Το
Το Πρίσμα είναι ένα αρκετά απλό γεωμετρικό τρισδιάστατο σχήμα. Ωστόσο, ορισμένοι μαθητές αντιμετωπίζουν προβλήματα στον προσδιορισμό των κύριων ιδιοτήτων του, η αιτία των οποίων, κατά κανόνα, συνδέεται με εσφαλμένα χρησιμοποιούμενη ορολογία. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τι είναι τα πρίσματα, πώς ονομάζονται και επίσης θα περιγράψουμε λεπτομερώς το σωστό τετράπλευρο πρίσμα.
Πρίσμα στη γεωμετρία
Η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών είναι ένα έργο της στερεομετρίας - ένα σημαντικό μέρος της χωρικής γεωμετρίας. Στη στερεομετρία, ως πρίσμα νοείται ένα τέτοιο σχήμα, το οποίο σχηματίζεται από την παράλληλη μετάφραση ενός αυθαίρετου επίπεδου πολυγώνου σε μια ορισμένη απόσταση στο χώρο. Η παράλληλη μετάφραση συνεπάγεται μια κίνηση κατά την οποία η περιστροφή γύρω από έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο του πολυγώνου αποκλείεται εντελώς.
Ως αποτέλεσμα της περιγραφόμενης μεθόδου απόκτησης ενός πρίσματος, σχηματίζεται ένα σχήμα, που περιορίζεται από δύοπολύγωνα με τις ίδιες διαστάσεις, που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και ορισμένο αριθμό παραλληλογραμμών. Ο αριθμός τους συμπίπτει με τον αριθμό των πλευρών (κορυφών) του πολυγώνου. Τα ίδια πολύγωνα ονομάζονται βάσεις του πρίσματος και το εμβαδόν της επιφάνειάς τους είναι το εμβαδόν των βάσεων. Παραλληλόγραμμα που συνδέουν δύο βάσεις σχηματίζουν μια πλευρική επιφάνεια.
Στοιχεία πρίσματος και θεώρημα Euler
Δεδομένου ότι το τρισδιάστατο σχήμα που εξετάζουμε είναι ένα πολύεδρο, δηλαδή σχηματίζεται από ένα σύνολο τεμνόμενων επιπέδων, χαρακτηρίζεται από ορισμένο αριθμό κορυφών, ακμών και όψεων. Είναι όλα στοιχεία ενός πρίσματος.
Στα μέσα του 18ου αιώνα, ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ του αριθμού των βασικών στοιχείων ενός πολύεδρου. Αυτή η σχέση γράφεται με τον ακόλουθο απλό τύπο:
Αριθμός άκρων=αριθμός κορυφών + αριθμός όψεων - 2
Για οποιοδήποτε πρίσμα, αυτή η ισότητα είναι αληθινή. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα χρήσης του. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα κανονικό τετράπλευρο πρίσμα. Αυτή απεικονίζεται παρακάτω.
Μπορεί να φανεί ότι ο αριθμός των κορυφών του είναι 8 (4 για κάθε τετραγωνική βάση). Ο αριθμός των πλευρών ή των όψεων είναι 6 (2 βάσεις και 4 πλευρικά ορθογώνια). Τότε ο αριθμός των άκρων για αυτό θα είναι:
Αριθμός πλευρών=8 + 6 - 2=12
Όλα μπορούν να μετρηθούν εάν αναφέρεστε στην ίδια εικόνα. Οκτώ άκρες βρίσκονται στις βάσεις και τέσσερις άκρες είναι κάθετες σε αυτές τις βάσεις.
Πλήρης ταξινόμηση πρισμάτων
Είναι σημαντικό να κατανοήσετε αυτήν την ταξινόμηση, ώστε να μην μπερδεύεστε με την ορολογία αργότερα και να χρησιμοποιήσετε τους σωστούς τύπους για να υπολογίσετε, για παράδειγμα, την επιφάνεια ή τον όγκο των ψηφίων.
