μέλος. Υπάρχουν μόνο συμβολοσειρές που, όταν ξαναγραφούν, θα μοιάζουν με εξίσωση με δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση μπορεί να δοθεί με τη μορφή γενικής λύσης. Πώς να το κάνετε;
ΌλαΟι μεταβλητές στον πίνακα χωρίζονται σε βασικές και ελεύθερες. Βασικά - αυτά είναι αυτά που στέκονται "στην άκρη" των σειρών στον κλιμακωτό πίνακα. Τα υπόλοιπα είναι δωρεάν. Στη γενική λύση, οι βασικές μεταβλητές γράφονται με βάση τις ελεύθερες.
Για ευκολία, ο πίνακας επανεγγράφεται αρχικά σε ένα σύστημα εξισώσεων. Στη συνέχεια, στην τελευταία από αυτές, όπου ακριβώς έμεινε μόνο μία βασική μεταβλητή, παραμένει στη μία πλευρά και όλα τα άλλα μεταφέρονται στην άλλη. Αυτό γίνεται για κάθε εξίσωση με μία βασική μεταβλητή. Στη συνέχεια, στις υπόλοιπες εξισώσεις, όπου είναι δυνατόν, αντί για τη βασική μεταβλητή, αντικαθίσταται η έκφραση που προκύπτει γι' αυτήν. Εάν το αποτέλεσμα είναι πάλι μια παράσταση που περιέχει μόνο μία βασική μεταβλητή, εκφράζεται ξανά από εκεί και ούτω καθεξής, μέχρι να γραφεί κάθε βασική μεταβλητή ως έκφραση με ελεύθερες μεταβλητές. Αυτή είναι η γενική λύση του SLAE.
Μπορείτε επίσης να βρείτε τη βασική λύση του συστήματος - δώστε στις ελεύθερες μεταβλητές τυχόν τιμές και, στη συνέχεια, υπολογίστε τις τιμές των βασικών μεταβλητών για τη συγκεκριμένη περίπτωση. Υπάρχουν άπειρες συγκεκριμένες λύσεις.
Λύση με συγκεκριμένα παραδείγματα
Εδώ είναι ένα σύστημα εξισώσεων.
Για ευκολία, είναι καλύτερα να φτιάξετε τη μήτρα του αμέσως
Είναι γνωστό ότι κατά την επίλυση με τη μέθοδο Gauss, η εξίσωση που αντιστοιχεί στην πρώτη σειρά θα παραμείνει αμετάβλητη στο τέλος των μετασχηματισμών. Επομένως, θα είναι πιο κερδοφόρο εάν το επάνω αριστερό στοιχείο του πίνακα είναι το μικρότερο - τότε τα πρώτα στοιχείαοι υπόλοιπες σειρές μετά τις πράξεις θα μηδενιστούν. Αυτό σημαίνει ότι στον μεταγλωττισμένο πίνακα θα είναι ωφέλιμο να τοποθετήσετε τη δεύτερη σειρά στη θέση της πρώτης.
Στη συνέχεια, πρέπει να αλλάξετε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή έτσι ώστε τα πρώτα στοιχεία να μηδενιστούν. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τα στο πρώτο, πολλαπλασιασμένο με έναν συντελεστή:
δεύτερη γραμμή: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
τρίτη γραμμή: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Τώρα, για να μην μπερδευτείτε, πρέπει να γράψετε έναν πίνακα με ενδιάμεσα αποτελέσματα μετασχηματισμών.
Προφανώς, ένας τέτοιος πίνακας μπορεί να γίνει πιο ευανάγνωστος με τη βοήθεια ορισμένων πράξεων. Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε όλα τα "πλην" από τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1".
Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι στην τρίτη γραμμή όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια των τριών. Τότε μπορείςκόψτε τη συμβολοσειρά με αυτόν τον αριθμό, πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1/3" (μείον - ταυτόχρονα για να αφαιρέσετε τις αρνητικές τιμές).
