Η Γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις δομές στο χώρο και τη μεταξύ τους σχέση. Με τη σειρά του, αποτελείται επίσης από τμήματα, και ένα από αυτά είναι η στερεομετρία. Προβλέπει τη μελέτη των ιδιοτήτων των ογκομετρικών μορφών που βρίσκονται στο χώρο: ένας κύβος, μια πυραμίδα, μια μπάλα, ένας κώνος, ένας κύλινδρος κ.λπ.
Ένας κώνος είναι ένα σώμα στον Ευκλείδειο χώρο που οριοθετεί μια κωνική επιφάνεια και ένα επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα άκρα των γεννητριών του. Ο σχηματισμός του συμβαίνει κατά τη διαδικασία περιστροφής ενός ορθογώνιου τριγώνου γύρω από οποιοδήποτε από τα πόδια του, επομένως ανήκει στα σώματα της περιστροφής.
Στοιχεία κώνου
Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι κώνων: λοξοί (ή λοξοί) και ίσιοι. Πλάγιος είναι εκείνος του οποίου ο άξονας τέμνεται με το κέντρο της βάσης του όχι σε ορθή γωνία. Για το λόγο αυτό, το ύψος σε έναν τέτοιο κώνο δεν συμπίπτει με τον άξονα, καθώς είναι ένα τμήμα που χαμηλώνει από την κορυφή του σώματος στο επίπεδό τουβάση στις 90°.
Εκείνος ο κώνος, του οποίου ο άξονας είναι κάθετος στη βάση του, ονομάζεται ευθύγραμμος κώνος. Ο άξονας και το ύψος σε ένα τέτοιο γεωμετρικό σώμα συμπίπτουν λόγω του γεγονότος ότι η κορυφή σε αυτό βρίσκεται πάνω από το κέντρο της διαμέτρου της βάσης.
Ο κώνος αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:
- Ο κύκλος που είναι η βάση του.
- Πλάγια.
- Ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης, που ονομάζεται κορυφή του κώνου.
- Τμήματα που συνδέουν τα σημεία του κύκλου της βάσης του γεωμετρικού σώματος και της κορυφής του.
Όλα αυτά τα τμήματα είναι γενετικές του κώνου. Έχουν κλίση προς τη βάση του γεωμετρικού σώματος και στην περίπτωση δεξιού κώνου οι προβολές τους είναι ίσες, αφού η κορυφή απέχει ίση από τα σημεία του βασικού κύκλου. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι σε έναν κανονικό (ίσιο) κώνο, οι γεννήτριες είναι ίσες, δηλαδή έχουν το ίδιο μήκος και σχηματίζουν τις ίδιες γωνίες με τον άξονα (ή το ύψος) και τη βάση.
Δεδομένου ότι σε ένα λοξό (ή κεκλιμένο) σώμα περιστροφής η κορυφή μετατοπίζεται σε σχέση με το κέντρο του επιπέδου βάσης, οι γεννήτριες σε ένα τέτοιο σώμα έχουν διαφορετικά μήκη και προεξοχές, καθώς η καθεμία από αυτές βρίσκεται σε διαφορετική απόσταση από οποιαδήποτε δύο σημεία του βασικού κύκλου. Επιπλέον, οι γωνίες μεταξύ τους και το ύψος του κώνου θα είναι επίσης διαφορετικές.
Το μήκος των γεννητριών σε δεξιό κώνο
Όπως γράφτηκε νωρίτερα, το ύψος σε ένα ευθύ γεωμετρικό σώμα περιστροφής είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης. Έτσι, η γεννήτρια, το ύψος και η ακτίνα της βάσης δημιουργούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο στον κώνο.
Δηλαδή, γνωρίζοντας την ακτίνα της βάσης και το ύψος, χρησιμοποιώντας τον τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της γενεάς, που θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων της ακτίνας βάσης και ύψος:
l2 =r2+ h2 ή l=√r 2 + h2
όπου l είναι μια γεννήτρια;
r – ακτίνα;
h – ύψος.
Γενικό σε λοξό κώνο
Με βάση το γεγονός ότι σε έναν λοξό ή λοξό κώνο οι γεννήτριες δεν έχουν το ίδιο μήκος, δεν θα είναι δυνατός ο υπολογισμός τους χωρίς πρόσθετες κατασκευές και υπολογισμούς.
