Δευτερόλεπτα, εφαπτομένες - όλα αυτά ακούγονταν εκατοντάδες φορές στα μαθήματα γεωμετρίας. Αλλά η αποφοίτηση από το σχολείο τελείωσε, τα χρόνια περνούν και όλη αυτή η γνώση έχει ξεχαστεί. Τι πρέπει να θυμάστε;
Essence
Ο όρος "εφαπτομένη σε κύκλο" είναι πιθανώς γνωστός σε όλους. Αλλά είναι απίθανο όλοι να μπορέσουν να διατυπώσουν γρήγορα τον ορισμό του. Εν τω μεταξύ, μια εφαπτομένη είναι μια τόσο ευθεία γραμμή που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με έναν κύκλο που την τέμνει μόνο σε ένα σημείο. Μπορεί να υπάρχει μια τεράστια ποικιλία από αυτά, αλλά όλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες, οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, το σημείο επαφής είναι το μέρος όπου τέμνονται ο κύκλος και η γραμμή. Σε κάθε περίπτωση, είναι ένα, αλλά αν υπάρχουν περισσότερες, τότε θα είναι ένα τμήμα.
Ιστορία ανακάλυψης και μελέτης
Η έννοια της εφαπτομένης εμφανίστηκε στην αρχαιότητα. Η κατασκευή αυτών των ευθειών γραμμών, πρώτα σε έναν κύκλο, και στη συνέχεια σε ελλείψεις, παραβολές και υπερβολές με τη βοήθεια ενός χάρακα και μιας πυξίδας, πραγματοποιήθηκε ακόμη και στα αρχικά στάδια της ανάπτυξης της γεωμετρίας. Φυσικά, η ιστορία δεν έχει διατηρήσει το όνομα του ανακάλυψε, αλλάείναι προφανές ότι ακόμη και εκείνη την εποχή, οι άνθρωποι γνώριζαν καλά τις ιδιότητες της εφαπτομένης στον κύκλο.
Στη σύγχρονη εποχή, το ενδιαφέρον για αυτό το φαινόμενο φούντωσε ξανά - ένας νέος κύκλος μελέτης αυτής της έννοιας ξεκίνησε, σε συνδυασμό με την ανακάλυψη νέων καμπυλών. Έτσι, ο Γαλιλαίος εισήγαγε την έννοια του κυκλοειδούς και ο Φερμά και ο Ντεκάρτ έφτιαξαν μια εφαπτομένη σε αυτό. Όσο για τους κύκλους, φαίνεται ότι δεν έχουν απομείνει μυστικά για τους αρχαίους σε αυτόν τον χώρο.
Ιδιότητες
Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο τομής θα είναι κάθετη στη γραμμή. Αυτό είναι
η κύρια, αλλά όχι η μόνη ιδιότητα που έχει μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο. Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό περιλαμβάνει ήδη δύο ευθείες γραμμές. Έτσι, μέσω ενός σημείου που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, μπορούν να σχεδιαστούν δύο εφαπτομένες, ενώ τα τμήματα τους θα είναι ίσα. Υπάρχει ένα άλλο θεώρημα για αυτό το θέμα, αλλά σπάνια καλύπτεται στο πλαίσιο ενός τυπικού σχολικού μαθήματος, αν και είναι εξαιρετικά βολικό για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων. Ακούγεται έτσι. Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, μια εφαπτομένη και μια τομή έλκονται σε αυτόν. Σχηματίζονται τα τμήματα AB, AC και AD. Α είναι η τομή των γραμμών, Β είναι το σημείο επαφής, Γ και Δ είναι οι τομές. Σε αυτήν την περίπτωση, θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το μήκος της εφαπτομένης στον κύκλο, στο τετράγωνο, θα είναι ίσο με το γινόμενο των τμημάτων AC και AD.
Από τα παραπάνω υπάρχει μια σημαντική συνέπεια. Για κάθε σημείο του κύκλου, μπορείτε να δημιουργήσετε μια εφαπτομένη, αλλά μόνο μία. Η απόδειξη αυτού είναι αρκετά απλή: θεωρητικά ρίχνοντας μια κάθετο από την ακτίνα πάνω της, διαπιστώνουμε ότι η σχηματισμένητρίγωνο δεν μπορεί να υπάρχει. Και αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη είναι η μόνη.
Κτίριο
Μεταξύ άλλων προβλημάτων στη γεωμετρία, υπάρχει μια ειδική κατηγορία, κατά κανόνα, όχι
αγαπήθηκε από μαθητές και φοιτητές. Για να λύσετε εργασίες από αυτήν την κατηγορία, χρειάζεστε μόνο μια πυξίδα και έναν χάρακα. Αυτά είναι εργασίες οικοδόμησης. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για την κατασκευή μιας εφαπτομένης.
