Εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Με τη διαίρεση των μαθηματικών σε άλγεβρα και γεωμετρία, το εκπαιδευτικό υλικό γίνεται πιο δύσκολο. Εμφανίζονται νέες φιγούρες και ειδικές περιπτώσεις. Για να κατανοήσουμε καλά το υλικό, είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τις έννοιες, τις ιδιότητες των αντικειμένων και τα σχετικά θεωρήματα.

Γενικές έννοιες

Τετράπλευρο σημαίνει γεωμετρικό σχήμα. Αποτελείται από 4 σημεία. Επιπλέον, 3 από αυτά δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Υπάρχουν τμήματα που συνδέουν τα καθορισμένα σημεία σε σειρά.

Όλα τα τετράπλευρα που μελετήθηκαν στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Συμπέρασμα: οποιοδήποτε αντικείμενο από το σχήμα που παρουσιάζεται έχει τις ιδιότητες του προηγούμενου σχήματος.

Ένα τετράπλευρο μπορεί να είναι των παρακάτω τύπων:

Παραλληλόγραμμο. Ο παραλληλισμός των απέναντι πλευρών του αποδεικνύεται από τα αντίστοιχα θεωρήματα.
Τράπεζο. Ένα τετράπλευρο με παράλληλες βάσεις. Τα άλλα δύο μέρη δεν είναι.
Ορθογώνιο. Μια φιγούρα που έχει και τις 4 γωνίες=90º.
Ρόμβος. Φιγούρα με όλες τις πλευρές ίσες.
Τετράγωνο. Συνδυάζει τις ιδιότητες των δύο τελευταίων σχημάτων. Έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες οι γωνίες είναι ορθές.

Ο κύριος ορισμός αυτού του θέματος είναι ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αποτελείται στα εξής. Αυτό είναι ένα σχήμα γύρω από το οποίο περιγράφεται ένας κύκλος. Πρέπει να περάσει από όλες τις κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο αθροίζονται σε 360º.

Δεν μπορεί να εγγραφεί κάθε τετράπλευρο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι κάθετες διχοτόμοι των 4 πλευρών μπορεί να μην τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτό θα καταστήσει αδύνατο να βρεθεί το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλει ένα τετράγωνο.

Ειδικές περιπτώσεις

Υπάρχουν εξαιρέσεις σε κάθε κανόνα. Άρα, σε αυτό το θέμα υπάρχουν και ειδικές περιπτώσεις:

Ένα παραλληλόγραμμο, ως τέτοιο, δεν μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Μόνο η ειδική του περίπτωση. Είναι ένα ορθογώνιο.
Αν όλες οι κορυφές ενός ρόμβου βρίσκονται στην περιγραφόμενη γραμμή, τότε είναι τετράγωνο.
Όλες οι κορυφές του τραπεζοειδούς βρίσκονται στο όριο του κύκλου. Σε αυτή την περίπτωση, μιλούν για ισοσκελή μορφή.

Ιδιότητες εγγεγραμμένου τετράπλευρου σε κύκλο

Προτού λύσετε απλά και σύνθετα προβλήματα σε ένα δεδομένο θέμα, πρέπει να επαληθεύσετε τις γνώσεις σας. Χωρίς τη μελέτη του εκπαιδευτικού υλικού, είναι αδύνατο να λυθεί ένα μόνο παράδειγμα.

Θεώρημα 1

Το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι 180º.

ιδιότητες εγγεγραμμένου τετράπλευρου σε κύκλο

Απόδειξη

Δίνεται: το τετράπλευρο ABCD εγγράφεται σε κύκλο. Το κέντρο του είναι το σημείο Ο. Πρέπει να αποδείξουμε ότι _<A + _<C=180º και _< B + _<D=180º.

Πρέπει να λάβετε υπόψη τα στοιχεία που παρουσιάζονται.

_{<Α εγγράφεται σε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο O. Μετριέται σε ½ BCD (μισό τόξο).}

_{<C εγγράφεται στον ίδιο κύκλο. Μετράται κατά ½ BAD (μισό τόξο).}
BAD και BCD σχηματίζουν έναν ολόκληρο κύκλο, δηλαδή το μέγεθός τους είναι 360º.

_<A + _{<C ισούνται με το μισό άθροισμα των μισών τόξων που αντιπροσωπεύονται.}

Επομένως _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

γωνίες τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο

Με παρόμοιο τρόπο, η απόδειξη για _<B και _{<D. Ωστόσο, υπάρχει μια δεύτερη λύση στο πρόβλημα.}

Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τετράπλευρου είναι 360º.

Επειδή _<A + _<C=180º. Αντίστοιχα, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Θεώρημα 2

(Συχνά ονομάζεται αντίστροφο) Αν σε τετράπλευρο _<A + _<C=180º και _{<B +} <_{D=180º (αν είναι απέναντι), τότε ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τέτοιο σχήμα.}

Απόδειξη

Δίνεται το άθροισμα των απέναντι γωνιών του τετραπλεύρου ABCD ίσο με 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Πρέπει να αποδείξουμε ότι ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από το ABCD.}

Από το μάθημα της γεωμετρίας είναι γνωστό ότι ένας κύκλος μπορεί να τραβηχτεί σε 3 σημεία ενός τετράπλευρου. Για παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα σημεία Α, Β, Γ. Πού θα βρίσκεται το σημείο Δ; Υπάρχουν 3 εικασίες:

Καταλήγει μέσα στον κύκλο. Σε αυτήν την περίπτωση, το D δεν αγγίζει τη γραμμή.
Έξω από τον κύκλο. Βγαίνει πολύ πέρα από τη γραμμή που περιγράφεται.
Βγαίνει σε κύκλο.

