Όλα τα σώματα που μας περιβάλλουν βρίσκονται σε συνεχή κίνηση. Η κίνηση των σωμάτων στο διάστημα παρατηρείται σε όλα τα επίπεδα κλίμακας, ξεκινώντας από την κίνηση των στοιχειωδών σωματιδίων στα άτομα της ύλης και τελειώνοντας με την επιταχυνόμενη κίνηση των γαλαξιών στο Σύμπαν. Σε κάθε περίπτωση, η διαδικασία της κίνησης συμβαίνει με επιτάχυνση. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε λεπτομερώς την έννοια της εφαπτομενικής επιτάχυνσης και θα δώσουμε έναν τύπο με τον οποίο μπορεί να υπολογιστεί.
Κινηματικές ποσότητες
Πριν μιλήσουμε για την εφαπτομενική επιτάχυνση, ας εξετάσουμε ποιες ποσότητες συνηθίζεται να χαρακτηρίζουμε την αυθαίρετη μηχανική κίνηση των σωμάτων στο διάστημα.
Πρώτα απ' όλα, αυτό είναι το μονοπάτι L. Δείχνει την απόσταση σε μέτρα, εκατοστά, χιλιόμετρα και ούτω καθεξής, το σώμα έχει διανύσει για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο.
Το δεύτερο σημαντικό χαρακτηριστικό στην κινηματική είναι η ταχύτητα του σώματος. Σε αντίθεση με το μονοπάτι, είναι διανυσματική ποσότητα και κατευθύνεται κατά μήκος της τροχιάςκινήσεις του σώματος. Η ταχύτητα καθορίζει το ρυθμό μεταβολής των χωρικών συντεταγμένων στο χρόνο. Ο τύπος για τον υπολογισμό του είναι:
v¯=dL/dt
Η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της διαδρομής.
Τέλος, το τρίτο σημαντικό χαρακτηριστικό της κίνησης των σωμάτων είναι η επιτάχυνση. Σύμφωνα με τον ορισμό της φυσικής, η επιτάχυνση είναι ένα μέγεθος που καθορίζει τη μεταβολή της ταχύτητας με το χρόνο. Ο τύπος για αυτό μπορεί να γραφτεί ως:
a¯=dv¯/dt
Η επιτάχυνση, όπως και η ταχύτητα, είναι επίσης διανυσματική ποσότητα, αλλά σε αντίθεση με αυτήν, κατευθύνεται προς την κατεύθυνση της αλλαγής της ταχύτητας. Η κατεύθυνση της επιτάχυνσης συμπίπτει επίσης με το διάνυσμα της προκύπτουσας δύναμης που ασκεί το σώμα.
Τροχία και επιτάχυνση
Πολλά προβλήματα στη φυσική εξετάζονται στο πλαίσιο της ευθύγραμμης κίνησης. Σε αυτή την περίπτωση, κατά κανόνα, δεν μιλούν για την εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου, αλλά λειτουργούν με γραμμική επιτάχυνση. Ωστόσο, εάν η κίνηση του σώματος δεν είναι γραμμική, τότε η πλήρης επιτάχυνσή του μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο συνιστώσες:
- εφαπτομένη;
- κανονικό.
Στην περίπτωση της γραμμικής κίνησης, η κανονική συνιστώσα είναι μηδέν, επομένως δεν μιλάμε για διανυσματική επέκταση της επιτάχυνσης.
Έτσι, η τροχιά της κίνησης καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τη φύση και τις συνιστώσες της πλήρους επιτάχυνσης. Η τροχιά της κίνησης νοείται ως μια νοητή γραμμή στο χώρο κατά μήκος της οποίας κινείται το σώμα. Οποιοςμια καμπυλόγραμμη τροχιά οδηγεί στην εμφάνιση μη μηδενικών συνιστωσών επιτάχυνσης που σημειώθηκαν παραπάνω.
Προσδιορισμός εφαπτομενικής επιτάχυνσης
Η εφαπτομενική ή, όπως ονομάζεται επίσης, εφαπτομενική επιτάχυνση είναι συστατικό της πλήρους επιτάχυνσης, η οποία κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά της κίνησης. Εφόσον η ταχύτητα κατευθύνεται επίσης κατά μήκος της τροχιάς, το διάνυσμα της εφαπτομενικής επιτάχυνσης συμπίπτει με το διάνυσμα της ταχύτητας.