Για οποιοδήποτε πρίσμα αυθαίρετου σχήματος, διακρίνονται 4 χαρακτηριστικά που θα το χαρακτηρίσουν. Ας τα απαριθμήσουμε:
- Με τον αριθμό των γωνιών του πολυγώνου στη βάση: τριγωνικό, πενταγωνικό, οκταγωνικό και ούτω καθεξής.
- Τύπος πολυγώνου. Μπορεί να είναι σωστό ή λάθος. Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ακανόνιστο, αλλά ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι σωστό.
- Ανάλογα με τον τύπο της κυρτότητας του πολυγώνου. Μπορεί να είναι κοίλο ή κυρτό. Τα κυρτά πρίσματα είναι τα πιο συνηθισμένα.
- Στις γωνίες μεταξύ των βάσεων και των πλευρικών παραλληλογραμμών. Αν όλες αυτές οι γωνίες είναι ίσες με 90o, τότε μιλούν για ορθό πρίσμα, αν δεν είναι όλες ορθές, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται πλάγιο.
Από όλα αυτά τα σημεία, θα ήθελα να σταθώ στο τελευταίο. Ένα ευθύ πρίσμα ονομάζεται επίσης ορθογώνιο πρίσμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για αυτήν τα παραλληλόγραμμα είναι ορθογώνια στη γενική περίπτωση (σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι τετράγωνα).
Για παράδειγμα, το παραπάνω σχήμα δείχνει ένα πενταγωνικό κοίλο ορθογώνιο ή ευθύ σχήμα.
Κανονικό τετράπλευρο πρίσμα
Η βάση αυτού του πρίσματος είναι ένα κανονικό τετράπλευρο, δηλαδή ένα τετράγωνο. Το παραπάνω σχήμα έχει ήδη δείξει πώς μοιάζει αυτό το πρίσμα. Εκτός από τα δύο τετράγωνα που τηςπεριορίζει πάνω και κάτω, περιλαμβάνει επίσης 4 ορθογώνια.
Ας συμβολίσουμε την πλευρά της βάσης ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος με το γράμμα a, το μήκος της πλευρικής ακμής του θα συμβολίζεται με το γράμμα c. Αυτό το μήκος είναι και το ύψος του σχήματος. Τότε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας αυτού του πρίσματος εκφράζεται με τον τύπο:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Εδώ ο πρώτος όρος αντικατοπτρίζει τη συμβολή των βάσεων στο συνολικό εμβαδόν, ο δεύτερος όρος είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Λαμβάνοντας υπόψη τους εισαγόμενους χαρακτηρισμούς για τα μήκη των πλευρών, γράφουμε τον τύπο για τον όγκο του εν λόγω σχήματος:
V=a2c
Δηλαδή, ο όγκος υπολογίζεται ως το γινόμενο του εμβαδού της τετραγωνικής βάσης και του μήκους της πλευρικής ακμής.
Σχήμα κύβου
Όλοι γνωρίζουν αυτήν την ιδανική τρισδιάστατη φιγούρα, αλλά λίγοι άνθρωποι πίστευαν ότι πρόκειται για ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, η πλευρά του οποίου είναι ίση με το μήκος της πλευράς της τετραγωνικής βάσης, δηλαδή c=a.
Για έναν κύβο, οι τύποι για τη συνολική επιφάνεια και τον όγκο θα έχουν τη μορφή:
S=6a2
V=a3
Δεδομένου ότι ένας κύβος είναι ένα πρίσμα που αποτελείται από 6 πανομοιότυπα τετράγωνα, οποιοδήποτε παράλληλο ζεύγος τους μπορεί να θεωρηθεί ως βάση.
Ο
Ο Κύβος είναι μια εξαιρετικά συμμετρική φιγούρα, η οποία στη φύση πραγματοποιείται με τη μορφή κρυσταλλικών δικτυωμάτων από πολλά μεταλλικά υλικά και ιοντικών κρυστάλλων. Για παράδειγμα, πλέγματα από χρυσό, ασήμι, χαλκό και τραπέζιτα άλατα είναι κυβικά.
