Ένα από τα σχήματα που εμφανίζεται κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων στο διάστημα είναι ένας κώνος. Σε αντίθεση με τα πολύεδρα, ανήκει στην κατηγορία των μορφών περιστροφής. Ας εξετάσουμε στο άρθρο τι σημαίνει στη γεωμετρία και ας εξερευνήσουμε τα χαρακτηριστικά διαφόρων τμημάτων του κώνου.
Κώνος στη γεωμετρία
Υποθέστε ότι υπάρχει κάποια καμπύλη στο επίπεδο. Μπορεί να είναι μια παραβολή, ένας κύκλος, μια έλλειψη, και ούτω καθεξής. Πάρτε ένα σημείο που δεν ανήκει στο καθορισμένο επίπεδο και συνδέστε όλα τα σημεία της καμπύλης σε αυτό. Η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται κώνος ή απλά κώνος.
Αν η αρχική καμπύλη είναι κλειστή, τότε η κωνική επιφάνεια μπορεί να γεμίσει με ύλη. Το σχήμα που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο είναι ένα τρισδιάστατο σώμα. Λέγεται και κώνος. Αρκετοί χάρτινοι κώνοι φαίνονται παρακάτω.
Η κωνική επιφάνεια συναντάται στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, ένα χωνάκι παγωτού ή ένα ριγέ χωνάκι κυκλοφορίας έχει αυτό το σχήμα, το οποίο έχει σχεδιαστεί για να προσελκύει την προσοχή των οδηγών καιπεζοί.
Τύποι κώνων
Όπως μπορείτε να μαντέψετε, οι αριθμοί που εξετάζονται διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τον τύπο της καμπύλης στην οποία σχηματίζονται. Για παράδειγμα, υπάρχει ένας στρογγυλός κώνος ή ένας ελλειπτικός. Αυτή η καμπύλη ονομάζεται βάση του σχήματος. Ωστόσο, το σχήμα της βάσης δεν είναι το μόνο χαρακτηριστικό που επιτρέπει την ταξινόμηση των κώνων.
Το δεύτερο σημαντικό χαρακτηριστικό είναι η θέση του ύψους σε σχέση με τη βάση. Το ύψος ενός κώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο χαμηλώνει από την κορυφή του σχήματος στο επίπεδο της βάσης και είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο. Εάν το ύψος τέμνει τη βάση στο γεωμετρικό κέντρο (για παράδειγμα, στο κέντρο του κύκλου), τότε ο κώνος θα είναι ευθύς, εάν το κάθετο τμήμα πέσει σε οποιοδήποτε άλλο σημείο της βάσης ή πέρα από αυτό, τότε το σχήμα θα είναι λοξό.
Περαιτέρω στο άρθρο θα εξετάσουμε μόνο έναν στρογγυλό ίσιο κώνο ως φωτεινό εκπρόσωπο της εξεταζόμενης κατηγορίας μορφών.
Γεωμετρικά ονόματα στοιχείων κώνου
Ειπώθηκε παραπάνω ότι ο κώνος έχει βάση. Οριοθετείται από έναν κύκλο, ο οποίος ονομάζεται οδηγός του κώνου. Τα τμήματα που συνδέουν τον οδηγό σε ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης ονομάζονται γεννήτριες. Το σύνολο όλων των σημείων των γεννητριών ονομάζεται κωνική ή πλευρική επιφάνεια του σχήματος. Για έναν στρογγυλό δεξιό κώνο, όλες οι γεννήτριες έχουν το ίδιο μήκος.
Το σημείο όπου τέμνονται οι γεννήτριες ονομάζεται κορυφή του σχήματος. Σε αντίθεση με τα πολύεδρα, ένας κώνος έχει μια μόνο κορυφή και όχιάκρη.
Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την κορυφή του σχήματος και το κέντρο του κύκλου ονομάζεται άξονας. Ο άξονας περιέχει το ύψος ενός ευθύγραμμου κώνου, άρα σχηματίζει ορθή γωνία με το επίπεδο της βάσης. Αυτές οι πληροφορίες είναι σημαντικές κατά τον υπολογισμό της περιοχής του αξονικού τμήματος του κώνου.
