Το πρόβλημα του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλαιότερα και πιο διασκεδαστικά προβλήματα στην ιστορία όλων των μαθηματικών.
Αυτή η εικασία έχει αποδειχθεί αληθινή για όλους τους ακέραιους αριθμούς μικρότερους από 4 × 1018, αλλά παραμένει αναπόδεικτη παρά τις σημαντικές προσπάθειες των μαθηματικών.
Αριθμός
Ο αριθμός Goldbach είναι ένας θετικός άρτιος ακέραιος που είναι το άθροισμα ενός ζεύγους περιττών πρώτων. Μια άλλη μορφή της εικασίας Goldbach είναι ότι όλοι οι ζυγοί ακέραιοι μεγαλύτεροι από τέσσερις είναι αριθμοί Goldbach.
Ο διαχωρισμός τέτοιων αριθμών ονομάζεται κατάτμηση (ή κατάτμηση του Goldbach). Ακολουθούν παραδείγματα παρόμοιων ενοτήτων για ορισμένους ζυγούς αριθμούς:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Ανακάλυψη της υπόθεσης
Ο Γκόλντμπαχ είχε έναν συνάδελφο που ονομαζόταν Euler, που του άρεσε να μετράει, να γράφει περίπλοκους τύπους και να προβάλλει άλυτες θεωρίες. Σε αυτό έμοιαζαν με τον Γκόλντμπαχ. Ο Όιλερ έκανε έναν παρόμοιο μαθηματικό γρίφο και πριν από τον Γκόλντμπαχ, με τον οποίο ήτανσυνεχής αλληλογραφία. Στη συνέχεια πρότεινε μια δεύτερη πρόταση στο περιθώριο του χειρογράφου του, σύμφωνα με την οποία ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 θα μπορούσε να γραφτεί ως το άθροισμα τριών πρώτων. Θεώρησε ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός.
Οι δύο υποθέσεις είναι πλέον γνωστό ότι είναι παρόμοιες, αλλά αυτό δεν φαινόταν να είναι πρόβλημα εκείνη τη στιγμή. Η σύγχρονη εκδοχή του προβλήματος του Goldbach δηλώνει ότι κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 5 μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα τριών πρώτων. Ο Όιλερ απάντησε σε μια επιστολή της 30ης Ιουνίου 1742 και υπενθύμισε στον Γκόλντμπαχ μια προηγούμενη συνομιλία που είχαν ("… άρα μιλάμε για την αρχική (και όχι οριακή) υπόθεση που προκύπτει από την ακόλουθη δήλωση").
πρόβλημα Euler-Goldbach
Το 2 και οι ζυγοί του αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως το άθροισμα δύο πρώτων, που είναι επίσης εικασία του Goldbach. Σε μια επιστολή της 30ης Ιουνίου 1742, ο Euler δήλωσε ότι κάθε άρτιος ακέραιος είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο πρώτων, τους οποίους θεωρεί ότι είναι ένα καλά καθορισμένο θεώρημα, αν και δεν μπορεί να το αποδείξει.
Τρίτη έκδοση
Η τρίτη εκδοχή του προβλήματος του Γκόλντμπαχ (ισοδύναμη με τις άλλες δύο εκδοχές) είναι η μορφή με την οποία δίνεται συνήθως η εικασία σήμερα. Είναι επίσης γνωστή ως η «ισχυρή», «ζυγή» ή «δυαδική» εικασία Goldbach για να τη διακρίνει από την ασθενέστερη υπόθεση που είναι γνωστή σήμερα ως η «αδύναμη», «περίεργη» ή «τριμερής» εικασία Goldbach. Η ασθενής εικασία δηλώνει ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι από το 7 είναι το άθροισμα τριών περιττών πρώτων. Η αδύναμη εικασία αποδείχθηκε το 2013. Η αδύναμη υπόθεση είναισυνέπεια μιας ισχυρής υπόθεσης. Το αντίστροφο συμπέρασμα και η ισχυρή εικασία Goldbach παραμένουν αναπόδεικτες μέχρι σήμερα.