Λοιπόν, δίνεται ένας κύκλος και ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τα όριά του. Και είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη μέσα από αυτά. Πως να το κάνεις? Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να σχεδιάσετε ένα τμήμα μεταξύ του κέντρου του κύκλου O και ενός δεδομένου σημείου. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, χωρίστε το στη μέση. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ορίσετε την ακτίνα - λίγο περισσότερο από το μισό της απόστασης μεταξύ του κέντρου του αρχικού κύκλου και του δεδομένου σημείου. Μετά από αυτό, πρέπει να δημιουργήσετε δύο τεμνόμενα τόξα. Επιπλέον, η ακτίνα της πυξίδας δεν χρειάζεται να αλλάξει και το κέντρο κάθε τμήματος του κύκλου θα είναι το αρχικό σημείο και το Ο, αντίστοιχα. Οι διασταυρώσεις των τόξων πρέπει να συνδέονται, γεγονός που θα χωρίσει το τμήμα στο μισό. Ορίστε μια ακτίνα στην πυξίδα ίση με αυτή την απόσταση. Στη συνέχεια, με το κέντρο στο σημείο τομής, σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο. Τόσο το αρχικό σημείο όσο και το O. Σε αυτήν την περίπτωση, θα υπάρχουν δύο ακόμη τομές με τον κύκλο που δίνεται στο πρόβλημα. Θα είναι τα σημεία επαφής για το αρχικά δεδομένο σημείο.
Ενδιαφέρον
Ήταν η κατασκευή των εφαπτομένων στον κύκλο που οδήγησε στη γέννηση του
διαφορικός λογισμός. Η πρώτη εργασία σε αυτό το θέμα ήτανπου δημοσιεύτηκε από τον διάσημο Γερμανό μαθηματικό Leibniz. Προέβλεπε τη δυνατότητα εύρεσης μεγίστων, ελαχίστων και εφαπτομένων, ανεξάρτητα από κλασματικές και παράλογες τιμές. Λοιπόν, τώρα χρησιμοποιείται και για πολλούς άλλους υπολογισμούς.
Εξάλλου, η εφαπτομένη στον κύκλο σχετίζεται με τη γεωμετρική σημασία της εφαπτομένης. Από εκεί προέρχεται το όνομά του. Μετάφραση από τα λατινικά, tangens σημαίνει "εφαπτομένη". Έτσι, αυτή η έννοια συνδέεται όχι μόνο με τη γεωμετρία και τον διαφορικό λογισμό, αλλά και με την τριγωνομετρία.
Δύο κύκλοι
Όχι πάντα μια εφαπτομένη επηρεάζει μόνο ένα σχήμα. Εάν ένας τεράστιος αριθμός ευθειών μπορεί να σχεδιαστεί σε έναν κύκλο, τότε γιατί όχι και το αντίστροφο; Μπορώ. Αλλά το έργο σε αυτήν την περίπτωση είναι πολύ περίπλοκο, επειδή η εφαπτομένη σε δύο κύκλους μπορεί να μην διέρχεται από κανένα σημείο και η σχετική θέση όλων αυτών των ψηφίων μπορεί να είναι πολύ
διαφορετικό.
Τύποι και ποικιλίες
Όταν πρόκειται για δύο κύκλους και μία ή περισσότερες ευθείες, ακόμα κι αν είναι γνωστό ότι πρόκειται για εφαπτόμενες, δεν γίνεται αμέσως σαφές πώς βρίσκονται όλα αυτά τα σχήματα μεταξύ τους. Με βάση αυτό, υπάρχουν διάφορες ποικιλίες. Έτσι, οι κύκλοι μπορεί να έχουν ένα ή δύο κοινά σημεία ή να μην τα έχουν καθόλου. Στην πρώτη περίπτωση, θα διασταυρωθούν και στη δεύτερη, θα αγγίξουν. Και εδώ υπάρχουν δύο ποικιλίες. Εάν ένας κύκλος είναι, όπως ήταν, ενσωματωμένος στον δεύτερο, τότε η αφή ονομάζεται εσωτερική, αν όχι, τότε εξωτερική. κατανοούν αμοιβαίαη θέση των σχημάτων είναι δυνατή όχι μόνο με βάση το σχέδιο, αλλά και έχοντας πληροφορίες για το άθροισμα των ακτίνων τους και την απόσταση μεταξύ των κέντρων τους. Αν αυτές οι δύο ποσότητες είναι ίσες, τότε οι κύκλοι αγγίζουν. Αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο, τέμνονται και αν είναι μικρότερο, τότε δεν έχουν κοινά σημεία.
Το ίδιο και με τις ευθείες γραμμές. Για κάθε δύο κύκλους που δεν έχουν κοινά σημεία, μπορείτε να
κατασκευάστε τέσσερις εφαπτομένες. Δύο από αυτά θα τέμνονται μεταξύ των φιγούρων, ονομάζονται εσωτερικά. Μερικά άλλα είναι εξωτερικά.
