Η μελέτη της φυσικής ξεκινά με την εξέταση της μηχανικής κίνησης. Στη γενική περίπτωση, τα σώματα κινούνται κατά μήκος καμπύλων τροχιών με μεταβλητές ταχύτητες. Για την περιγραφή τους χρησιμοποιείται η έννοια της επιτάχυνσης. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τι είναι η εφαπτομενική και η κανονική επιτάχυνση.
Κινηματικές ποσότητες. Ταχύτητα και επιτάχυνση στη φυσική
Η κινηματική της μηχανικής κίνησης είναι ένας κλάδος της φυσικής που μελετά και περιγράφει την κίνηση των σωμάτων στο διάστημα. Η κινηματική λειτουργεί με τρεις κύριες ποσότητες:
- διανυθείσα διαδρομή;
- speed;
- επιτάχυνση.
Σε περίπτωση κίνησης κατά μήκος κύκλου, χρησιμοποιούνται παρόμοια κινηματικά χαρακτηριστικά, τα οποία ανάγονται στην κεντρική γωνία του κύκλου.
Όλοι είναι εξοικειωμένοι με την έννοια της ταχύτητας. Δείχνει το ρυθμό μεταβολής των συντεταγμένων των σωμάτων σε κίνηση. Η ταχύτητα κατευθύνεται πάντα εφαπτομενικά στη γραμμή κατά την οποία κινείται το σώμα (τροχιές). Επιπλέον, η γραμμική ταχύτητα θα συμβολίζεται με v¯ και η γωνιακή ταχύτητα με ω¯.
Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής των v¯ και ω¯. Η επιτάχυνση είναι επίσης διανυσματική ποσότητα, αλλά η κατεύθυνσή της είναι εντελώς ανεξάρτητη από το διάνυσμα της ταχύτητας. Η επιτάχυνση κατευθύνεται πάντα προς τη δύναμη που ασκεί το σώμα, η οποία προκαλεί αλλαγή στο διάνυσμα της ταχύτητας. Η επιτάχυνση για κάθε τύπο κίνησης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
a¯=dv¯ / dt
Όσο περισσότερο αλλάζει η ταχύτητα στο χρονικό διάστημα dt, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η επιτάχυνση.
Για να κατανοήσουμε τις πληροφορίες που παρουσιάζονται παρακάτω, πρέπει να θυμόμαστε ότι η επιτάχυνση προκύπτει από οποιαδήποτε αλλαγή στην ταχύτητα, συμπεριλαμβανομένων των αλλαγών τόσο στο μέγεθός της όσο και στην κατεύθυνσή της.
Εφαπτομενική και κανονική επιτάχυνση
Υποθέστε ότι ένα υλικό σημείο κινείται κατά μήκος κάποιας καμπύλης γραμμής. Είναι γνωστό ότι κάποια στιγμή t η ταχύτητά του ήταν ίση με v¯. Δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι ένα διάνυσμα που εφάπτεται στην τροχιά, μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
v¯=v × ut¯
Εδώ v είναι το μήκος του διανύσματος v¯ και ut¯ είναι το διάνυσμα μοναδιαίας ταχύτητας.
Για να υπολογίσετε το συνολικό διάνυσμα επιτάχυνσης τη στιγμή t, πρέπει να βρείτε τη χρονική παράγωγο της ταχύτητας. Έχουμε:
a¯=dv¯ / dt=d (v × ut¯) / dt
Δεδομένου ότι το μέτρο της ταχύτητας και το μοναδιαίο διάνυσμα αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου, τότε, χρησιμοποιώντας τον κανόνα για την εύρεση της παραγώγου του γινομένου των συναρτήσεων, παίρνουμε:
a¯=dv / dt ×ut¯ + d (ut¯) / dt × v
Ο πρώτος όρος στον τύπο ονομάζεται συνιστώσα εφαπτομενικής ή εφαπτομενικής επιτάχυνσης, ο δεύτερος όρος είναι η κανονική επιτάχυνση.
Εφαπτομενική επιτάχυνση
Ας γράψουμε ξανά τον τύπο για τον υπολογισμό της εφαπτομενικής επιτάχυνσης:
at¯=dv / dt × ut¯
Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι η εφαπτομενική (εφαπτομενική) επιτάχυνση κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το διάνυσμα της ταχύτητας σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς. Καθορίζει αριθμητικά τη μεταβολή του συντελεστή ταχύτητας. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης, η συνολική επιτάχυνση αποτελείται μόνο από μια εφαπτομενική συνιστώσα. Η κανονική επιτάχυνση για αυτόν τον τύπο κίνησης είναι μηδέν.
Ο λόγος για την εμφάνιση της ποσότητας at¯ είναι η επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης σε ένα κινούμενο σώμα.
Σε περίπτωση περιστροφής με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α, η συνιστώσα της εφαπτομενικής επιτάχυνσης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
at=α × r
Εδώ r είναι η ακτίνα περιστροφής του εξεταζόμενου υλικού σημείου, για το οποίο υπολογίζεται η τιμή at.
