Η Στερεομετρία είναι ένα τμήμα της γεωμετρίας που μελετά σχήματα που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ένα από τα αντικείμενα μελέτης της στερεομετρίας είναι τα πρίσματα. Στο άρθρο θα δώσουμε έναν ορισμό του πρίσματος από γεωμετρική άποψη, και επίσης θα αναφέρουμε εν συντομία τις ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές του.
Γεωμετρικό σχήμα
Ο ορισμός του πρίσματος στη γεωμετρία έχει ως εξής: είναι ένα χωρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ίδια n-γόνια που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, συνδεδεμένα μεταξύ τους με τις κορυφές τους.
Η απόκτηση πρίσματος είναι εύκολη. Φανταστείτε ότι υπάρχουν δύο πανομοιότυπα n-γόνια, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών ή των κορυφών. Ας τα τοποθετήσουμε έτσι ώστε να είναι παράλληλα μεταξύ τους. Μετά από αυτό, οι κορυφές ενός πολυγώνου θα πρέπει να συνδεθούν με τις αντίστοιχες κορυφές ενός άλλου. Το σχήμα που σχηματίζεται θα αποτελείται από δύο n-γωνικές πλευρές, που ονομάζονται βάσεις, και n τετράγωνες πλευρές, που στη γενική περίπτωση είναι παραλληλόγραμμα. Το σύνολο των παραλληλογραμμών σχηματίζει την πλευρική επιφάνεια του σχήματος.
Υπάρχει ένας ακόμη τρόπος για να αποκτήσετε γεωμετρικά το εν λόγω σχήμα. Έτσι, αν πάρουμε ένα n-γώνο και το μεταφέρουμε σε άλλο επίπεδο χρησιμοποιώντας παράλληλα τμήματα ίσου μήκους, τότε στο νέο επίπεδο παίρνουμε το αρχικό πολύγωνο. Και τα δύο πολύγωνα και όλα τα παράλληλα τμήματα που προέρχονται από τις κορυφές τους σχηματίζουν ένα πρίσμα.
Η παραπάνω εικόνα δείχνει ένα τριγωνικό πρίσμα. Λέγεται έτσι επειδή οι βάσεις του είναι τρίγωνα.
Στοιχεία που συνθέτουν το σχήμα
Ο ορισμός του πρίσματος δόθηκε παραπάνω, από τον οποίο είναι σαφές ότι τα κύρια στοιχεία μιας φιγούρας είναι οι όψεις ή οι πλευρές της, περιορίζοντας όλα τα εσωτερικά σημεία του πρίσματος από τον εξωτερικό χώρο. Οποιαδήποτε όψη του σχήματος που εξετάζουμε ανήκει σε έναν από τους δύο τύπους:
- πλευρά;
- γήπεδα.
Υπάρχουν n πλευρικά κομμάτια και είναι παραλληλόγραμμα ή οι συγκεκριμένοι τύποι τους (ορθογώνια, τετράγωνα). Γενικά, οι πλευρικές όψεις διαφέρουν μεταξύ τους. Υπάρχουν μόνο δύο όψεις της βάσης, είναι n-gon και είναι ίσα μεταξύ τους. Έτσι, κάθε πρίσμα έχει n+2 πλευρές.
Εκτός από τις πλευρές, το σχήμα χαρακτηρίζεται από τις κορυφές του. Είναι σημεία όπου αγγίζουν τρία πρόσωπα ταυτόχρονα. Επιπλέον, δύο από τα τρία πρόσωπα ανήκουν πάντα στην πλευρική επιφάνεια και ένα - στη βάση. Έτσι, σε ένα πρίσμα δεν υπάρχει μια ειδικά επιλεγμένη κορυφή, όπως, για παράδειγμα, σε μια πυραμίδα, όλες είναι ίσες. Ο αριθμός των κορυφών του σχήματος είναι 2n (n κομμάτια για καθεμίαλόγος).
Τέλος, το τρίτο σημαντικό στοιχείο ενός πρίσματος είναι οι άκρες του. Πρόκειται για τμήματα συγκεκριμένου μήκους, τα οποία σχηματίζονται ως αποτέλεσμα της τομής των πλευρών του σχήματος. Όπως τα πρόσωπα, οι άκρες έχουν επίσης δύο διαφορετικούς τύπους:
- ή σχηματίζεται μόνο από τα πλάγια;
- ή εμφανίζονται στη συμβολή του παραλληλογράμμου και της πλευράς της n-γωνικής βάσης.
