Η Πλανομετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά τις ιδιότητες των επίπεδων σχημάτων. Αυτά περιλαμβάνουν όχι μόνο γνωστά τρίγωνα, τετράγωνα, ορθογώνια, αλλά και ευθείες γραμμές και γωνίες. Στην επιπεδομετρία, υπάρχουν επίσης έννοιες όπως γωνίες σε κύκλο: κεντρική και εγγεγραμμένη. Αλλά τι σημαίνουν;
Ποια είναι η κεντρική γωνία;
Για να καταλάβετε τι είναι μια κεντρική γωνία, πρέπει να ορίσετε έναν κύκλο. Ένας κύκλος είναι μια συλλογή όλων των σημείων που έχουν ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο (το κέντρο του κύκλου).
Είναι πολύ σημαντικό να το ξεχωρίζετε από έναν κύκλο. Πρέπει να θυμόμαστε ότι ένας κύκλος είναι μια κλειστή γραμμή και ένας κύκλος είναι ένα μέρος ενός επιπέδου που οριοθετείται από αυτήν. Ένα πολύγωνο ή μια γωνία μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο.
Κεντρική γωνία είναι μια γωνία της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου και της οποίας οι πλευρές τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία. Το τόξο, το οποίο η γωνία περιορίζει με σημεία τομής, ονομάζεται τόξο στο οποίο στηρίζεται η δεδομένη γωνία.
Σκεφτείτε το παράδειγμα 1.
Στην εικόνα, η γωνία ΑΟΒ είναι κεντρική, επειδή η κορυφή της γωνίας και το κέντρο του κύκλου είναι ένα σημείο Ο. Βρίσκεται στο τόξο ΑΒ, το οποίο δεν περιέχει το σημείο Γ.
Πώς διαφέρει μια εγγεγραμμένη γωνία από μια κεντρική;
Όμως εκτός από τις κεντρικές υπάρχουν και εγγεγραμμένες γωνίες. Ποια είναι η διαφορά τους; Ακριβώς όπως η κεντρική, η γωνία που εγγράφεται σε κύκλο στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο τόξο. Αλλά η κορυφή του δεν συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου, αλλά βρίσκεται πάνω του.
Ας πάρουμε το ακόλουθο παράδειγμα.
Γωνία ACB ονομάζεται γωνία εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο στο σημείο Ο. Το σημείο C ανήκει στον κύκλο, δηλαδή βρίσκεται πάνω του. Η γωνία στηρίζεται στο τόξο ΑΒ.
Τι είναι η κεντρική γωνία
Για να αντιμετωπίσουμε με επιτυχία προβλήματα στη γεωμετρία, δεν αρκεί να μπορούμε να διακρίνουμε μεταξύ εγγεγραμμένων και κεντρικών γωνιών. Κατά κανόνα, για να τα λύσετε, πρέπει να γνωρίζετε ακριβώς πώς να βρείτε την κεντρική γωνία σε έναν κύκλο και να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της σε μοίρες.
Έτσι, η κεντρική γωνία είναι ίση με το μέτρο της μοίρας του τόξου στο οποίο στηρίζεται.
Στην εικόνα, η γωνία AOB στηρίζεται στο τόξο ΑΒ ίση με 66°. Άρα η γωνία AOB είναι επίσης ίση με 66°.
Έτσι, οι κεντρικές γωνίες που βασίζονται σε ίσα τόξα είναι ίσες.
Στο σχήμα, το τόξο DC είναι ίσο με το τόξο AB. Άρα η γωνία AOB είναι ίση με τη γωνία DOC.
Πώς να βρείτε μια εγγεγραμμένη γωνία
Μπορεί να φαίνεται ότι η γωνία που εγγράφεται στον κύκλο είναι ίση με την κεντρική γωνία,που στηρίζεται στο ίδιο τόξο. Ωστόσο, αυτό είναι ένα χονδροειδές λάθος. Στην πραγματικότητα, ακόμη και μόνο κοιτάζοντας το σχέδιο και συγκρίνοντας αυτές τις γωνίες μεταξύ τους, μπορείτε να δείτε ότι τα μέτρα βαθμού τους θα έχουν διαφορετικές τιμές. Ποια είναι λοιπόν η γωνία που εγγράφεται στον κύκλο;
Το μέτρο της μοίρας μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται ή το μισό της κεντρικής γωνίας αν στηρίζονται στο ίδιο τόξο.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα. Η γωνία ACB βασίζεται σε τόξο ίσο με 66°.
Άρα η γωνία DIA=66°: 2=33°
Ας εξετάσουμε μερικές συνέπειες αυτού του θεωρήματος.
