Η ικανότητα εργασίας με αριθμητικές παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνική ρίζα είναι απαραίτητη για την επιτυχή επίλυση ορισμένων προβλημάτων από το OGE και τη USE. Σε αυτές τις εξετάσεις, συνήθως αρκεί μια βασική κατανόηση του τι είναι η εξαγωγή ριζών και πώς γίνεται στην πράξη.
Ορισμός
Η ν-η ρίζα ενός αριθμού X είναι ένας αριθμός x για τον οποίο η ισότητα είναι αληθής: xn =X.
Η εύρεση της τιμής μιας παράστασης με ρίζα σημαίνει εύρεση του x δεδομένου του X και του n.
Η τετραγωνική ρίζα ή, που είναι η ίδια, η δεύτερη ρίζα του X - ο αριθμός x για τον οποίο ικανοποιείται η ισότητα: x2 =X.
Ονομασία: ∛Х. Εδώ 3 είναι ο βαθμός της ρίζας, Χ είναι η έκφραση ρίζας. Το σύμβολο '√' ονομάζεται συχνά ριζοσπαστικό.
Αν ο αριθμός πάνω από τη ρίζα δεν υποδεικνύει το βαθμό, τότε η προεπιλογή είναι ο βαθμός 2.
Σε ένα σχολικό μάθημα για ακόμη και πτυχία, οι αρνητικές ρίζες και οι ριζοσπαστικές εκφράσεις συνήθως δεν λαμβάνονται υπόψη. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει√-2, και για την παράσταση √4, η σωστή απάντηση είναι 2, παρά το γεγονός ότι (-2)2 ισούται επίσης με 4.
Ορθολογισμός και παραλογισμός των ριζών
Η απλούστερη δυνατή εργασία με μια ρίζα είναι να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης ή να την ελέγξετε για ορθολογισμό.
Για παράδειγμα, υπολογίστε τις τιμές √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 γιατί 52 =25;
- ∛8=2 γιατί 23 =8;
- ∛ - 125=-5 από (-5)3 =-125.
Οι απαντήσεις στα παραδείγματα που δίνονται είναι ορθολογικοί αριθμοί.
Όταν εργάζεστε με εκφράσεις που δεν περιέχουν κυριολεκτικές σταθερές και μεταβλητές, συνιστάται να εκτελείτε πάντα έναν τέτοιο έλεγχο χρησιμοποιώντας την αντίστροφη λειτουργία της αύξησης σε μια φυσική ισχύ. Η εύρεση του αριθμού x στη ντη δύναμη ισοδυναμεί με τον υπολογισμό του γινόμενου n παραγόντων του x.
Υπάρχουν πολλές εκφράσεις με ρίζα, η τιμή των οποίων είναι παράλογη, δηλαδή γράφεται ως άπειρο μη περιοδικό κλάσμα.
Εξ ορισμού, ορθολογικοί είναι αυτοί που μπορούν να εκφραστούν ως κοινό κλάσμα και οι παράλογοι είναι όλοι οι άλλοι πραγματικοί αριθμοί.
Αυτά περιλαμβάνουν √24, √0, 1, √101.
Αν το βιβλίο προβλημάτων λέει: βρείτε την τιμή της παράστασης με ρίζα 2, 3, 5, 6, 7 κ.λπ., δηλαδή από εκείνους τους φυσικούς αριθμούς που δεν περιέχονται στον πίνακα των τετραγώνων, τότε η σωστή απάντηση είναι √ μπορεί να υπάρχει 2 (εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά).
Αξιολόγηση
Σε προβλήματα μεμια ανοιχτή απάντηση, εάν είναι αδύνατο να βρεθεί η τιμή μιας παράστασης με ρίζα και να γραφτεί ως ρητός αριθμός, το αποτέλεσμα πρέπει να παραμείνει ως ρίζα.
Ορισμένες εργασίες ενδέχεται να απαιτούν αξιολόγηση. Για παράδειγμα, συγκρίνετε το 6 και το √37. Η λύση απαιτεί τον τετραγωνισμό και των δύο αριθμών και τη σύγκριση των αποτελεσμάτων. Από δύο αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός του οποίου το τετράγωνο είναι μεγαλύτερο. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί για όλους τους θετικούς αριθμούς:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- σημαίνει √37 > 6.