Φαίνεται πολύ πιο όμορφο. Τώρα πρέπει να αφήσουμε μόνη την πρώτη γραμμή και να δουλέψουμε με τη δεύτερη και την τρίτη. Η εργασία είναι να προσθέσετε τη δεύτερη σειρά στην τρίτη σειρά, πολλαπλασιασμένη με έναν τέτοιο παράγοντα ώστε το στοιχείο a32 να γίνει μηδέν.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (αν κατά τη διάρκεια ορισμένων μετασχηματισμών στην απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν ακέραιος, συνιστάται να το αφήσετε "ως έχει", με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος και μόνο τότε, όταν ληφθούν οι απαντήσεις, αποφασίστε εάν θα στρογγυλοποιήσετε και θα μετατρέψετε σε άλλη μορφή σημειογραφία)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Ο πίνακας γράφεται ξανά με νέες τιμές.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Όπως μπορείτε να δείτε, ο πίνακας που προκύπτει έχει ήδη μια κλιμακωτή μορφή. Επομένως, δεν απαιτούνται περαιτέρω μετασχηματισμοί του συστήματος με τη μέθοδο Gauss. Αυτό που μπορεί να γίνει εδώ είναι να αφαιρέσετε τον συνολικό συντελεστή "-1/7" από την τρίτη γραμμή.
Τώρα όλοιόμορφη. Το σημείο είναι μικρό - γράψτε ξανά τον πίνακα με τη μορφή συστήματος εξισώσεων και υπολογίστε τις ρίζες
x + 2y + 4z=12 (1)
7ε + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Ο αλγόριθμος με τον οποίο θα βρεθούν τώρα οι ρίζες ονομάζεται αντίστροφη κίνηση στη μέθοδο Gauss. Η εξίσωση (3) περιέχει την τιμή z:
z=61/9
Στη συνέχεια, επιστρέψτε στη δεύτερη εξίσωση:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Και η πρώτη εξίσωση σάς επιτρέπει να βρείτε το x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Έχουμε το δικαίωμα να ονομάσουμε ένα τέτοιο σύστημα κοινό, και μάλιστα οριστικό, δηλαδή να έχει μια μοναδική λύση. Η απάντηση είναι γραμμένη με την ακόλουθη μορφή:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Παράδειγμα αόριστου συστήματος
Η παραλλαγή της επίλυσης ενός συγκεκριμένου συστήματος με τη μέθοδο Gauss έχει αναλυθεί, τώρα είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την περίπτωση εάν το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή μπορούν να βρεθούν άπειρες πολλές λύσεις για αυτό.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Η ίδια η μορφή του συστήματος είναι ήδη ανησυχητική, επειδή ο αριθμός των αγνώστων είναι n=5 και η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ήδη ακριβώς μικρότερη από αυτόν τον αριθμό, επειδή ο αριθμός των σειρών είναι m=4, δηλαδή, η μεγαλύτερη τάξη της ορίζουσας του τετραγώνου είναι 4. Άρα,Υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων και πρέπει να αναζητήσουμε τη γενική του μορφή. Η μέθοδος Gauss για γραμμικές εξισώσεις σάς επιτρέπει να το κάνετε αυτό.
Πρώτα, ως συνήθως, μεταγλωττίζεται ο επαυξημένος πίνακας.
Δεύτερη γραμμή: συντελεστής k=(-a21/a11)=-3. Στην τρίτη γραμμή, το πρώτο στοιχείο είναι πριν από τους μετασχηματισμούς, επομένως δεν χρειάζεται να αγγίξετε τίποτα, πρέπει να το αφήσετε ως έχει. Τέταρτη γραμμή: k=(-a41/a11)=-5
Πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς με κάθε έναν από τους συντελεστές τους με τη σειρά και προσθέτοντάς τα στις απαιτούμενες σειρές, παίρνουμε έναν πίνακα με την ακόλουθη μορφή:
Όπως μπορείτε να δείτε, η δεύτερη, η τρίτη και η τέταρτη σειρά αποτελούνται από στοιχεία ανάλογα μεταξύ τους. Το δεύτερο και το τέταρτο είναι γενικά το ίδιο, επομένως ένα από αυτά μπορεί να αφαιρεθεί αμέσως, και το υπόλοιπο πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή "-1" και να πάρει τη γραμμή 3. Και πάλι, αφήστε μία από τις δύο ίδιες γραμμές.
Το αποτέλεσμα είναι ένας τέτοιος πίνακας. Το σύστημα δεν έχει ακόμη καταγραφεί, είναι απαραίτητο εδώ να προσδιορίσετε τις βασικές μεταβλητές - στους συντελεστές a11=1 και a22=1 και δωρεάν - όλα τα υπόλοιπα.
Υπάρχει μόνο μία βασική μεταβλητή στη δεύτερη εξίσωση - x2. Ως εκ τούτου, μπορεί να εκφραστεί από εκεί, γράφοντας μέσω των μεταβλητών x3, x4, x5, οι οποίες είναι δωρεάν.
Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει στην πρώτη εξίσωση.
Αποδείχθηκε μια εξίσωση στην οποίαη μόνη βασική μεταβλητή είναι η x1. Ας κάνουμε το ίδιο με το x2.
Όλες οι βασικές μεταβλητές, από τις οποίες υπάρχουν δύο, εκφράζονται σε τρεις ελεύθερες, τώρα μπορείτε να γράψετε την απάντηση σε γενική μορφή.
Μπορείτε επίσης να καθορίσετε μία από τις συγκεκριμένες λύσεις του συστήματος. Για τέτοιες περιπτώσεις, κατά κανόνα, τα μηδενικά επιλέγονται ως τιμές για τις ελεύθερες μεταβλητές. Τότε η απάντηση θα είναι:
-16, 23, 0, 0, 0.
Ένα παράδειγμα ασυνεπούς συστήματος
Η λύση ασυνεπών συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι η ταχύτερη. Τελειώνει μόλις σε ένα από τα στάδια προκύψει μια εξίσωση που δεν έχει λύση. Δηλαδή, το στάδιο με τον υπολογισμό των ριζών, που είναι αρκετά μακρύ και θλιβερό, εξαφανίζεται. Εξετάζεται το ακόλουθο σύστημα:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Όπως συνήθως, ο πίνακας μεταγλωττίζεται:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Και μειώθηκε σε κλιμακωτή μορφή:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Μετά τον πρώτο μετασχηματισμό, η τρίτη γραμμή περιέχει μια εξίσωση της μορφής
0=7, καμία λύση. Επομένως, το σύστημαείναι ασυνεπής και η απάντηση είναι το κενό σύνολο.
Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου
Εάν επιλέξετε ποια μέθοδο θα επιλύσετε SLAE σε χαρτί με στυλό, τότε η μέθοδος που εξετάστηκε σε αυτό το άρθρο φαίνεται η πιο ελκυστική. Στους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, είναι πολύ πιο δύσκολο να μπερδευτείτε από ό,τι συμβαίνει εάν πρέπει να ψάξετε χειροκίνητα για την ορίζουσα ή κάποιον περίπλοκο αντίστροφο πίνακα. Ωστόσο, εάν χρησιμοποιείτε προγράμματα για εργασία με δεδομένα αυτού του τύπου, για παράδειγμα, υπολογιστικά φύλλα, τότε αποδεικνύεται ότι τέτοια προγράμματα περιέχουν ήδη αλγόριθμους για τον υπολογισμό των κύριων παραμέτρων των πινάκων - τον προσδιορισμό, τα δευτερεύοντα, τους αντίστροφους και μετατιθέμενους πίνακες κ.λπ.. Και αν είστε βέβαιοι ότι το μηχάνημα θα υπολογίσει μόνο του αυτές τις τιμές και δεν θα κάνει λάθος, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο μήτρας ή τους τύπους Cramer, επειδή η εφαρμογή τους αρχίζει και τελειώνει με τον υπολογισμό των οριζόντων και των αντίστροφων πινάκων.
Αίτηση
Δεδομένου ότι η λύση Gauss είναι ένας αλγόριθμος και ο πίνακας είναι, στην πραγματικότητα, ένας δισδιάστατος πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον προγραμματισμό. Αλλά επειδή το άρθρο τοποθετείται ως οδηγός "για ανδρείκελα", θα πρέπει να ειπωθεί ότι το πιο εύκολο μέρος για να τοποθετήσετε τη μέθοδο είναι τα υπολογιστικά φύλλα, για παράδειγμα, το Excel. Και πάλι, κάθε SLAE που εισάγεται σε έναν πίνακα με τη μορφή πίνακα θα θεωρείται από το Excel ως ένας δισδιάστατος πίνακας. Και για πράξεις με αυτά, υπάρχουν πολλές ωραίες εντολές: πρόσθεση (μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες του ίδιου μεγέθους!), Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα (επίσης μεορισμένους περιορισμούς), βρίσκοντας τους αντίστροφους και μετατιθέμενους πίνακες και, το πιο σημαντικό, τον υπολογισμό της ορίζουσας. Εάν αυτή η χρονοβόρα εργασία αντικατασταθεί από μία εντολή, είναι πολύ πιο γρήγορο να προσδιοριστεί η κατάταξη μιας μήτρας και, επομένως, να διαπιστωθεί η συμβατότητα ή η ασυνέπειά της.
