Το πενταγωνικό πρίσμα στην επίλυση προβλημάτων στη γεωμετρία είναι πολύ λιγότερο κοινό από πρίσματα όπως το τριγωνικό, το τετράγωνο ή το εξαγωνικό. Ωστόσο, είναι χρήσιμο να αναθεωρήσετε τις βασικές ιδιότητες αυτού του σχήματος, καθώς και να μάθετε πώς να το σχεδιάζετε.
Τι είναι ένα πενταγωνικό πρίσμα;
Πρόκειται για ένα τρισδιάστατο σχήμα, οι βάσεις του οποίου είναι πεντάγωνα και οι πλευρές του είναι παραλληλόγραμμα. Αν καθένα από αυτά τα παραλληλόγραμμα είναι κάθετο στις παράλληλες βάσεις, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ορθογώνιο. Η πλευρική επιφάνεια ενός ορθογώνιου πενταγωνικού πρίσματος αποτελείται από πέντε ορθογώνια. Επιπλέον, η πλευρά που βρίσκεται δίπλα στη βάση καθενός από αυτά είναι ίση με το αντίστοιχο μήκος της πλευράς του πενταγώνου.
Αν το πεντάγωνο είναι κανονικό, δηλαδή όλες οι πλευρές και οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους, τότε ένα τέτοιο ορθογώνιο πρίσμα ονομάζεται κανονικό. Περαιτέρω στο άρθρο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες αυτού του συγκεκριμένου σχήματος.
Στοιχεία πρίσματος
Για αυτήν, όπως για κάθε πρίσμα,τα ακόλουθα στοιχεία είναι χαρακτηριστικά:
- όψεις ή πλευρές είναι μέρη επιπέδων που δέσμευαν μια φιγούρα στο διάστημα;
- κορυφές - σημεία τομής τριών πλευρών;
- ribs - τμήματα της τομής των δύο πλευρών του σχήματος.
Οι αριθμοί όλων των ονομαζόμενων στοιχείων σχετίζονται μεταξύ τους με την ακόλουθη ισότητα:
Αριθμός άκρων=αριθμός κορυφών + αριθμός όψεων - 2
Αυτή η έκφραση ονομάζεται τύπος Euler για το πολύεδρο.
Σε ένα πενταγωνικό πρίσμα, ο αριθμός των πλευρών είναι επτά (δύο βάσεις + πέντε ορθογώνια). Ο αριθμός των κορυφών είναι 10 (πέντε για κάθε βάση). Ο αριθμός των άκρων σε αυτήν την περίπτωση θα είναι:
Αριθμός πλευρών=10 + 7 - 2=15
Δέκα άκρες ανήκουν στις βάσεις του πρίσματος και πέντε άκρες σχηματίζονται από ορθογώνια.
Πώς να σχεδιάσετε ένα πενταγωνικό πρίσμα;
Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση εξαρτάται από τη συγκεκριμένη εργασία. Εάν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα αυθαίρετο πρίσμα, τότε θα πρέπει να σχεδιαστεί οποιοδήποτε πεντάγωνο. Μετά από αυτό, σχεδιάστε πέντε παράλληλα τμήματα ίσου μήκους από κάθε κορυφή του πενταγώνου. Στη συνέχεια, συνδέστε τα πάνω άκρα των τμημάτων. Το αποτέλεσμα είναι ένα πενταγωνικό αυθαίρετο πρίσμα.
Αν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα κανονικό πρίσμα, τότε η όλη πολυπλοκότητα της εργασίας καταλήγει στην απόκτηση ενός κανονικού πενταγώνου. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να σχεδιάσετε αυτό το πολύγωνο. Εδώ θα εξετάσουμε μόνο δύο τρόπους.