Η έννοια της επιτάχυνσης ως μέτρο της αλλαγής της ταχύτητας δόθηκε παραπάνω. Δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι διάνυσμα, μπορεί να αλλάξει είτε modulo είτε κατευθυντικά. Η εφαπτομενική επιτάχυνση καθορίζει μόνο τη μεταβολή του συντελεστή ταχύτητας.
Σημειώστε ότι στην περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης, το διάνυσμα της ταχύτητας δεν αλλάζει την κατεύθυνσή του, επομένως, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, η εφαπτομενική επιτάχυνση και η γραμμική επιτάχυνση είναι η ίδια τιμή.
Λήψη της εφαπτομενικής εξίσωσης επιτάχυνσης
Υποθέστε ότι το σώμα κινείται κατά μήκος κάποιας καμπύλης τροχιάς. Τότε η ταχύτητά του v¯ στο επιλεγμένο σημείο μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
v¯=vut¯
Εδώ v είναι ο συντελεστής του διανύσματος v¯, ut¯ είναι το διάνυσμα μοναδιαίας ταχύτητας που κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά.
Χρησιμοποιώντας τον μαθηματικό ορισμό της επιτάχυνσης, παίρνουμε:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Κατά την εύρεση της παραγώγου, χρησιμοποιήθηκε εδώ η ιδιότητα του γινομένου δύο συναρτήσεων. Βλέπουμε ότι η συνολική επιτάχυνση a¯ στο εξεταζόμενο σημείο αντιστοιχεί στο άθροισμα δύο όρων. Είναι η εφαπτομένη και η κανονική επιτάχυνση του σημείου, αντίστοιχα.
Ας πούμε λίγα λόγια για την κανονική επιτάχυνση. Είναι υπεύθυνος για την αλλαγή του διανύσματος της ταχύτητας, δηλαδή για την αλλαγή της κατεύθυνσης κίνησης του σώματος κατά μήκος της καμπύλης. Εάν υπολογίσουμε ρητά την τιμή του δεύτερου όρου, παίρνουμε τον τύπο για την κανονική επιτάχυνση:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Η κανονική επιτάχυνση κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής που έχει αποκατασταθεί στο δεδομένο σημείο της καμπύλης. Στην περίπτωση της κυκλικής κίνησης, η κανονική επιτάχυνση είναι κεντρομόλος.
Εφαπτομενική εξίσωση επιτάχυνσης at¯ είναι:
at¯=dv/dtut¯
Αυτή η έκφραση λέει ότι η εφαπτομενική επιτάχυνση δεν αντιστοιχεί σε αλλαγή κατεύθυνσης, αλλά σε αλλαγή του συντελεστή ταχύτητας v¯ σε μια χρονική στιγμή. Εφόσον η εφαπτομενική επιτάχυνση κατευθύνεται εφαπτομενικά στο εξεταζόμενο σημείο της τροχιάς, είναι πάντα κάθετη στην κανονική συνιστώσα.
Εφαπτομενική επιτάχυνση και συντελεστής συνολικής επιτάχυνσης
Παρουσιάστηκαν όλες οι παραπάνω πληροφορίες που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τη συνολική επιτάχυνση μέσω της εφαπτομένης και της κανονικής. Πράγματι, δεδομένου ότι και τα δύο συστατικά είναι αμοιβαία κάθετα, τα διανύσματά τους σχηματίζουν τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου,του οποίου η υποτείνουσα είναι το διάνυσμα της συνολικής επιτάχυνσης. Αυτό το γεγονός μας επιτρέπει να γράψουμε τον τύπο για τη μονάδα συνολικής επιτάχυνσης με την ακόλουθη μορφή:
a=√(a2 + at2)
Η γωνία θ μεταξύ της πλήρους επιτάχυνσης και της εφαπτομενικής επιτάχυνσης μπορεί να οριστεί ως εξής:
θ=arccos(at/a)
Όσο μεγαλύτερη είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση, τόσο πιο κοντά είναι οι κατευθύνσεις της εφαπτομενικής και της πλήρους επιτάχυνσης.
Σχέση μεταξύ εφαπτομενικής και γωνιακής επιτάχυνσης
Μια τυπική καμπυλόγραμμη τροχιά κατά μήκος της οποίας κινούνται τα σώματα στην τεχνολογία και τη φύση είναι ένας κύκλος. Πράγματι, η κίνηση των γραναζιών, των λεπίδων και των πλανητών γύρω από τον άξονά τους ή γύρω από τα φωτιστικά τους γίνεται ακριβώς σε κύκλο. Η κίνηση που αντιστοιχεί σε αυτή την τροχιά ονομάζεται περιστροφή.