Αν μιλάμε για κύκλους που έχουν ένα κοινό σημείο, τότε η εργασία είναι πολύ απλοποιημένη. Γεγονός είναι ότι για οποιαδήποτε αμοιβαία διευθέτηση σε αυτή την περίπτωση, θα έχουν μόνο μία εφαπτομένη. Και θα περάσει από το σημείο της τομής τους. Άρα η κατασκευή της δυσκολίας δεν θα προκαλέσει.
Αν τα σχήματα έχουν δύο σημεία τομής, τότε μπορεί να κατασκευαστεί μια ευθεία γραμμή για αυτά, εφαπτομένη στον κύκλο, τόσο το ένα όσο και το δεύτερο, αλλά μόνο το εξωτερικό. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι παρόμοια με αυτή που θα συζητηθεί παρακάτω.
Επίλυση προβλήματος
Τόσο οι εσωτερικές όσο και οι εξωτερικές εφαπτομένες σε δύο κύκλους δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν, αν και αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί. Το γεγονός είναι ότι χρησιμοποιείται μια βοηθητική φιγούρα για αυτό, οπότε σκεφτείτε αυτήν τη μέθοδο μόνοι σας
αρκετά προβληματικό. Έτσι, δίνονται δύο κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες και κέντρα O1 και O2. Για αυτούς, πρέπει να δημιουργήσετε δύο ζεύγη εφαπτομένων.
Πρώτα απ' όλα, κοντά στο κέντρο του μεγαλύτερουοι κύκλοι πρέπει να κατασκευαστούν βοηθητικά. Στην περίπτωση αυτή, η διαφορά μεταξύ των ακτίνων των δύο αρχικών σχημάτων πρέπει να καθοριστεί στην πυξίδα. Οι εφαπτομένες στον βοηθητικό κύκλο κατασκευάζονται από το κέντρο του μικρότερου κύκλου. Μετά από αυτό, από το O1 και το O2, σχεδιάζονται κάθετοι σε αυτές τις γραμμές μέχρι να τέμνονται με τα αρχικά σχήματα. Όπως προκύπτει από την κύρια ιδιότητα της εφαπτομένης, βρίσκονται τα επιθυμητά σημεία και στους δύο κύκλους. Το πρόβλημα λύθηκε, τουλάχιστον το πρώτο μέρος του.
Για να κατασκευάσετε εσωτερικές εφαπτομένες, θα πρέπει να λύσετε πρακτικά
μια παρόμοια εργασία. Και πάλι, χρειάζεται ένα βοηθητικό σχήμα, αλλά αυτή τη φορά η ακτίνα του θα είναι ίση με το άθροισμα των αρχικών. Οι εφαπτομένες κατασκευάζονται σε αυτό από το κέντρο ενός από τους δεδομένους κύκλους. Η περαιτέρω πορεία της λύσης μπορεί να γίνει κατανοητή από το προηγούμενο παράδειγμα.
Η εφαπτομένη σε έναν κύκλο ή ακόμα και σε δύο ή περισσότερους δεν είναι τόσο δύσκολο έργο. Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν πάψει από καιρό να επιλύουν τέτοια προβλήματα χειροκίνητα και εμπιστεύονται τους υπολογισμούς σε ειδικά προγράμματα. Αλλά μην νομίζετε ότι τώρα δεν είναι απαραίτητο να μπορείτε να το κάνετε μόνοι σας, γιατί για να διαμορφώσετε σωστά μια εργασία για έναν υπολογιστή, πρέπει να κάνετε και να καταλάβετε πολλά. Δυστυχώς, υπάρχουν φόβοι ότι μετά την τελική μετάβαση στη δοκιμαστική μορφή ελέγχου γνώσης, οι εργασίες κατασκευής θα προκαλούν όλο και περισσότερες δυσκολίες στους μαθητές.
Όσον αφορά την εύρεση κοινών εφαπτομένων για περισσότερους κύκλους, δεν είναι πάντα δυνατό, ακόμα κι αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μπορείτε να βρείτε μια τόσο ευθεία γραμμή.
Παραδείγματα ζωής
Μια κοινή εφαπτομένη σε δύο κύκλους συναντάται συχνά στην πράξη, αν και δεν είναι πάντα αισθητή. Μεταφορείς, συστήματα μπλοκ, ιμάντες μετάδοσης τροχαλίας, τάνυση νήματος σε μια ραπτομηχανή, ακόμα και απλώς μια αλυσίδα ποδηλάτου - όλα αυτά είναι παραδείγματα από τη ζωή. Μην νομίζετε λοιπόν ότι τα γεωμετρικά προβλήματα παραμένουν μόνο στη θεωρία: στη μηχανική, τη φυσική, τις κατασκευές και πολλούς άλλους τομείς, βρίσκουν πρακτικές εφαρμογές.