- Οι εγγεγραμμένες γωνίες, εάν βασίζονται στο ίδιο τόξο, χορδή ή ίσα τόξα, είναι ίσες.
- Αν οι εγγεγραμμένες γωνίες βασίζονται στην ίδια χορδή, αλλά οι κορυφές τους βρίσκονται στις αντίθετες πλευρές της, το άθροισμα των μέτρων βαθμών τέτοιων γωνιών είναι 180°, αφού σε αυτή την περίπτωση και οι δύο γωνίες βασίζονται σε τόξα, το συνολικό μέτρο βαθμών του οποίου είναι 360 ° (ολόκληρος κύκλος), 360 °: 2=180°
- Αν η εγγεγραμμένη γωνία βασίζεται στη διάμετρο του δεδομένου κύκλου, το μέτρο της μοίρας του είναι 90°, αφού η διάμετρος υποβάλλει ένα τόξο ίσο με 180°, 180°: 2=90°
- Αν η κεντρική και η εγγεγραμμένη γωνία σε έναν κύκλο βασίζονται στο ίδιο τόξο ή χορδή, τότε η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της κεντρικής.
Πού μπορούν να βρεθούν προβλήματα σε αυτό το θέμα; Τα είδη και οι λύσεις τους
Δεδομένου ότι ο κύκλος και οι ιδιότητές του είναι ένα από τα πιο σημαντικά τμήματα της γεωμετρίας, η επιπεδομετρία ειδικότερα, οι εγγεγραμμένες και οι κεντρικές γωνίες στον κύκλο είναι ένα ευρύ και λεπτομερές θέμασπούδασε στο σχολικό πρόγραμμα. Οι εργασίες που αφιερώνονται στις ιδιότητές τους βρίσκονται στην κύρια κρατική εξέταση (OGE) και στην ενιαία κρατική εξέταση (USE). Κατά κανόνα, για να λύσετε αυτά τα προβλήματα, θα πρέπει να βρείτε τις γωνίες στον κύκλο σε μοίρες.
Γωνίες με βάση το ίδιο τόξο
Αυτό το είδος προβλήματος είναι ίσως ένα από τα πιο εύκολα, αφού για να το λύσετε χρειάζεται να γνωρίζετε μόνο δύο απλές ιδιότητες: αν και οι δύο γωνίες είναι εγγεγραμμένες και κλίνονται στην ίδια χορδή, είναι ίσες, αν μία από αυτές είναι κεντρική, τότε η αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το ήμισυ της. Ωστόσο, κατά την επίλυσή τους, πρέπει να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί: μερικές φορές είναι δύσκολο να παρατηρήσετε αυτή την ιδιότητα και οι μαθητές, όταν λύνουν τέτοια απλά προβλήματα, έρχονται σε αδιέξοδο. Εξετάστε ένα παράδειγμα.
Πρόβλημα 1
Δίνεται ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο Ο. Η γωνία AOB είναι 54°. Βρείτε το μέτρο μοίρας της γωνίας DIA.
Αυτή η εργασία επιλύεται σε ένα βήμα. Το μόνο πράγμα που χρειάζεστε για να βρείτε γρήγορα την απάντηση είναι να παρατηρήσετε ότι το τόξο στο οποίο στηρίζονται και οι δύο γωνίες είναι κοινό. Βλέποντας αυτό, μπορείτε να εφαρμόσετε την ήδη γνωστή ιδιότητα. Η γωνία ACB είναι το ήμισυ της γωνίας AOB. Άρα
1) AOB=54°: 2=27°.
Απάντηση: 54°.
Γωνίες που βασίζονται σε διαφορετικά τόξα του ίδιου κύκλου
Μερικές φορές το μέγεθος του τόξου στο οποίο στηρίζεται η απαιτούμενη γωνία δεν καθορίζεται άμεσα στις συνθήκες του προβλήματος. Για να το υπολογίσετε, πρέπει να αναλύσετε το μέγεθος αυτών των γωνιών και να τις συγκρίνετε με τις γνωστές ιδιότητες του κύκλου.
Πρόβλημα 2
Σε κύκλο με κέντρο στο O, γωνία AOCείναι 120° και η γωνία AOB είναι 30°. Βρείτε τη γωνία ΕΣΥ.
Καταρχάς, αξίζει να πούμε ότι είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ισοσκελές τριγώνων, αλλά αυτό θα απαιτήσει περισσότερες μαθηματικές πράξεις. Επομένως, εδώ θα αναλύσουμε τη λύση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των κεντρικών και εγγεγραμμένων γωνιών σε κύκλο.
Έτσι, η γωνία AOC στηρίζεται στο τόξο AC και είναι κεντρική, πράγμα που σημαίνει ότι το τόξο AC είναι ίσο με τη γωνία AOC.