Στρογγυλός ίσιος κώνος - σχήμα περιστροφής
Ο εξεταζόμενος κώνος είναι ένα αρκετά συμμετρικό σχήμα, το οποίο μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα της περιστροφής του τριγώνου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο με ορθή γωνία. Για να αποκτήσετε έναν κώνο, αρκεί να περιστρέψετε αυτό το τρίγωνο γύρω από ένα από τα πόδια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Μπορεί να φανεί ότι ο άξονας περιστροφής είναι ο άξονας του κώνου. Ένα από τα πόδια θα είναι ίσο με το ύψος της φιγούρας και το δεύτερο πόδι θα γίνει η ακτίνα της βάσης. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου ως αποτέλεσμα της περιστροφής θα περιγράφει μια κωνική επιφάνεια. Θα είναι η γεννήτρια του κώνου.
Αυτή η μέθοδος απόκτησης ενός στρογγυλού ευθύγραμμου κώνου είναι βολική στη χρήση για τη μελέτη της μαθηματικής σχέσης μεταξύ των γραμμικών παραμέτρων του σχήματος: το ύψος h, την ακτίνα της στρογγυλής βάσης r και τον οδηγό g. Ο αντίστοιχος τύπος προκύπτει από τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αναγράφεται παρακάτω:
g2=h2+ r2.
Δεδομένου ότι έχουμε μία εξίσωση και τρεις μεταβλητές, αυτό σημαίνει ότι για να ορίσετε μοναδικά τις παραμέτρους ενός στρογγυλού κώνου, πρέπει να γνωρίζετε οποιαδήποτε δύο ποσότητες.
Τμές ενός κώνου από ένα επίπεδο που δεν περιέχει την κορυφή του σχήματος
Το ζήτημα της κατασκευής τομών ενός σχήματος δεν είναιασήμαντος. Το γεγονός είναι ότι το σχήμα της τομής του κώνου από την επιφάνεια εξαρτάται από τη σχετική θέση του σχήματος και την τομή.
Ας υποθέσουμε ότι τέμνουμε τον κώνο με ένα επίπεδο. Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα αυτής της γεωμετρικής πράξης; Οι επιλογές σχήματος ενότητας φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Το ροζ τμήμα είναι ένας κύκλος. Σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής του σχήματος με ένα επίπεδο που είναι παράλληλο στη βάση του κώνου. Πρόκειται για τμήματα κάθετα στον άξονα του σχήματος. Το σχήμα που σχηματίζεται πάνω από το επίπεδο κοπής είναι ένας κώνος παρόμοιος με τον αρχικό, αλλά με μικρότερο κύκλο στη βάση.
Το πράσινο τμήμα είναι μια έλλειψη. Λαμβάνεται εάν το επίπεδο κοπής δεν είναι παράλληλο με τη βάση, αλλά τέμνει μόνο την πλευρική επιφάνεια του κώνου. Μια φιγούρα αποκομμένη πάνω από το επίπεδο ονομάζεται ελλειπτικός λοξός κώνος.
Το μπλε και το πορτοκαλί τμήματα είναι παραβολικά και υπερβολικά, αντίστοιχα. Όπως μπορείτε να δείτε από το σχήμα, λαμβάνονται εάν το επίπεδο κοπής τέμνει ταυτόχρονα την πλευρική επιφάνεια και τη βάση του σχήματος.
Για να προσδιορίσετε τις περιοχές των τμημάτων του κώνου που εξετάστηκαν, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τους τύπους για το αντίστοιχο σχήμα στο επίπεδο. Για παράδειγμα, για έναν κύκλο, αυτός είναι ο αριθμός Pi πολλαπλασιασμένος με το τετράγωνο της ακτίνας και για μια έλλειψη, αυτό είναι το γινόμενο του Pi και το μήκος του δευτερεύοντος και του μεγάλου ημιάξονα:
κύκλος: S=pir2;
έλλειψη: S=piab.
Τμές που περιέχουν την κορυφή του κώνου
Τώρα εξετάστε τις επιλογές για τα τμήματα που προκύπτουν εάν το επίπεδο κοπής είναιπεράστε από την κορυφή του κώνου. Τρεις περιπτώσεις είναι δυνατές:
- Η ενότητα είναι ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή και είναι παράλληλο στη βάση δίνει ακριβώς μια τέτοια τομή.
- Το τμήμα είναι μια ευθεία γραμμή. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν το επίπεδο εφάπτεται σε μια κωνική επιφάνεια. Η ευθεία γραμμή της τομής σε αυτή την περίπτωση θα είναι η γεννήτρια του κώνου.
- Αξονική τομή. Σχηματίζεται όταν το επίπεδο περιέχει όχι μόνο την κορυφή του σχήματος, αλλά και ολόκληρο τον άξονά του. Σε αυτή την περίπτωση, το επίπεδο θα είναι κάθετο στη στρογγυλή βάση και θα χωρίζει τον κώνο σε δύο ίσα μέρη.