Πρώτα απ' όλα, πρέπει να γνωρίζετε το ύψος, το μήκος του άξονα και την ακτίνα της βάσης.
Έχοντας αυτά τα δεδομένα, μπορείτε να υπολογίσετε το τμήμα της ακτίνας που βρίσκεται μεταξύ του άξονα και του ύψους, χρησιμοποιώντας τον τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα:
r1=√k2 - h2
όπου r1 είναι το τμήμα της ακτίνας μεταξύ του άξονα και του ύψους;
k – μήκος άξονα;
h – ύψος.
Ως αποτέλεσμα της προσθήκης της ακτίνας (r) και του τμήματός της που βρίσκεται μεταξύ του άξονα και του ύψους (r1), μπορείτε να μάθετε την πλήρη πλευρά του δεξιού τρίγωνο που σχηματίζεται από τη γεννήτρια του κώνου, το τμήμα ύψους και διαμέτρου του:
R=r + r1
όπου R είναι το σκέλος του τριγώνου που σχηματίζεται από το ύψος, τη γεννήτρια και μέρος της διαμέτρου της βάσης;
r – ακτίνα βάσης;
r1 – μέρος της ακτίνας μεταξύ του άξονα και του ύψους.
Χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να βρείτε το μήκος της γεννήτριας του κώνου:
l=√h2+ R2
ή, χωρίς να υπολογίσετε το R ξεχωριστά, συνδυάστε τους δύο τύπους σε έναν:
l=√h2 + (r + r1)2.
Παρά το αν πρόκειται για ίσιο ή λοξό κώνο και τι είδους δεδομένα εισόδου, όλες οι μέθοδοι για την εύρεση του μήκους της γεννήτριας καταλήγουν πάντα σε ένα αποτέλεσμα - τη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
Τμήμα κώνου
Αξονική τομή ενός κώνου είναι ένα επίπεδο που διέρχεται κατά μήκος του άξονα ή του ύψους του. Σε έναν ορθό κώνο, ένα τέτοιο τμήμα είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, στο οποίο το ύψος του τριγώνου είναι το ύψος του σώματος, οι πλευρές του είναι οι γεννήτριες και η βάση είναι η διάμετρος της βάσης. Σε ένα ισόπλευρο γεωμετρικό σώμα, η αξονική τομή είναι ισόπλευρο τρίγωνο, αφού σε αυτόν τον κώνο η διάμετρος της βάσης και οι γεννήτριες είναι ίσες.
Το επίπεδο της αξονικής τομής σε ευθύγραμμο κώνο είναι το επίπεδο της συμμετρίας του. Ο λόγος για αυτό είναι ότι η κορυφή του βρίσκεται πάνω από το κέντρο της βάσης του, δηλαδή το επίπεδο του αξονικού τμήματος χωρίζει τον κώνο σε δύο πανομοιότυπα μέρη.
Δεδομένου ότι το ύψος και ο άξονας δεν ταιριάζουν σε ένα κεκλιμένο στερεό, το επίπεδο του αξονικού τμήματος μπορεί να μην περιλαμβάνει το ύψος. Εάν είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα σύνολο αξονικών τμημάτων σε έναν τέτοιο κώνο, αφού πρέπει να τηρηθεί μόνο μία προϋπόθεση για αυτό - πρέπει να διέρχεται μόνο από τον άξονα, τότε μόνο ένα αξονικό τμήμα του επιπέδου, το οποίο θα ανήκει στο ύψος του αυτός ο κώνος, μπορεί να σχεδιαστεί, επειδή ο αριθμός των συνθηκών αυξάνεται και, όπως είναι γνωστό, δύο γραμμές (μαζί) μπορούν να ανήκουνμόνο ένα αεροπλάνο.
Περιοχή ενότητας
Το αξονικό τμήμα του κώνου που αναφέρθηκε προηγουμένως είναι ένα τρίγωνο. Με βάση αυτό, το εμβαδόν του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου:
S=1/2dh ή S=1/22rh
όπου S είναι το εμβαδόν διατομής;
d – διάμετρος βάσης;
r – ακτίνα;
h – ύψος.
