Κάθε μαθητής γυμνασίου γνωρίζει για χωρικές φιγούρες όπως μια σφαίρα, ο κύλινδρος, ο κώνος, η πυραμίδα και το πρίσμα. Από αυτό το άρθρο θα μάθετε τι είναι ένα τριγωνικό πρίσμα και από ποιες ιδιότητες χαρακτηρίζεται.
Ποιο σχήμα θα εξετάσουμε στο άρθρο;
Το τριγωνικό πρίσμα είναι ο απλούστερος εκπρόσωπος της κατηγορίας των πρισμάτων, που έχει λιγότερες πλευρές, κορυφές και ακμές από οποιοδήποτε άλλο παρόμοιο χωρικό σχήμα. Αυτό το πρίσμα σχηματίζεται από δύο τρίγωνα, τα οποία μπορεί να έχουν αυθαίρετο σχήμα, αλλά πρέπει απαραίτητα να είναι ίσα μεταξύ τους και να βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα στο χώρο, και τρία παραλληλόγραμμα, τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους στη γενική περίπτωση. Για λόγους σαφήνειας, το περιγραφόμενο σχήμα φαίνεται παρακάτω.
Πώς μπορώ να αποκτήσω ένα τριγωνικό πρίσμα; Είναι πολύ απλό: πρέπει να πάρετε ένα τρίγωνο και να το μεταφέρετε σε κάποιο διάνυσμα στο διάστημα. Στη συνέχεια συνδέστε τις ίδιες κορυφές των δύο τριγώνων με τμήματα. Έτσι παίρνουμε το πλαίσιο του σχήματος. Αν τώρα φανταστούμε ότι αυτό το πλαίσιο περιορίζει τις συμπαγείς πλευρές, τότε παίρνουμεαπεικονίζεται τρισδιάστατη φιγούρα.
Από ποια στοιχεία αποτελείται το υπό μελέτη πρίσμα;
Ένα τριγωνικό πρίσμα είναι ένα πολύεδρο, δηλαδή σχηματίζεται από πολλές τεμνόμενες όψεις ή πλευρές. Αναφέρθηκε παραπάνω ότι έχει πέντε τέτοιες πλευρές (δύο τριγωνικές και τρεις τετράγωνες). Οι τριγωνικές πλευρές ονομάζονται βάσεις, ενώ τα παραλληλόγραμμα είναι πλευρικές όψεις.
Όπως κάθε πολύεδρο, το πρίσμα που μελετήθηκε έχει κορυφές. Σε αντίθεση με μια πυραμίδα, οι κορυφές οποιουδήποτε πρίσματος είναι ίσες. Το τριγωνικό σχήμα έχει έξι από αυτά. Όλοι ανήκουν και στις δύο βάσεις. Δύο ακμές βάσης και μία πλευρική ακμή τέμνονται σε κάθε κορυφή.
Αν προσθέσουμε τον αριθμό των κορυφών στον αριθμό των πλευρών του σχήματος και στη συνέχεια αφαιρέσουμε τον αριθμό 2 από την τιμή που προκύπτει, τότε θα λάβουμε την απάντηση στο ερώτημα πόσες άκρες έχει το υπό εξέταση πρίσμα. Υπάρχουν εννέα από αυτά: έξι περιορίζουν τις βάσεις και τα υπόλοιπα τρία χωρίζουν τα παραλληλόγραμμα το ένα από το άλλο.
Τύποι σχήματος
Η αρκετά λεπτομερής περιγραφή ενός τριγωνικού πρίσματος που δίνεται στις προηγούμενες παραγράφους αντιστοιχεί σε διάφορους τύπους σχημάτων. Εξετάστε την ταξινόμησή τους.
Το μελετημένο πρίσμα μπορεί να είναι κεκλιμένο και ευθύ. Η διαφορά μεταξύ τους έγκειται στον τύπο των πλευρικών όψεων. Σε ευθύ πρίσμα είναι ορθογώνια, και σε κεκλιμένο είναι γενικά παραλληλόγραμμα. Παρακάτω φαίνονται δύο πρίσματα με τριγωνικές βάσεις, ένα ίσιο και ένα λοξό.