Με τον ίδιο τρόπο λύνονται προβλήματα στα οποία αρκετοί αριθμοί πρέπει να ταξινομηθούν σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.
Παράδειγμα: Τακτοποιήστε τα 5, √6, √48, √√64 σε αύξουσα σειρά.
Μετά τον τετραγωνισμό, έχουμε: 25, 6, 48, √64. Θα μπορούσε κανείς να τετραγωνίσει όλους τους αριθμούς ξανά για να τους συγκρίνει με το √64, αλλά ισούται με τον ρητό αριθμό 8. 6 < 8 < 25 < 48, οπότε η λύση είναι: 48.
Απλοποίηση της έκφρασης
Συμβαίνει ότι είναι αδύνατο να βρεθεί η τιμή μιας έκφρασης με ρίζα, επομένως πρέπει να απλοποιηθεί. Ο ακόλουθος τύπος βοηθά σε αυτό:
√ab=√a√b.
Η ρίζα του γινομένου δύο αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των ριζών τους. Αυτή η λειτουργία θα απαιτεί επίσης τη δυνατότητα παραγοντοποίησης ενός αριθμού.
Στο αρχικό στάδιο, για να επιταχύνετε την εργασία, συνιστάται να έχετε διαθέσιμο έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς και τετράγωνα. Αυτά τα τραπέζια με συχνέςχρήση στο μέλλον θα θυμόμαστε.
Για παράδειγμα, ο √242 είναι ένας παράλογος αριθμός, μπορείτε να τον μετατρέψετε ως εξής:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Συνήθως το αποτέλεσμα γράφεται ως 11√2 (διαβάστε: έντεκα ρίζες στις δύο).
Αν είναι δύσκολο να δείτε αμέσως σε ποιους δύο παράγοντες πρέπει να αποσυντεθεί ένας αριθμός ώστε να εξαχθεί μια φυσική ρίζα από έναν από αυτούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πλήρη αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες. Εάν ο ίδιος πρώτος αριθμός εμφανίζεται δύο φορές στην επέκταση, αφαιρείται από το σύμβολο της ρίζας. Όταν υπάρχουν πολλοί παράγοντες, μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα σε πολλά βήματα.
Παράδειγμα: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Ο αριθμός 2 εμφανίζεται στην επέκταση 2 φορές (στην πραγματικότητα, περισσότερες από δύο φορές, αλλά μας ενδιαφέρουν ακόμα οι δύο πρώτες εμφανίσεις στην επέκταση).
Το βγάζουμε κάτω από το σύμβολο της ρίζας:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 √(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Επανάληψη της ίδιας ενέργειας:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2 √ (2 × 3 × 5 × 5).
Στην υπόλοιπη ριζική έκφραση, το 2 και το 3 εμφανίζονται μία φορά, επομένως μένει να αφαιρεθεί ο παράγοντας 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
και εκτελέστε αριθμητικές πράξεις:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Λοιπόν, παίρνουμε √2400=20√6.
Αν η εργασία δεν αναφέρει ρητά: "βρείτε την τιμή της έκφρασης με τετραγωνική ρίζα", τότε η επιλογή,με ποια μορφή να αφήσετε την απάντηση (αν θα εξαγάγετε τη ρίζα από κάτω από τη ρίζα) παραμένει στον μαθητή και μπορεί να εξαρτάται από το πρόβλημα που επιλύεται.
Αρχικά, τίθενται υψηλές απαιτήσεις στον σχεδιασμό των εργασιών, στον υπολογισμό, συμπεριλαμβανομένων προφορικών ή γραπτών, χωρίς τη χρήση τεχνικών μέσων.
Μόνο μετά από καλή γνώση των κανόνων για την εργασία με παράλογες αριθμητικές εκφράσεις, είναι λογικό να προχωρήσουμε σε πιο δύσκολες κυριολεκτικές εκφράσεις και στην επίλυση παράλογων εξισώσεων και στον υπολογισμό του εύρους των πιθανών τιμών της έκφρασης κάτω από το ριζοσπαστικό.
Οι μαθητές αντιμετωπίζουν αυτό το είδος προβλήματος στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, καθώς και στο πρώτο έτος των εξειδικευμένων πανεπιστημίων όταν σπουδάζουν μαθηματική ανάλυση και συναφείς κλάδους.