Έλεγχος
Για μικρές τιμές του n, το πρόβλημα Goldbach (και επομένως η εικασία Goldbach) μπορεί να επαληθευτεί. Για παράδειγμα, ο Nils Pipping το 1938 εξέτασε προσεκτικά την υπόθεση μέχρι n ≦ 105. Με την εμφάνιση των πρώτων υπολογιστών, υπολογίστηκαν πολλές περισσότερες τιμές του n.
Η Oliveira Silva πραγματοποίησε μια κατανεμημένη αναζήτηση στον υπολογιστή που επιβεβαίωσε την υπόθεση για n ≦ 4 × 1018 (και ελέγχθηκε διπλά έως και 4 × 1017) από το 2013. Μια καταχώριση από αυτήν την αναζήτηση είναι ότι το 3.325.581.707.333.960.528 είναι ο μικρότερος αριθμός που δεν έχει διάσπαση Goldbach με πρώτο αριθμό κάτω από 9781.
Heuristics
Η εκδοχή για την ισχυρή μορφή της εικασίας του Goldbach είναι η εξής: δεδομένου ότι η ποσότητα τείνει στο άπειρο καθώς το n αυξάνεται, αναμένουμε ότι κάθε μεγάλος ζυγός ακέραιος έχει περισσότερες από μία αναπαραστάσεις ως άθροισμα δύο πρώτων. Αλλά στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλές τέτοιες αναπαραστάσεις. Ποιος έλυσε το πρόβλημα του Γκόλντμπαχ; Αλίμονο, ακόμα κανείς.
Αυτό το ευρετικό επιχείρημα είναι στην πραγματικότητα κάπως ανακριβές, καθώς υποθέτει ότι το m είναι στατιστικά ανεξάρτητο από το n. Για παράδειγμα, αν το m είναι περιττό, τότε το n - m είναι επίσης περιττό, και αν το m είναι άρτιο, τότε το n - m είναι άρτιο, και αυτή είναι μια μη τετριμμένη (σύνθετη) σχέση, γιατί εκτός από τον αριθμό 2, μόνο περιττός οι αριθμοί μπορεί να είναι πρώτοι. Ομοίως, αν το n διαιρείται με το 3 και το m ήταν ήδη πρώτος άλλος από το 3, τότε το n - m είναι επίσης αμοιβαίαπρώτος με 3, επομένως είναι πιο πιθανό να είναι πρώτος αριθμός σε αντίθεση με έναν συνολικό αριθμό. Πραγματοποιώντας αυτό το είδος ανάλυσης πιο προσεκτικά, οι Hardy και Littlewood το 1923, ως μέρος της περίφημης απλής πλειάδας εικασίας Hardy-Littlewood, έκαναν την παραπάνω τελειοποίηση ολόκληρης της θεωρίας. Αλλά δεν έχει βοηθήσει στην επίλυση του προβλήματος μέχρι στιγμής.
Ισχυρή υπόθεση
Η ισχυρή εικασία Goldbach είναι πολύ πιο περίπλοκη από την αδύναμη εικασία Goldbach. Ο Shnirelman απέδειξε αργότερα ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1 μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα το πολύ C πρώτων, όπου το C είναι μια αποτελεσματικά υπολογίσιμη σταθερά. Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να το λύσουν, μετρώντας και πολλαπλασιάζοντας αριθμούς, προσφέροντας σύνθετους τύπους κ.λπ. Αλλά ποτέ δεν τα κατάφεραν, γιατί η υπόθεση είναι πολύ περίπλοκη. Κανένας τύπος δεν βοήθησε.
