Στην πράξη, συχνά προκύπτουν εργασίες που απαιτούν τη δυνατότητα κατασκευής τμημάτων γεωμετρικών σχημάτων διαφόρων σχημάτων και εύρεσης της περιοχής των τομών. Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε πώς κατασκευάζονται σημαντικά τμήματα ενός πρίσματος, μιας πυραμίδας, του κώνου και του κυλίνδρου και πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν τους.
3D φιγούρες
Από τη στερεομετρία είναι γνωστό ότι μια τρισδιάστατη φιγούρα οποιουδήποτε απολύτως τύπου περιορίζεται από έναν αριθμό επιφανειών. Για παράδειγμα, για τέτοια πολύεδρα όπως ένα πρίσμα και μια πυραμίδα, αυτές οι επιφάνειες είναι οι πολυγωνικές πλευρές. Για έναν κύλινδρο και έναν κώνο, μιλάμε για επιφάνειες περιστροφής κυλινδρικών και κωνικών μορφών.
Αν πάρουμε ένα επίπεδο και τέμνουμε αυθαίρετα την επιφάνεια ενός τρισδιάστατου σχήματος, θα έχουμε μια τομή. Το εμβαδόν του είναι ίσο με το εμβαδόν του τμήματος του επιπέδου που θα βρίσκεται μέσα στον όγκο του σχήματος. Η ελάχιστη τιμή αυτής της περιοχής είναι μηδέν, η οποία πραγματοποιείται όταν το επίπεδο αγγίζει το σχήμα. Για παράδειγμα, ένα τμήμα που σχηματίζεται από ένα μόνο σημείο λαμβάνεται εάν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή μιας πυραμίδας ή κώνου. Η μέγιστη τιμή του εμβαδού διατομής εξαρτάται απότη σχετική θέση του σχήματος και του επιπέδου, καθώς και το σχήμα και το μέγεθος του σχήματος.
Παρακάτω, θα εξετάσουμε πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν των σχηματισμένων τμημάτων για δύο σχήματα περιστροφής (κύλινδρος και κώνος) και δύο πολύεδρα (πυραμίδα και πρίσμα).
Κύλινδρος
Ο κυκλικός κύλινδρος είναι ένα σχήμα περιστροφής ενός ορθογωνίου γύρω από οποιαδήποτε πλευρά του. Ο κύλινδρος χαρακτηρίζεται από δύο γραμμικές παραμέτρους: ακτίνα βάσης r και ύψος h. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει πώς μοιάζει ένας κυκλικός ευθύς κύλινδρος.
Υπάρχουν τρεις σημαντικοί τύποι ενότητας για αυτό το σχήμα:
- γύρος;
- ορθογώνιο;
- ελλειπτικό.
Το ελλειπτικό σχηματίζεται ως αποτέλεσμα του επιπέδου που τέμνει την πλευρική επιφάνεια του σχήματος υπό κάποια γωνία ως προς τη βάση του. Το στρογγυλό είναι το αποτέλεσμα της τομής του επιπέδου κοπής της πλευρικής επιφάνειας παράλληλη με τη βάση του κυλίνδρου. Τέλος, λαμβάνεται ένα ορθογώνιο εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο με τον άξονα του κυλίνδρου.
Η κυκλική περιοχή υπολογίζεται με τον τύπο:
S1=pir2
Η περιοχή του αξονικού τμήματος, δηλαδή ορθογώνια, που διέρχεται από τον άξονα του κυλίνδρου, ορίζεται ως εξής:
S2=2rh
Τμήματα κώνου
Ένας κώνος είναι ένα σχήμα περιστροφής ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από ένα από τα σκέλη. Ο κώνος έχει μια κορυφή και μια στρογγυλή βάση. Οι παράμετροί του είναι επίσης η ακτίνα r και το ύψος h. Ένα παράδειγμα κώνου χαρτιού φαίνεται παρακάτω.