Προφανώς, τα εμβαδά των δύο πρώτων τύπων τμημάτων είναι ίσα με μηδέν. Όσον αφορά την περιοχή διατομής του κώνου για τον 3ο τύπο, αυτό το θέμα συζητείται λεπτομερέστερα στην επόμενη παράγραφο.
Αξονική τομή
Σημειώθηκε παραπάνω ότι η αξονική τομή ενός κώνου είναι το σχήμα που σχηματίζεται όταν ο κώνος τέμνεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι αυτή η ενότητα θα αντιπροσωπεύει το σχήμα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Αυτό είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο. Η κορυφή του αξονικού τμήματος του κώνου είναι η κορυφή αυτού του τριγώνου, που σχηματίζεται από την τομή πανομοιότυπων πλευρών. Τα τελευταία είναι ίσα με το μήκος της γεννήτριας του κώνου. Η βάση του τριγώνου είναι η διάμετρος της βάσης του κώνου.
Ο υπολογισμός του εμβαδού του αξονικού τμήματος ενός κώνου μειώνεται στην εύρεση του εμβαδού του τριγώνου που προκύπτει. Εάν η ακτίνα της βάσης r και το ύψος h του κώνου είναι αρχικά γνωστά, τότε το εμβαδόν S της τομής που εξετάζουμε θα είναι:
S=hr.
Αυτόη έκφραση είναι συνέπεια της εφαρμογής του τυπικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου (το μισό γινόμενο του ύψους επί τη βάση).
Σημειώστε ότι εάν η γενεαλογία ενός κώνου είναι ίση με τη διάμετρο της στρογγυλής βάσης του, τότε η αξονική τομή του κώνου είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Ένα τριγωνικό τμήμα σχηματίζεται όταν το επίπεδο κοπής είναι κάθετο στη βάση του κώνου και διέρχεται από τον άξονά του. Οποιοδήποτε άλλο επίπεδο παράλληλο προς το ονομαζόμενο θα δώσει μια υπερβολή σε τομή. Ωστόσο, εάν το επίπεδο περιέχει την κορυφή του κώνου και τέμνει τη βάση του όχι μέσω της διαμέτρου, τότε το τμήμα που προκύπτει θα είναι επίσης ένα ισοσκελές τρίγωνο.
Το πρόβλημα του προσδιορισμού των γραμμικών παραμέτρων του κώνου
Ας δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που γράφτηκε για την περιοχή της αξονικής τομής για να λύσετε ένα γεωμετρικό πρόβλημα.
Είναι γνωστό ότι η περιοχή του αξονικού τμήματος του κώνου είναι 100 cm2. Το τρίγωνο που προκύπτει είναι ισόπλευρο. Ποιο είναι το ύψος του κώνου και η ακτίνα της βάσης του;
Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το ύψος του h σχετίζεται με το μήκος της πλευράς a ως εξής:
h=√3/2a.
Δεδομένου ότι η πλευρά του τριγώνου είναι διπλάσια από την ακτίνα της βάσης του κώνου, και αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον τύπο για το εμβαδόν της διατομής, παίρνουμε:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Τότε το ύψος του κώνου είναι:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Μένει να αντικαταστήσουμε την τιμή της περιοχής από την κατάσταση του προβλήματοςκαι πάρε την απάντηση:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Σε ποιους τομείς είναι σημαντικό να γνωρίζετε τις παραμέτρους των υπό εξέταση ενοτήτων;
Η μελέτη διαφόρων τύπων τομών κώνου δεν έχει μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον, αλλά έχει και πρακτικές εφαρμογές.
Πρώτον, πρέπει να σημειωθεί ο τομέας της αεροδυναμικής, όπου με τη βοήθεια κωνικών τμημάτων είναι δυνατό να δημιουργηθούν ιδανικά λεία σχήματα συμπαγών σωμάτων.
Δεύτερον, οι κωνικές τομές είναι τροχιές κατά μήκος των οποίων κινούνται διαστημικά αντικείμενα σε βαρυτικά πεδία. Ποιος συγκεκριμένος τύπος τομής αντιπροσωπεύει την τροχιά της κίνησης των κοσμικών σωμάτων του συστήματος καθορίζεται από τον λόγο των μαζών τους, τις απόλυτες ταχύτητες και τις μεταξύ τους αποστάσεις.