Ο πρώτος τρόπος είναι να σχεδιάσετε έναν κύκλο με πυξίδα. Στη συνέχεια σχεδιάζεται μια αυθαίρετη διάμετροςκύκλος και πέντε γωνίες μετρώνται από αυτόν χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο στο 72o(572o=360o). Όταν μετράμε κάθε γωνία, γίνεται μια εγκοπή στον κύκλο. Για να φτιάξετε ένα ορθογώνιο, μένει να συνδέσετε τις σημειωμένες εγκοπές με ευθύγραμμα τμήματα.
Η δεύτερη μέθοδος περιλαμβάνει τη χρήση μόνο μιας πυξίδας και ενός χάρακα. Είναι κάπως περίπλοκο σε σύγκριση με το προηγούμενο. Ακολουθεί ένα βίντεο που εξηγεί λεπτομερώς κάθε βήμα αυτής της κατασκευής.
Σημειώστε ότι είναι εύκολο να σχεδιάσετε ένα πεντάγωνο εάν συνδέσετε τα άκρα του αστεριού. Εάν δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα ακριβώς κανονικό πεντάγωνο, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αστεριού που σχεδιάστηκε με το χέρι.
Μόλις σχεδιαστεί το πεντάγωνο, σχεδιάστε πέντε ίδια παράλληλα τμήματα από κάθε κορυφή του και συνδέστε τις κορυφές τους. Το αποτέλεσμα είναι ένα πενταγωνικό πρίσμα.
Περιοχή σχήματος
Σκεφτείτε τώρα πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πενταγωνικού πρίσματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την ανάπτυξή του. Μπορεί να φανεί ότι η απαιτούμενη περιοχή σχηματίζεται από δύο ίδια πεντάγωνα και πέντε ορθογώνια ίσα μεταξύ τους.
Το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας του σχήματος εκφράζεται με τον τύπο:
S=2So+ 5Sp
Εδώ οι δείκτες o και p σημαίνουν τη βάση και το ορθογώνιο, αντίστοιχα. Ας υποδηλώσουμε το μήκος της πλευράς του πενταγώνου ως a και το ύψος του σχήματος ως h. Στη συνέχεια για το ορθογώνιο γράφουμε:
Sp=ah
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός πενταγώνου,χρησιμοποιήστε τον γενικό τύπο:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου. Αντικαθιστώντας το n=5, παίρνουμε:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Η ακρίβεια της ισότητας που προκύπτει είναι 3 δεκαδικά ψηφία, που είναι αρκετά για την επίλυση τυχόν προβλημάτων.
Τώρα απομένει να βρούμε το άθροισμα των ληφθέντων περιοχών της βάσης και της πλευρικής επιφάνειας. Έχουμε:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a η
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο τύπος που προκύπτει ισχύει μόνο για ένα ορθογώνιο πρίσμα. Στην περίπτωση ενός λοξού σχήματος, το εμβαδόν της πλευρικής του επιφάνειας βρίσκεται με βάση τη γνώση της περιμέτρου της τομής, η οποία πρέπει να είναι κάθετη σε όλα τα παραλληλόγραμμα.
Ο όγκος του σχήματος
Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός πενταγωνικού πρίσματος δεν διαφέρει από μια παρόμοια έκφραση για οποιοδήποτε άλλο πρίσμα ή κύλινδρο. Ο όγκος ενός σχήματος είναι ίσος με το γινόμενο του ύψους του και του εμβαδού της βάσης:
V=Soh
Αν το εν λόγω πρίσμα είναι ορθογώνιο, τότε το ύψος του είναι το μήκος της άκρης που σχηματίζουν τα ορθογώνια. Το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου έχει υπολογιστεί παραπάνω με μεγάλη ακρίβεια. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον τύπο για τον όγκο και λάβετε την απαραίτητη έκφραση για ένα κανονικό πενταγωνικό πρίσμα:
V=1, 72a2h
Έτσι, υπολογίζεται ο όγκος και η επιφάνειαένα κανονικό πενταγωνικό πρίσμα είναι δυνατό αν είναι γνωστά η πλευρά της βάσης και το ύψος του σχήματος.