Υπάρχουν διάφοροι τύποι κωνικών τομών. Ας τα απαριθμήσουμε:
- γύρος;
- ελλειπτικό;
- παραβολική;
- υπερβολικό;
- τριγωνικό.
Αντικαθιστούν το ένα το άλλο εάν αυξήσετε τη γωνία κλίσης του επιπέδου τομής σε σχέση με τη στρογγυλή βάση. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να γράψετε τους τύπους για το εμβαδόν διατομής του κυκλικού και του τριγωνικού.
Μια κυκλική τομή σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής μιας κωνικής επιφάνειας με ένα επίπεδο που είναι παράλληλο στη βάση. Για την περιοχή του, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
S1=pir2z2/h 2
Εδώ z είναι η απόσταση από την κορυφή του σχήματος μέχρι το σχηματισμένο τμήμα. Μπορεί να φανεί ότι αν z=0, τότε το επίπεδο διέρχεται μόνο από την κορυφή, οπότε η περιοχή S1 θα είναι ίση με μηδέν. Από z < h, το εμβαδόν του τμήματος υπό μελέτη θα είναι πάντα μικρότερο από την τιμή του για τη βάση.
Το
Τριγωνικό προκύπτει όταν το επίπεδο τέμνει το σχήμα κατά μήκος του άξονα περιστροφής του. Το σχήμα του προκύπτοντος τμήματος θα είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου είναι η διάμετρος της βάσης και δύο γεννήτριες του κώνου. Πώς να βρείτε την περιοχή διατομής ενός τριγωνικού; Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση θα είναι ο ακόλουθος τύπος:
S2=rh
Αυτή η ισότητα προκύπτει με την εφαρμογή του τύπου για το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου στο μήκος της βάσης και του ύψους του.
Τμές πρίσματος
Το
Πρίσμα είναι μια μεγάλη κατηγορία μορφών που χαρακτηρίζονται από την παρουσία δύο όμοιων πολυγωνικών βάσεων παράλληλων μεταξύ τους,συνδέονται με παραλληλόγραμμα. Οποιοδήποτε τμήμα ενός πρίσματος είναι πολύγωνο. Λόγω της ποικιλομορφίας των υπό εξέταση μορφών (πλάγια, ευθεία, n-γωνικά, κανονικά, κοίλα πρίσματα), η ποικιλία των τομών τους είναι επίσης μεγάλη. Παρακάτω, εξετάζουμε μόνο ορισμένες ειδικές περιπτώσεις.
Εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο με τη βάση, τότε το εμβαδόν διατομής του πρίσματος θα είναι ίσο με το εμβαδόν αυτής της βάσης.
Αν το επίπεδο διέρχεται από τα γεωμετρικά κέντρα των δύο βάσεων, δηλαδή είναι παράλληλο με τις πλευρικές ακμές του σχήματος, τότε σχηματίζεται παραλληλόγραμμο στην τομή. Στην περίπτωση ευθύγραμμων και κανονικών πρισμάτων, η όψη τομής που εξετάζεται θα είναι ένα ορθογώνιο.
Πυραμίδα
Η
Πυραμίδα είναι ένα άλλο πολύεδρο που αποτελείται από ένα n-gon και n τρίγωνα. Ένα παράδειγμα τριγωνικής πυραμίδας φαίνεται παρακάτω.
Αν η τομή σχεδιάζεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση του n-γωνίου, τότε το σχήμα του θα είναι ακριβώς ίσο με το σχήμα της βάσης. Η περιοχή ενός τέτοιου τμήματος υπολογίζεται με τον τύπο:
S1=So(h-z)2/h 2
Όπου z είναι η απόσταση από τη βάση έως το επίπεδο διατομής, So είναι το εμβαδόν της βάσης.
Αν το επίπεδο κοπής περιέχει την κορυφή της πυραμίδας και τέμνει τη βάση της, τότε έχουμε ένα τριγωνικό τμήμα. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν του, πρέπει να ανατρέξετε στη χρήση του κατάλληλου τύπου για ένα τρίγωνο.