Η κινηματική της περιστροφής χαρακτηρίζεται από τις ίδιες τιμές με την κινηματική της κίνησης κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής, ωστόσο, έχουν γωνιακό χαρακτήρα. Έτσι, για την περιγραφή της περιστροφής χρησιμοποιούνται η κεντρική γωνία περιστροφής θ, η γωνιακή ταχύτητα ω και η επιτάχυνση α. Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για αυτές τις ποσότητες:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Υποθέστε ότι το σώμα έχει κάνει μία περιστροφή γύρω από τον άξονα περιστροφής σε χρόνο t, τότε για τη γωνιακή ταχύτητα μπορούμε να γράψουμε:
ω=2pi/t
Η γραμμική ταχύτητα σε αυτήν την περίπτωση θα είναι ίση με:
v=2pir/t
Όπου r είναι η ακτίνα της τροχιάς. Οι δύο τελευταίες εκφράσεις μας επιτρέπουν να γράψουμεο τύπος για τη σύνδεση δύο ταχυτήτων:
v=ωr
Τώρα υπολογίζουμε τη χρονική παράγωγο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης, παίρνουμε:
dv/dt=rdω/dt
Η δεξιά πλευρά της ισότητας είναι το γινόμενο της γωνιακής επιτάχυνσης και της ακτίνας του κύκλου. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι η μεταβολή του συντελεστή ταχύτητας, δηλαδή η εφαπτομενική επιτάχυνση.
Έτσι, η εφαπτομενική επιτάχυνση και μια παρόμοια γωνιακή τιμή σχετίζονται με ισότητα:
at=αr
Αν υποθέσουμε ότι ο δίσκος περιστρέφεται, τότε η εφαπτομενική επιτάχυνση ενός σημείου με σταθερή τιμή α θα αυξάνεται γραμμικά όσο αυξάνεται η απόσταση από αυτό το σημείο στον άξονα περιστροφής r.
Στη συνέχεια, θα λύσουμε δύο προβλήματα χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους.
Προσδιορισμός εφαπτομενικής επιτάχυνσης από συνάρτηση γνωστής ταχύτητας
Είναι γνωστό ότι η ταχύτητα ενός σώματος που κινείται κατά μήκος μιας συγκεκριμένης καμπύλης τροχιάς περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση του χρόνου:
v=2t2+ 3t + 5
Είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε τον τύπο για την εφαπτομενική επιτάχυνση και να βρείτε την τιμή της τη στιγμή t=5 δευτερόλεπτα.
Πρώτα, ας γράψουμε τον τύπο για την ενότητα εφαπτομενικής επιτάχυνσης:
at=dv/dt
Δηλαδή, για να υπολογίσετε τη συνάρτηση at(t), θα πρέπει να προσδιορίσετε την παράγωγο της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο. Έχουμε:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Αντικαθιστώντας το χρόνο t=5 δευτερόλεπτα στην παράσταση που προκύπτει, καταλήγουμε στην απάντηση: at=23 m/s2.
Σημειώστε ότι η γραφική παράσταση της ταχύτητας έναντι του χρόνου σε αυτό το πρόβλημα είναι παραβολή, ενώ η γραφική παράσταση της εφαπτομενικής επιτάχυνσης είναι ευθεία γραμμή.
Εργασία εφαπτομενικής επιτάχυνσης
Είναι γνωστό ότι το υλικό σημείο άρχισε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη περιστροφή από τη μηδενική χρονική στιγμή. 10 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη της περιστροφής, η κεντρομόλος επιτάχυνσή του έγινε ίση με 20 m/s2. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η εφαπτομενική επιτάχυνση ενός σημείου μετά από 10 δευτερόλεπτα, εάν είναι γνωστό ότι η ακτίνα περιστροφής είναι 1 μέτρο.
Πρώτα, γράψτε τον τύπο για την κεντρομόλο ή την κανονική επιτάχυνση ac:
ac=v2/r
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας, παίρνουμε:
ac=ω2r
Σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση, η ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση σχετίζονται με τον τύπο:
ω=αt
Αντικαθιστώντας το ω στην εξίσωση για έναc, παίρνουμε:
ac=α2t2r
Η γραμμική επιτάχυνση μέσω της εφαπτομενικής επιτάχυνσης εκφράζεται ως εξής:
α=at/r
Αντικαταστήστε την τελευταία ισότητα με την προτελευταία, παίρνουμε:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Ο τελευταίος τύπος, λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα από την κατάσταση του προβλήματος, οδηγεί στην απάντηση: at=0, 447m/s2.