Κανονική ή κεντρομόλος επιτάχυνση
Τώρα ας γράψουμε ξανά τη δεύτερη συνιστώσα της συνολικής επιτάχυνσης:
ac¯=d (ut¯) / dt × v
Από γεωμετρικές εκτιμήσεις, μπορεί να φανεί ότι η χρονική παράγωγος της μονάδας που εφάπτεται στο διάνυσμα της τροχιάς είναι ίση με την αναλογία του συντελεστή ταχύτητας v προς την ακτίνα r στοσημείο στο χρόνο t. Τότε η παραπάνω έκφραση θα γραφτεί ως εξής:
ac=v2 / r
Αυτός ο τύπος για την κανονική επιτάχυνση δείχνει ότι, σε αντίθεση με την εφαπτομενική συνιστώσα, δεν εξαρτάται από τη μεταβολή της ταχύτητας, αλλά καθορίζεται από το τετράγωνο του συντελεστή της ίδιας της ταχύτητας. Επίσης, το ac αυξάνεται με τη μείωση της ακτίνας περιστροφής σε σταθερό v.
Η κανονική επιτάχυνση ονομάζεται κεντρομόλος επειδή κατευθύνεται από το κέντρο μάζας ενός περιστρεφόμενου σώματος προς τον άξονα περιστροφής.
Η αιτία αυτής της επιτάχυνσης είναι η κεντρική συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στο σώμα. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της περιστροφής των πλανητών γύρω από τον Ήλιο μας, η κεντρομόλος δύναμη είναι η βαρυτική έλξη.
Η κανονική επιτάχυνση ενός σώματος αλλάζει μόνο την κατεύθυνση της ταχύτητας. Δεν μπορεί να αλλάξει τη μονάδα του. Αυτό το γεγονός είναι η σημαντική διαφορά του από την εφαπτομενική συνιστώσα της συνολικής επιτάχυνσης.
Δεδομένου ότι η κεντρομόλος επιτάχυνση εμφανίζεται πάντα όταν περιστρέφεται το διάνυσμα της ταχύτητας, υπάρχει επίσης και στην περίπτωση της ομοιόμορφης κυκλικής περιστροφής, στην οποία η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι μηδέν.
Στην πράξη, μπορείτε να αισθανθείτε την επίδραση της κανονικής επιτάχυνσης αν βρίσκεστε σε αυτοκίνητο όταν κάνει μεγάλη στροφή. Σε αυτή την περίπτωση, οι επιβάτες πιέζονται στην αντίθετη φορά περιστροφής της πόρτας του αυτοκινήτου. Αυτό το φαινόμενο είναι αποτέλεσμα της δράσης δύο δυνάμεων: της φυγόκεντρης (μετακίνηση των επιβατών από τις θέσεις τους) και της κεντρομόλου (πίεση στους επιβάτες από το πλάι της πόρτας του αυτοκινήτου).
Μονάδα και κατεύθυνση πλήρους επιτάχυνσης
Έτσι, ανακαλύψαμε ότι η εφαπτομενική συνιστώσα του εξεταζόμενου φυσικού μεγέθους κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά της κίνησης. Με τη σειρά του, η κανονική συνιστώσα είναι κάθετη στην τροχιά στο δεδομένο σημείο. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης είναι κάθετες μεταξύ τους. Η διανυσματική τους πρόσθεση δίνει το διάνυσμα πλήρους επιτάχυνσης. Μπορείτε να υπολογίσετε την ενότητα της χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
a=√(at2 + ac2)
Η κατεύθυνση του διανύσματος a¯ μπορεί να προσδιοριστεί τόσο σε σχέση με το διάνυσμα at¯ όσο και σε σχέση με ac¯. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, η γωνία μεταξύ πλήρους και κανονικής επιτάχυνσης είναι:
φ=arccos(ac / a)
Λύση του προβλήματος της κεντρομόλου επιτάχυνσης
Ένας τροχός που έχει ακτίνα 20 cm περιστρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση 5 rad/s2 για 10 δευτερόλεπτα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η κανονική επιτάχυνση των σημείων που βρίσκονται στην περιφέρεια του τροχού μετά τον καθορισμένο χρόνο.
Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη σχέση μεταξύ εφαπτομενικής και γωνιακής επιτάχυνσης. Παίρνουμε:
at=α × r
Δεδομένου ότι η ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση διήρκεσε για το χρόνο t=10 δευτερόλεπτα, η γραμμική ταχύτητα που αποκτήθηκε κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου ήταν ίση με:
v=at × t=α × r × t
Αντικαθιστούμε τον τύπο που προκύπτει στην αντίστοιχη έκφραση για κανονική επιτάχυνση:
ac=v2 / r=α2 × t 2 × r
Απομένει να αντικαταστήσουμε τις γνωστές τιμές σε αυτήν την εξίσωση και να γράψουμε την απάντηση: ac=500 m/s2.