AC=120°
Με τον ίδιο τρόπο, η γωνία AOB στηρίζεται στο τόξο AB.
AB=30°.
Γνωρίζοντας αυτό και το μέτρο της μοίρας ολόκληρου του κύκλου (360°), μπορείτε εύκολα να βρείτε το μέγεθος του τόξου π. Χ.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Η κορυφή της γωνίας CAB, σημείο Α, βρίσκεται στον κύκλο. Επομένως, η γωνία CAB είναι εγγεγραμμένη και ίση με το μισό του τόξου CB.
γωνία CAB=210°: 2=110°
Απάντηση: 110°
Προβλήματα με βάση τους λόγους τόξου
Μερικά προβλήματα δεν περιέχουν καθόλου δεδομένα για γωνίες, επομένως πρέπει να αναζητηθούν με βάση μόνο γνωστά θεωρήματα και ιδιότητες ενός κύκλου.
Πρόβλημα 1
Βρείτε τη γωνία που εγγράφεται σε έναν κύκλο που υποστηρίζεται από μια χορδή ίση με την ακτίνα του δεδομένου κύκλου.
Αν σχεδιάσετε διανοητικά γραμμές που συνδέουν τα άκρα του τμήματος με το κέντρο του κύκλου, θα έχετε ένα τρίγωνο. Έχοντας το εξετάσει, μπορείτε να δείτε ότι αυτές οι γραμμές είναι οι ακτίνες του κύκλου, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες. Γνωρίζουμε ότι όλες οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνουείναι ίσες με 60°. Επομένως, το τόξο ΑΒ που περιέχει την κορυφή του τριγώνου είναι ίσο με 60°. Από εδώ βρίσκουμε το τόξο ΑΒ, στο οποίο βασίζεται η επιθυμητή γωνία.
AB=360° - 60°=300°
Γωνία ABC=300°: 2=150°
Απάντηση: 150°
Πρόβλημα 2
Σε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο O, τα τόξα συσχετίζονται ως 3:7. Βρείτε τη μικρότερη εγγεγραμμένη γωνία.
Για τη λύση, συμβολίζουμε ένα μέρος ως X, τότε ένα τόξο είναι ίσο με 3X και το δεύτερο, αντίστοιχα, 7X. Γνωρίζοντας ότι το μέτρο μοίρας ενός κύκλου είναι 360°, μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Ανάλογα με την κατάσταση, πρέπει να βρείτε μια μικρότερη γωνία. Προφανώς, αν η τιμή της γωνίας είναι ευθέως ανάλογη με το τόξο στο οποίο στηρίζεται, τότε η απαιτούμενη (μικρότερη) γωνία αντιστοιχεί σε τόξο ίσο με 3Χ.
Έτσι η μικρότερη γωνία είναι (36°3): 2=108°: 2=54°
Απάντηση: 54°
Πρόβλημα 3
Σε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο O, η γωνία AOB είναι 60° και το μήκος του μικρότερου τόξου είναι 50. Υπολογίστε το μήκος του μεγαλύτερου τόξου.
Για να υπολογίσετε το μήκος ενός μεγαλύτερου τόξου, πρέπει να κάνετε μια αναλογία - πώς σχετίζεται το μικρότερο τόξο με το μεγαλύτερο. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το μέγεθος και των δύο τόξων σε μοίρες. Το μικρότερο τόξο είναι ίσο με τη γωνία που στηρίζεται πάνω του. Το μέτρο της μοίρας του είναι 60°. Το μεγαλύτερο τόξο ισούται με τη διαφορά μεταξύ του μέτρου μοίρας του κύκλου (είναι ίσο με 360° ανεξάρτητα από άλλα δεδομένα) και του μικρότερου τόξου.
Το μεγάλο τόξο είναι 360° - 60°=300°.
Από 300°: 60°=5, το μεγαλύτερο τόξο είναι 5 φορές το μικρότερο.
Μεγάλο τόξο=505=250
Απάντηση: 250
Λοιπόν, φυσικά, υπάρχουν και άλλαπροσεγγίσεις για την επίλυση παρόμοιων προβλημάτων, αλλά όλες βασίζονται κατά κάποιο τρόπο στις ιδιότητες των κεντρικών και εγγεγραμμένων γωνιών, τριγώνων και κύκλων. Για να τα λύσετε με επιτυχία, πρέπει να μελετήσετε προσεκτικά το σχέδιο και να το συγκρίνετε με τα δεδομένα του προβλήματος, καθώς και να μπορείτε να εφαρμόσετε τις θεωρητικές σας γνώσεις στην πράξη.