Θα πρέπει να υποτεθεί ότι το D βρίσκεται μέσα στον κύκλο. Η θέση της υποδεικνυόμενης κορυφής καταλαμβάνεται από το D´. Βγαίνει τετράπλευρο ABCD´.

Το αποτέλεσμα είναι:_<B + _<D´=2η.

Αν συνεχίσουμε AD´ στη διασταύρωση με τον υπάρχοντα κύκλο με κέντρο στο σημείο E και συνδέσουμε τα E και C, θα έχουμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCE. Από το πρώτο θεώρημα προκύπτει η ισότητα:

Σύμφωνα με τους νόμους της γεωμετρίας, η έκφραση δεν είναι έγκυρη επειδή _<D´ είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου CD´E. Συνεπώς, θα πρέπει να είναι περισσότερο από _{<E. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το D πρέπει να βρίσκεται είτε στον κύκλο είτε έξω από αυτόν.}

Ομοίως, η τρίτη υπόθεση μπορεί να αποδειχθεί λανθασμένη όταν το D´´ υπερβαίνει το όριο του περιγραφόμενου σχήματος.

Από δύο υποθέσεις προκύπτει η μόνη σωστή. Η κορυφή D βρίσκεται στην κυκλική γραμμή. Με άλλα λόγια, το D συμπίπτει με το Ε. Από αυτό προκύπτει ότι όλα τα σημεία του τετραπλεύρου βρίσκονται στην περιγραφόμενη ευθεία.

Από αυτάδύο θεωρήματα, τα συμπεράσματα ακολουθούν:

Οποιοδήποτε ορθογώνιο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Υπάρχει και μια άλλη συνέπεια. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιοδήποτε ορθογώνιο

Τραπεζοειδής με ίσους γοφούς μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Με άλλα λόγια, ακούγεται κάπως έτσι: ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τραπέζιο με ίσες άκρες

Διάφορα παραδείγματα

Πρόβλημα 1. Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Πρέπει να βρείτε το _{<ABD. Η απάντηση πρέπει να γράφεται σε μοίρες.}

Απόφαση. Στην αρχή, μπορεί να φαίνεται δύσκολο να βρεθεί η απάντηση.

1. Πρέπει να θυμάστε τις ιδιότητες από αυτό το θέμα. Δηλαδή: το άθροισμα των απέναντι γωνιών=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Στη γεωμετρία, είναι καλύτερα να εμμείνετε στην αρχή: βρείτε ό,τι μπορείτε. Χρήσιμο αργότερα.

2. Επόμενο βήμα: χρησιμοποιήστε το θεώρημα αθροίσματος τριγώνων.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<<ADC=180º – 75º=70º}

Αναγράφονται

_<ABD και _{<ACD. Κατά συνθήκη, βασίζονται σε ένα τόξο. Συνεπώς, έχουν ίσες τιμές:}

_<ABD=_<ACD=70º

Απάντηση: _<ABD=70º.

Πρόβλημα 2. Το BCDE είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο. _<B=69º, _<C=84º. Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Ε. Εύρεση - _<E.

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο

Απόφαση.

Χρειάζεται εύρεση _{<E από το Θεώρημα 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Απάντηση: _{< E=96º.}

Πρόβλημα 3. Δίνεται ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα δεδομένα φαίνονται στο σχήμα. Είναι απαραίτητο να βρείτε άγνωστες τιμές x, y, z.

Λύση:

z=180º – 93º=87º (από Θεώρημα 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (από Θεώρημα 1)

Απάντηση: z=87º, x=82º, y=98º.

Πρόβλημα 4. Υπάρχει ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι τιμές φαίνονται στο σχήμα. Βρείτε x, y.

Λύση:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Απάντηση: x=100º, y=109º.

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση

Παράδειγμα 1. Δίνεται ένας κύκλος. Το κέντρο του είναι το σημείο O. Το AC και το BD είναι διάμετροι. _<ACB=38º. Πρέπει να βρείτε το _{<AOD. Η απάντηση πρέπει να δίνεται σε βαθμούς.}

Παράδειγμα 2. Δίνεται ένα τετράπλευρο ABCD και ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω του. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Βρείτε το _{<CAD. Γράψτε την απάντησή σας σε μοίρες.}

Παράδειγμα 3. Δίνεται ένας κύκλος και ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD. Οι δύο γωνίες του είναι 82º και58º. Πρέπει να βρείτε τη μεγαλύτερη από τις υπόλοιπες γωνίες και να γράψετε την απάντηση σε μοίρες.

Παράδειγμα 4. Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Οι γωνίες Α, Β, Γ δίνονται σε αναλογία 1:2:3. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία D εάν το καθορισμένο τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Η απάντηση πρέπει να δίνεται σε βαθμούς.

Παράδειγμα 5. Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Οι πλευρές του σχηματίζουν τόξα του περιγεγραμμένου κύκλου. Οι τιμές βαθμών AB, BC, CD και AD, αντίστοιχα, είναι: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Θα πρέπει να βρείτε το _{<Από το δεδομένο τετράγωνο και να γράψετε την απάντηση σε μοίρες.}