Η ικανότητα προσδιορισμού του όγκου των χωρικών σχημάτων είναι σημαντική για την επίλυση γεωμετρικών και πρακτικών προβλημάτων. Ένα από αυτά τα σχήματα είναι ένα πρίσμα. Θα εξετάσουμε στο άρθρο τι είναι και θα δείξουμε πώς να υπολογίσουμε τον όγκο ενός κεκλιμένου πρίσματος.
Τι σημαίνει ένα πρίσμα στη γεωμετρία;
Πρόκειται για ένα κανονικό πολύεδρο (πολύεδρο), το οποίο σχηματίζεται από δύο ίδιες βάσεις που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και πολλά παραλληλόγραμμα που συνδέουν τις σημειωμένες βάσεις.
Οι βάσεις πρίσματος μπορεί να είναι αυθαίρετα πολύγωνα, όπως τρίγωνο, τετράπλευρο, επτάγωνο κ.λπ. Επιπλέον, ο αριθμός των γωνιών (πλευρών) του πολυγώνου καθορίζει το όνομα του σχήματος.
Οποιοδήποτε πρίσμα με βάση n-gon (n είναι ο αριθμός των πλευρών) αποτελείται από n+2 όψεις, 2 × n κορυφές και 3 × n ακμές. Από τους δεδομένους αριθμούς φαίνεται ότι ο αριθμός των στοιχείων του πρίσματος αντιστοιχεί στο θεώρημα του Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Η παρακάτω εικόνα δείχνει πώς μοιάζουν τα τριγωνικά και τετράγωνα πρίσματα από γυαλί.
Τύποι φιγούρων. Κεκλιμένο πρίσμα
Έχει ήδη ειπωθεί παραπάνω ότι το όνομα ενός πρίσματος καθορίζεται από τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου στη βάση. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλα χαρακτηριστικά στη δομή του που καθορίζουν τις ιδιότητες του σχήματος. Έτσι, εάν όλα τα παραλληλόγραμμα που σχηματίζουν την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος παριστάνονται με ορθογώνια ή τετράγωνα, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται ευθεία γραμμή. Για ένα ευθύ πρίσμα, η απόσταση μεταξύ των βάσεων είναι ίση με το μήκος της πλευρικής ακμής οποιουδήποτε ορθογωνίου.
Αν μερικές ή όλες οι πλευρές είναι παραλληλόγραμμες, τότε μιλάμε για κεκλιμένο πρίσμα. Το ύψος του θα είναι ήδη μικρότερο από το μήκος της πλευρικής πλευράς.
Ένα άλλο κριτήριο με το οποίο ταξινομούνται τα υπό εξέταση σχήματα είναι τα μήκη των πλευρών και οι γωνίες του πολυγώνου στη βάση. Αν είναι ίσα μεταξύ τους, τότε το πολύγωνο θα είναι σωστό. Ένα ευθύ σχήμα με κανονικό πολύγωνο στις βάσεις λέγεται κανονικό. Είναι βολικό να εργάζεστε μαζί του όταν προσδιορίζετε την επιφάνεια και τον όγκο. Ένα κεκλιμένο πρίσμα από αυτή την άποψη παρουσιάζει κάποιες δυσκολίες.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει δύο πρίσματα με τετράγωνη βάση. Η γωνία 90° δείχνει τη θεμελιώδη διαφορά μεταξύ ενός ευθύγραμμου και ενός λοξού πρίσματος.
Τύπος για τον προσδιορισμό του όγκου ενός σχήματος
Μέρος του χώρου που οριοθετείται από τις όψεις ενός πρίσματος ονομάζεται όγκος του. Για τα εξεταζόμενα στοιχεία οποιουδήποτε τύπου, αυτή η τιμή μπορεί να προσδιοριστεί με τον ακόλουθο τύπο:
V=h × So
Εδώ, το σύμβολο h υποδηλώνει το ύψος του πρίσματος,που είναι μέτρο της απόστασης μεταξύ δύο βάσεων. Σύμβολο So- ένα τετράγωνο βάσης.
Η περιοχή βάσης είναι εύκολο να βρεθεί. Δεδομένου του γεγονότος εάν το πολύγωνο είναι κανονικό ή όχι, και γνωρίζοντας τον αριθμό των πλευρών του, θα πρέπει να εφαρμόσετε τον κατάλληλο τύπο και να λάβετε So. Για παράδειγμα, για ένα κανονικό n-gon με μήκος πλευράς a, η περιοχή θα είναι:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Τώρα ας προχωρήσουμε στο ύψος h. Για ένα ευθύ πρίσμα, ο προσδιορισμός του ύψους δεν είναι δύσκολος, αλλά για ένα λοξό πρίσμα, αυτό δεν είναι εύκολο έργο. Μπορεί να λυθεί με διάφορες γεωμετρικές μεθόδους, ξεκινώντας από συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες. Ωστόσο, υπάρχει ένας καθολικός τρόπος προσδιορισμού του ύψους μιας φιγούρας. Ας το περιγράψουμε εν συντομία.
Η ιδέα είναι να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο στο διάστημα σε ένα επίπεδο. Ας υποθέσουμε ότι το επίπεδο δίνεται από την εξίσωση:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Τότε το αεροπλάνο θα βρίσκεται σε απόσταση:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +Δ| / √ (A2 + B2+ C2)
Αν οι άξονες συντεταγμένων είναι διατεταγμένοι έτσι ώστε το σημείο (0; 0; 0) να βρίσκεται στο επίπεδο της κάτω βάσης του πρίσματος, τότε η εξίσωση για το επίπεδο βάσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:
z=0
Αυτό σημαίνει ότι θα γραφτεί ο τύπος για το ύψοςοπότε:
h=z1
Αρκεί να βρείτε τη συντεταγμένη z οποιουδήποτε σημείου της πάνω βάσης για να προσδιορίσετε το ύψος του σχήματος.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα. Η βάση ενός κεκλιμένου πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 10 εκ. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο όγκος του εάν είναι γνωστό ότι το μήκος της πλευρικής ακμής είναι 15 cm και η οξεία γωνία του μετωπιαίου παραλληλογράμμου είναι 70 °.
Δεδομένου ότι το ύψος h του σχήματος είναι και το ύψος του παραλληλογράμμου, χρησιμοποιούμε τύπους για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του για να βρούμε το h. Ας συμβολίσουμε τις πλευρές του παραλληλογράμμου ως εξής:
a=10cm;
b=15cm
Στη συνέχεια, μπορείτε να γράψετε τους παρακάτω τύπους για να προσδιορίσετε την περιοχή Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Από πού παίρνουμε:
h=b × sin (α)
Εδώ α είναι μια οξεία γωνία του παραλληλογράμμου. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα τετράγωνο, ο τύπος για τον όγκο ενός κεκλιμένου πρίσματος θα έχει τη μορφή:
V=a2 × b × sin (α)
Αντικαθιστούμε τα δεδομένα από τη συνθήκη στον τύπο και παίρνουμε την απάντηση: V ≈ 1410 cm3.
