Πώς να βρείτε τα ελάχιστα και μέγιστα σημεία μιας συνάρτησης: χαρακτηριστικά, μέθοδοι και παραδείγματα

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Η συνάρτηση και η μελέτη των χαρακτηριστικών της είναι ένα από τα βασικά κεφάλαια στα σύγχρονα μαθηματικά. Το κύριο συστατικό οποιασδήποτε συνάρτησης είναι γραφήματα που απεικονίζουν όχι μόνο τις ιδιότητές της, αλλά και τις παραμέτρους της παραγώγου αυτής της συνάρτησης. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό το δύσκολο θέμα. Ποιος είναι λοιπόν ο καλύτερος τρόπος για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης;

Λειτουργία: Ορισμός

Οποιαδήποτε μεταβλητή που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις τιμές μιας άλλης τιμής μπορεί να ονομαστεί συνάρτηση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x²) είναι τετραγωνική και καθορίζει τις τιμές για ολόκληρο το σύνολο x. Ας πούμε ότι x=9, τότε η τιμή της συνάρτησής μας θα είναι ίση με 9^2=81.

Οι συναρτήσεις διατίθενται σε πολλούς διαφορετικούς τύπους: λογικές, διανυσματικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, αριθμητικές και άλλες. Τέτοια εξαιρετικά μυαλά όπως ο Lacroix, ο Lagrange, ο Leibniz και ο Bernoulli ασχολήθηκαν με τη μελέτη τους. Τα γραπτά τους χρησιμεύουν ως προπύργιο στους σύγχρονους τρόπους μελέτης των λειτουργιών. Πριν βρείτε τα ελάχιστα σημεία, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσετε την ίδια την έννοια της συνάρτησης και της παραγώγου της.

Η παράγωγος και ο ρόλος της

Όλες οι λειτουργίες είναι μέσαανάλογα με τις μεταβλητές τους τιμές, που σημαίνει ότι μπορούν να αλλάξουν την τιμή τους ανά πάσα στιγμή. Στο γράφημα, αυτό θα απεικονιστεί ως καμπύλη που είτε κατεβαίνει είτε ανεβαίνει κατά μήκος του άξονα y (αυτό είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών "y" κατά μήκος της κατακόρυφου του γραφήματος). Και έτσι ο ορισμός ενός σημείου ενός μέγιστου και ενός ελάχιστου συνάρτησης συνδέεται με αυτές τις «ταλαντώσεις». Ας εξηγήσουμε ποια είναι αυτή η σχέση.

Η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης σχεδιάζεται σε ένα γράφημα προκειμένου να μελετηθούν τα κύρια χαρακτηριστικά της και να υπολογιστεί πόσο γρήγορα αλλάζει η συνάρτηση (δηλαδή αλλάζει την τιμή της ανάλογα με τη μεταβλητή "x"). Τη στιγμή που αυξάνεται η συνάρτηση, θα αυξηθεί και η γραφική παράσταση της παραγώγου της, αλλά ανά πάσα στιγμή η συνάρτηση μπορεί να αρχίσει να μειώνεται και τότε η γραφική παράσταση της παραγώγου θα μειωθεί. Τα σημεία στα οποία η παράγωγος πηγαίνει από το μείον στο συν ονομάζονται ελάχιστα σημεία. Για να μάθετε πώς να βρείτε τους ελάχιστους πόντους, θα πρέπει να κατανοήσετε καλύτερα την έννοια της παραγώγου.

Πώς να υπολογίσετε την παράγωγο;

Ο ορισμός και ο υπολογισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης συνεπάγεται διάφορες έννοιες από τον διαφορικό λογισμό. Γενικά, ο ίδιος ο ορισμός της παραγώγου μπορεί να εκφραστεί ως εξής: αυτή είναι η τιμή που δείχνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης.

Ο μαθηματικός τρόπος προσδιορισμού του για πολλούς μαθητές φαίνεται περίπλοκος, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ πιο απλά. Απλά πρέπει να ακολουθήσετεπρότυπο σχέδιο για την εύρεση της παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης. Τα παρακάτω περιγράφουν πώς μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης χωρίς να εφαρμόζετε τους κανόνες διαφοροποίησης και χωρίς να απομνημονεύσετε τον πίνακα των παραγώγων.

1. Μπορείτε να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να απεικονίσετε την ίδια τη συνάρτηση και, στη συνέχεια, να πάρετε ένα σημείο πάνω της (σημείο A στο Σχήμα). Σχεδιάστε μια γραμμή κάθετα προς τα κάτω στον άξονα της τετμημένης (σημείο x_{0) και στο σημείο Α σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη συνάρτηση γραφικό. Ο άξονας της τετμημένης και η εφαπτομένη σχηματίζουν γωνία α. Για να υπολογίσετε την τιμή του πόσο γρήγορα αυξάνεται η συνάρτηση, πρέπει να υπολογίσετε την εφαπτομένη αυτής της γωνίας a.}
2. Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης και της διεύθυνσης του άξονα x είναι η παράγωγος της συνάρτησης σε μια μικρή περιοχή με σημείο Α. Αυτή η μέθοδος θεωρείται γεωμετρικός τρόπος προσδιορισμού της παραγώγου.