Σε αντίθεση με ένα κεκλιμένο πρίσμα, ένα ευθύ πρίσμα έχει όλες τις δίεδρες γωνίες μεταξύ των βάσεων καιοι πλευρές είναι 90°. Τι σημαίνει το τελευταίο γεγονός; Ότι το ύψος ενός τριγωνικού πρίσματος, δηλαδή η απόσταση μεταξύ των βάσεων του, σε ένα ευθύ σχήμα είναι ίσο με το μήκος οποιασδήποτε πλευρικής ακμής. Για ένα λοξό σχήμα, το ύψος είναι πάντα μικρότερο από το μήκος οποιασδήποτε από τις πλευρικές άκρες του.
Το πρίσμα με τριγωνική βάση μπορεί να είναι ακανόνιστο και σωστό. Αν οι βάσεις του είναι τρίγωνα με ίσες πλευρές και το ίδιο το σχήμα είναι ευθύ, τότε ονομάζεται κανονικό. Ένα κανονικό πρίσμα έχει αρκετά υψηλή συμμετρία, συμπεριλαμβανομένων των επιπέδων ανάκλασης και των αξόνων περιστροφής. Για ένα κανονικό πρίσμα, οι τύποι για τον υπολογισμό του όγκου και της επιφάνειας των όψεων θα δοθούν παρακάτω. Λοιπόν, με τη σειρά.
Εμβαδόν τριγωνικού πρίσματος
Πριν προχωρήσουμε στην απόκτηση του αντίστοιχου τύπου, ας ξεδιπλώσουμε το σωστό πρίσμα.
Είναι σαφές ότι το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τρεις περιοχές όμοιων ορθογωνίων και δύο εμβαδών ίσων τριγώνων με τις ίδιες πλευρές. Ας υποδηλώσουμε το ύψος του πρίσματος με το γράμμα h και την πλευρά της τριγωνικής βάσης του - με το γράμμα α. Τότε για το εμβαδόν του τριγώνου S3 έχουμε:
S3=√3/4a2
Αυτή η έκφραση προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το ύψος ενός τριγώνου με τη βάση του και στη συνέχεια διαιρώντας το αποτέλεσμα με 2.
Για το εμβαδόν του ορθογωνίου S4λαμβάνουμε:
S4=ah
Προσθέτοντας τις περιοχές όλων των πλευρών, παίρνουμε τη συνολική επιφάνεια του σχήματος:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3ah
Εδώ ο πρώτος όρος αντικατοπτρίζει το εμβαδόν των βάσεων και ο δεύτερος είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του τριγωνικού πρίσματος.
Θυμηθείτε ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για κανονικό αριθμό. Σε περίπτωση λανθασμένου κεκλιμένου πρίσματος, ο υπολογισμός του εμβαδού θα πρέπει να γίνει σταδιακά: πρώτα προσδιορίστε το εμβαδόν των βάσεων και μετά - την πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο θα είναι ίσο με το γινόμενο της πλευρικής ακμής και της περιμέτρου της τομής κάθετα στις πλευρικές όψεις.
Ο όγκος του σχήματος
Ο όγκος ενός τριγωνικού πρίσματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι κοινός σε όλα τα σχήματα αυτής της κατηγορίας. Μοιάζει με:
V=So h
Στην περίπτωση ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος, αυτός ο τύπος θα λάβει την ακόλουθη συγκεκριμένη μορφή:
V=√3/4a2 h
Αν το πρίσμα είναι ακανόνιστο, αλλά ευθύ, τότε αντί για την περιοχή της βάσης, θα πρέπει να αντικαταστήσετε την αντίστοιχη περιοχή για το τρίγωνο. Εάν το πρίσμα είναι κεκλιμένο, τότε, εκτός από τον προσδιορισμό της περιοχής της βάσης, θα πρέπει επίσης να υπολογιστεί το ύψος του. Κατά κανόνα, χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικοί τύποι για αυτό, εάν είναι γνωστές οι δίεδρες γωνίες μεταξύ των πλευρών και των βάσεων.