Ο αριθμός των άκρων είναι επομένως 3n και 2n από αυτές είναι του δεύτερου τύπου.
Τύποι πρίσματος
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι ταξινόμησης πρισμάτων. Ωστόσο, όλα βασίζονται σε δύο χαρακτηριστικά του σχήματος:
- στον τύπο βάσης n-άνθρακα;
- πλαϊνός τύπος.
Πρώτα, ας στραφούμε στο δεύτερο χαρακτηριστικό και ας ορίσουμε ένα ίσιο και λοξό πρίσμα. Εάν τουλάχιστον η μία πλευρά είναι παραλληλόγραμμο γενικού τύπου, τότε το σχήμα ονομάζεται πλάγιο ή λοξό. Αν όλα τα παραλληλόγραμμα είναι ορθογώνια ή τετράγωνα, τότε το πρίσμα θα είναι ευθύ.
Ο ορισμός του ευθύγραμμου πρίσματος μπορεί επίσης να δοθεί με έναν ελαφρώς διαφορετικό τρόπο: ένα ευθύ σχήμα είναι ένα πρίσμα του οποίου οι πλευρικές ακμές και οι όψεις είναι κάθετες στις βάσεις του. Το σχήμα δείχνει δύο τετράπλευρες φιγούρες. Το αριστερό είναι ίσιο, το δεξί είναι λοξό.
Τώρα ας περάσουμε στην ταξινόμηση σύμφωνα με τον τύπο του n-gon που βρίσκεται στις βάσεις. Μπορεί να έχει τις ίδιες πλευρές και γωνίες ή διαφορετικές. Στην πρώτη περίπτωση, το πολύγωνο ονομάζεται κανονικό. Αν το υπό εξέταση σχήμα περιέχει πολύγωνο με ίσοπλευρές και γωνίες και είναι ευθεία, τότε λέγεται σωστή. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ένα κανονικό πρίσμα στη βάση του μπορεί να έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο, ένα κανονικό πεντάγωνο ή ένα εξάγωνο κ.ο.κ. Τα σωστά στοιχεία που αναφέρονται φαίνονται στο σχήμα.
Γραμμικές παράμετροι πρισμάτων
Οι ακόλουθες παράμετροι χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τα μεγέθη των υπό εξέταση ψηφίων:
- ύψος;
- πλευρές βάσης;
- μήκη πλευρών;
- 3D διαγώνιοι;
- διαγώνιες πλευρές και βάσεις.
Για κανονικά πρίσματα, όλες οι ονομαζόμενες ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα, τα μήκη των πλευρικών νευρώσεων είναι ίδια και ίσα με το ύψος. Για ένα συγκεκριμένο ν-γωνικό κανονικό σχήμα, υπάρχουν τύποι που σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε όλα τα υπόλοιπα με οποιεσδήποτε δύο γραμμικές παραμέτρους.
Σχήμα επιφάνειας
Αν αναφερθούμε στον παραπάνω ορισμό του πρίσματος, τότε δεν θα είναι δύσκολο να καταλάβουμε τι αντιπροσωπεύει η επιφάνεια ενός σχήματος. Η επιφάνεια είναι η περιοχή όλων των προσώπων. Για ένα ευθύ πρίσμα, υπολογίζεται με τον τύπο:
S=2So + Poh
όπου So είναι το εμβαδόν της βάσης, Po είναι η περίμετρος του n-gon στη βάση, h είναι το ύψος (απόσταση μεταξύ των βάσεων).
Ο όγκος του σχήματος
Μαζί με την επιφάνεια για εξάσκηση, είναι σημαντικό να γνωρίζετε τον όγκο του πρίσματος. Μπορεί να προσδιοριστεί από τον ακόλουθο τύπο:
V=Soh
Αυτόη έκφραση ισχύει για απολύτως οποιοδήποτε είδος πρίσματος, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που είναι λοξά και σχηματίζονται από ακανόνιστα πολύγωνα.
Για κανονικά πρίσματα, ο όγκος είναι συνάρτηση του μήκους της πλευράς της βάσης και του ύψους του σχήματος. Για το αντίστοιχο n-γωνικό πρίσμα, ο τύπος για το V έχει συγκεκριμένη μορφή.