Αξίζει όμως να απομακρυνθούμε λίγο από το ζήτημα της απόδειξης του προβλήματος του Γκόλντμπαχ. Η σταθερά Shnirelman είναι ο μικρότερος αριθμός C με αυτήν την ιδιότητα. Ο ίδιος ο Shnirelman πήρε C <800 000. Αυτό το αποτέλεσμα συμπληρώθηκε στη συνέχεια από πολλούς συγγραφείς, όπως ο Olivier Ramaret, ο οποίος έδειξε το 1995 ότι κάθε ζυγός αριθμός n ≧ 4 είναι στην πραγματικότητα το άθροισμα έξι το πολύ πρώτων. Το πιο διάσημο αποτέλεσμα που σχετίζεται με τη θεωρία Goldbach από τον Harald Helfgott.
Περαιτέρω ανάπτυξη
Το 1924, οι Hardy και Littlewood ανέλαβαν το G. R. H. έδειξε ότι ο αριθμός των ζυγών αριθμών μέχρι το X, που παραβιάζει το δυαδικό πρόβλημα Goldbach, είναι πολύ μικρότερος από ό,τι για μικρό c.
Το 1973 Chen JingyunΠροσπάθησα να λύσω αυτό το πρόβλημα, αλλά δεν πέτυχε. Ήταν επίσης μαθηματικός, επομένως του άρεσε πολύ να λύνει αινίγματα και να αποδεικνύει θεωρήματα.
Το 1975, δύο Αμερικανοί μαθηματικοί έδειξαν ότι υπάρχουν θετικές σταθερές c και C - εκείνες για τις οποίες το N είναι αρκετά μεγάλο. Ειδικότερα, το σύνολο των ζυγών ακεραίων έχει μηδενική πυκνότητα. Όλα αυτά ήταν χρήσιμα για την εργασία για τη λύση του τριμερούς προβλήματος Goldbach, που θα λάβει χώρα στο μέλλον.
Το 1951, ο Linnik απέδειξε την ύπαρξη μιας σταθεράς K έτσι ώστε κάθε αρκετά μεγάλος ζυγός αριθμός είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης ενός πρώτου αριθμού και ενός άλλου πρώτου αριθμού μεταξύ τους. Ο Roger Heath-Brown και ο Jan-Christoph Schlage-Puchta βρήκαν το 2002 ότι το K=13 λειτουργεί. Αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον για όλους τους ανθρώπους που τους αρέσει να προσθέτουν ο ένας στον άλλον, να προσθέτουν διαφορετικούς αριθμούς και να βλέπουν τι συμβαίνει.
Λύση του προβλήματος Goldbach
Όπως συμβαίνει με πολλές γνωστές εικασίες στα μαθηματικά, υπάρχει μια σειρά από υποτιθέμενες αποδείξεις της εικασίας Goldbach, καμία από τις οποίες δεν είναι αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα.
Αν και η εικασία του Goldbach υπονοεί ότι κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος από ένα μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα το πολύ τριών πρώτων αριθμών, δεν είναι πάντα δυνατό να βρεθεί ένα τέτοιο άθροισμα χρησιμοποιώντας έναν άπληστο αλγόριθμο που χρησιμοποιεί τον μεγαλύτερο δυνατό πρώτο αριθμό σε κάθε βήμα. Η ακολουθία Pillai παρακολουθεί τους αριθμούς που απαιτούν τους περισσότερους πρώτους αριθμούς στις άπληστες αναπαραστάσεις τους. Επομένως, η λύση στο πρόβλημα Goldbachακόμα υπό αμφισβήτηση. Ωστόσο, αργά ή γρήγορα, πιθανότατα θα λυθεί.
Υπάρχουν θεωρίες παρόμοιες με το πρόβλημα του Goldbach στο οποίο οι πρώτοι αριθμοί αντικαθίστανται από άλλα συγκεκριμένα σύνολα αριθμών, όπως τετράγωνα.