Σε έναν λοξό ή λοξό κώνο, η τομή κατά μήκος του άξονα είναι επίσης ένα τρίγωνο, επομένως το εμβαδόν της διατομής σε αυτόν υπολογίζεται παρόμοια.
Τόμος
Δεδομένου ότι ένας κώνος είναι ένα τρισδιάστατο σχήμα στον τρισδιάστατο χώρο, μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του. Ο όγκος ενός κώνου είναι ένας αριθμός που χαρακτηρίζει αυτό το σώμα σε μονάδα όγκου, δηλαδή σε m3. Ο υπολογισμός δεν εξαρτάται από το αν είναι ίσιο ή λοξό (πλάγιο), αφού οι τύποι για αυτούς τους δύο τύπους σωμάτων δεν διαφέρουν.
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο σχηματισμός ενός ορθού κώνου συμβαίνει λόγω της περιστροφής ενός ορθογωνίου τριγώνου κατά μήκος ενός σκέλους του. Ένας κεκλιμένος ή λοξός κώνος σχηματίζεται διαφορετικά, αφού το ύψος του μετατοπίζεται μακριά από το κέντρο του επιπέδου βάσης του σώματος. Ωστόσο, τέτοιες διαφορές στη δομή δεν επηρεάζουν τη μέθοδο υπολογισμού του όγκου του.
Υπολογισμός όγκου
Ο τύπος για τον όγκο οποιουδήποτε κώνου μοιάζει με αυτό:
V=1/3πhr2
όπου V είναι ο όγκος του κώνου;
h – ύψος;
r – ακτίνα;
π - σταθερά ίση με 3, 14.
Για να υπολογίσετε τον όγκο ενός κώνου, πρέπει να έχετε δεδομένα για το ύψος και την ακτίνα της βάσης του σώματος.
Για να υπολογίσετε το ύψος ενός σώματος, πρέπει να γνωρίζετε την ακτίνα της βάσης και το μήκος της γεννήτριάς του. Δεδομένου ότι η ακτίνα, το ύψος και η γεννήτρια συνδυάζονται σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα (a2+ b2=c 2 ή στην περίπτωσή μας h2+ r2=l2 , όπου l - generatrix). Σε αυτήν την περίπτωση, το ύψος θα υπολογιστεί εξάγοντας την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους:
a=√c2- b2
Δηλαδή, το ύψος του κώνου θα είναι ίσο με την τιμή που προκύπτει μετά την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας από τη διαφορά μεταξύ του τετραγώνου του μήκους της γεννήτριας και του τετραγώνου της ακτίνας της βάσης:
h=√l2 - r2
Υπολογίζοντας το ύψος χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο και γνωρίζοντας την ακτίνα της βάσης του, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου. Σε αυτήν την περίπτωση, το generatrix παίζει σημαντικό ρόλο, καθώς χρησιμεύει ως βοηθητικό στοιχείο στους υπολογισμούς.
Ομοίως, αν γνωρίζετε το ύψος του σώματος και το μήκος της γενεαλογίας του, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα της βάσης του εξάγοντας την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ του τετραγώνου της γεννήτριας και του τετραγώνου του ύψους:
r=√l2 - h2
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως παραπάνω, υπολογίστε τον όγκο του κώνου.
Κεκλιμένος όγκος κώνου
Δεδομένου ότι ο τύπος για τον όγκο ενός κώνου είναι ο ίδιος για όλους τους τύπους ενός σώματος περιστροφής, η διαφορά στον υπολογισμό του είναι η αναζήτηση ύψους.
Για να βρεθεί το ύψος ενός κεκλιμένου κώνου, τα δεδομένα εισόδου πρέπει να περιλαμβάνουν το μήκος της γεννήτριας, την ακτίνα της βάσης και την απόσταση μεταξύ του κέντρουβάση και η τομή του ύψους του σώματος με το επίπεδο της βάσης του. Γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε εκείνο το τμήμα της διαμέτρου της βάσης, που θα είναι η βάση ενός ορθογώνιου τριγώνου (που σχηματίζεται από το ύψος, τη γεννήτρια και το επίπεδο της βάσης). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ξανά το Πυθαγόρειο θεώρημα, υπολογίστε το ύψος του κώνου και στη συνέχεια τον όγκο του.