Μέθοδοι έρευνας μιας συνάρτησης

Στο σχολικό πρόγραμμα των μαθηματικών, είναι δυνατό να βρεθεί το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης με δύο τρόπους. Έχουμε ήδη αναλύσει την πρώτη μέθοδο χρησιμοποιώντας το γράφημα, αλλά πώς να προσδιορίσουμε την αριθμητική τιμή της παραγώγου; Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να μάθετε αρκετούς τύπους που περιγράφουν τις ιδιότητες της παραγώγου και βοηθούν στη μετατροπή μεταβλητών όπως το "x" σε αριθμούς. Η ακόλουθη μέθοδος είναι καθολική, επομένως μπορεί να εφαρμοστεί σε σχεδόν όλα τα είδη συναρτήσεων (τόσο γεωμετρικές όσο και λογαριθμικές).

1. Είναι απαραίτητο να εξισώσετε τη συνάρτηση με την παράγωγη συνάρτηση και στη συνέχεια να απλοποιήσετε την έκφραση χρησιμοποιώντας τους κανόνεςδιαφοροποίηση.
2. διαιρέστε με το μηδέν).
3. Μετά από αυτό, θα πρέπει να μετατρέψετε την αρχική μορφή της συνάρτησης σε μια απλή εξίσωση, εξισώνοντας ολόκληρη την παράσταση με μηδέν. Για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση έμοιαζε ως εξής: f(x)=2x³+38x, τότε σύμφωνα με τους κανόνες διαφοροποίησης, η παράγωγός της είναι ίση με f'(x)=3x ^{2 +1. Στη συνέχεια μετατρέπουμε αυτήν την παράσταση σε μια εξίσωση της ακόλουθης μορφής: 3x}2^+1=0.
4. Αφού λύσετε την εξίσωση και βρείτε τα σημεία "x", θα πρέπει να τα σχεδιάσετε στον άξονα x και να προσδιορίσετε εάν η παράγωγος σε αυτές τις περιοχές μεταξύ των σημειωμένων σημείων είναι θετική ή αρνητική. Μετά τον προσδιορισμό, θα γίνει σαφές σε ποιο σημείο η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται, δηλαδή αλλάζει πρόσημο από μείον στο αντίθετο. Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να βρείτε τόσο τους ελάχιστους όσο και τους μέγιστους πόντους.

Κανόνες διαφοροποίησης

Το πιο βασικό μέρος της εκμάθησης μιας συνάρτησης και της παραγώγου της είναι η γνώση των κανόνων διαφοροποίησης. Μόνο με τη βοήθειά τους είναι δυνατός ο μετασχηματισμός δυσκίνητων εκφράσεων και μεγάλων σύνθετων συναρτήσεων. Ας τις γνωρίσουμε, υπάρχουν πάρα πολλές, αλλά είναι όλες πολύ απλές λόγω των κανονικών ιδιοτήτων τόσο των συναρτήσεων ισχύος όσο και των λογαριθμικών συναρτήσεων.

1. Η παράγωγος οποιασδήποτε σταθεράς είναι μηδέν (f(x)=0). Δηλαδή, η παράγωγος f(x)=x⁵+ x - 160 θα έχει την ακόλουθη μορφή: f' (x)=5x^4+1.
2. Η παράγωγος του αθροίσματος δύο όρων: (f+w)'=f'w + fw'.
3. Παράγωγο λογαριθμικής συνάρτησης: (log_{ad)'=d/ln ad. Αυτός ο τύπος ισχύει για όλα τα είδη λογαρίθμων.}
4. Παράγωγο βαθμού: (x)'=nx^n-1. Για παράδειγμα, (9x^2)'=92x=18x.
5. Παράγωγο ημιτονοειδούς συνάρτησης: (sin a)'=cos a. Αν η αμαρτία της γωνίας a είναι 0,5, τότε η παράγωγός της είναι √3/2.

Ακραία σημεία

Έχουμε ήδη καταλάβει πώς να βρίσκουμε τα ελάχιστα σημεία, ωστόσο, υπάρχει η έννοια των μέγιστων πόντων μιας συνάρτησης. Εάν το ελάχιστο δηλώνει εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση πηγαίνει από το μείον στο συν, τότε τα μέγιστα σημεία είναι εκείνα τα σημεία στον άξονα x στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει από συν στο αντίθετο - μείον.

Μπορείτε να βρείτε τα μέγιστα σημεία χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, μόνο που θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι δηλώνουν εκείνες τις περιοχές όπου η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται, δηλαδή, η παράγωγος θα είναι μικρότερη από το μηδέν.

Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να γενικεύουμε και τις δύο έννοιες, αντικαθιστώντας τις με τη φράση "ακραία σημεία". Όταν η εργασία ζητά να προσδιοριστούν αυτά τα σημεία, αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης και να βρείτε τους ελάχιστους και μέγιστους πόντους.