Κρίστιαν Γκόλντμπαχ
Ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ ήταν Γερμανός μαθηματικός που σπούδασε επίσης νομικά. Τον θυμούνται σήμερα για την εικασία Γκόλντμπαχ.
Εργάστηκε ως μαθηματικός όλη του τη ζωή - του άρεσε πολύ να προσθέτει αριθμούς, να εφευρίσκει νέους τύπους. Γνώριζε επίσης πολλές γλώσσες, σε καθεμία από τις οποίες κρατούσε το προσωπικό του ημερολόγιο. Αυτές οι γλώσσες ήταν τα γερμανικά, τα γαλλικά, τα ιταλικά και τα ρωσικά. Επίσης, σύμφωνα με ορισμένες πηγές, μιλούσε αγγλικά και λατινικά. Ήταν γνωστός ως αρκετά γνωστός μαθηματικός κατά τη διάρκεια της ζωής του. Ο Γκόλντμπαχ ήταν επίσης πολύ στενά συνδεδεμένος με τη Ρωσία, επειδή είχε πολλούς Ρώσους συναδέλφους και την προσωπική εύνοια της βασιλικής οικογένειας.
Συνέχισε να εργάζεται στην Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης που μόλις άνοιξε το 1725 ως καθηγητής μαθηματικών και ιστορικός της ακαδημίας. Το 1728, όταν ο Πέτρος Β' έγινε Τσάρος της Ρωσίας, ο Γκόλντμπαχ έγινε ο μέντοράς του. Το 1742 μπήκε στο ρωσικό υπουργείο Εξωτερικών. Δηλαδή όντως δούλευε στη χώρα μας. Εκείνη την εποχή, πολλοί επιστήμονες, συγγραφείς, φιλόσοφοι και στρατιωτικοί ήρθαν στη Ρωσία, επειδή η Ρωσία εκείνη την εποχή ήταν μια χώρα ευκαιριών όπως η Αμερική. Πολλοί έκαναν καριέρα εδώ. Και ο ήρωάς μας δεν αποτελεί εξαίρεση.
Ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ ήταν πολύγλωσσος - έγραψε ένα ημερολόγιο στα γερμανικά και λατινικά, τα γράμματά τουγράφτηκαν στα γερμανικά, λατινικά, γαλλικά και ιταλικά και για επίσημα έγγραφα χρησιμοποιούσε ρωσικά, γερμανικά και λατινικά.
Πέθανε στις 20 Νοεμβρίου 1764 σε ηλικία 74 ετών στη Μόσχα. Η μέρα που θα λυθεί το πρόβλημα του Γκόλντμπαχ θα είναι ένας ταιριαστός φόρος τιμής στη μνήμη του.
Συμπέρασμα
Ο Γκόλντμπαχ ήταν ένας σπουδαίος μαθηματικός που μας χάρισε ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια αυτής της επιστήμης. Δεν είναι γνωστό αν θα λυθεί ποτέ ή όχι. Γνωρίζουμε μόνο ότι η υποτιθέμενη επίλυσή του, όπως στην περίπτωση του θεωρήματος του Φερμά, θα ανοίξει νέες προοπτικές για τα μαθηματικά. Οι μαθηματικοί λατρεύουν πολύ να το λύνουν και να το αναλύουν. Είναι πολύ ενδιαφέρον και περίεργο από ευρετική άποψη. Ακόμη και στους μαθητές των μαθηματικών αρέσει να λύνουν το πρόβλημα Goldbach. Πως αλλιώς? Άλλωστε, οι νέοι έλκονται συνεχώς από κάθε τι φωτεινό, φιλόδοξο και άλυτο, γιατί ξεπερνώντας τις δυσκολίες μπορεί κανείς να διεκδικήσει τον εαυτό του. Ας ελπίσουμε ότι σύντομα αυτό το πρόβλημα θα λυθεί από νέα, φιλόδοξα, διερευνητικά μυαλά.
