Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις προκαλούν παραδοσιακά δυσκολίες στους μαθητές. Η ικανότητα υπολογισμού της εφαπτομένης τόξου ενός αριθμού μπορεί να απαιτείται σε εργασίες USE στην επιπεδομετρία και τη στερεομετρία. Για να λύσετε επιτυχώς μια εξίσωση και ένα πρόβλημα με μια παράμετρο, πρέπει να κατανοήσετε τις ιδιότητες της συνάρτησης εφαπτομένης τόξου.
Ορισμός
Η εφαπτομένη του τόξου ενός αριθμού x είναι ένας αριθμός y του οποίου η εφαπτομένη είναι x. Αυτός είναι ο μαθηματικός ορισμός.
Η συνάρτηση arctangent γράφεται ως y=arctg x.
Γενικά: y=Carctg (kx + a).
Υπολογισμός
Για να κατανοήσετε πώς λειτουργεί η αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση της εφαπτομένης, πρέπει πρώτα να θυμηθείτε πώς προσδιορίζεται η τιμή της εφαπτομένης ενός αριθμού. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.
Η εφαπτομένη του x είναι ο λόγος του ημιτόνου του x προς το συνημίτονο του x. Εάν τουλάχιστον μία από αυτές τις δύο ποσότητες είναι γνωστή, τότε το μέτρο της δεύτερης μπορεί να ληφθεί από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:
sin2 x + cos2 x=1.
Ομολογουμένως, θα απαιτηθεί αξιολόγηση για να ξεκλειδωθεί η ενότητα.
Ανο ίδιος ο αριθμός είναι γνωστός και όχι τα τριγωνομετρικά χαρακτηριστικά του, οπότε στις περισσότερες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί κατά προσέγγιση η εφαπτομένη του αριθμού με αναφορά στον πίνακα Bradis.
Εξαιρέσεις είναι οι λεγόμενες τυπικές τιμές.
Παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα:
Επιπλέον των παραπάνω, τυχόν τιμές που λαμβάνονται από τα δεδομένα προσθέτοντας έναν αριθμό της μορφής ½πκ (κ - οποιοσδήποτε ακέραιος, π=3, 14) μπορούν να θεωρηθούν τυπικές.
Ακριβώς το ίδιο ισχύει για την εφαπτομένη τόξου: τις περισσότερες φορές η κατά προσέγγιση τιμή φαίνεται από τον πίνακα, αλλά μόνο μερικές τιμές είναι γνωστές με βεβαιότητα:
Στην πράξη, κατά την επίλυση προβλημάτων σχολικών μαθηματικών, συνηθίζεται να δίνεται μια απάντηση με τη μορφή μιας έκφρασης που περιέχει την εφαπτομένη του τόξου και όχι την κατά προσέγγιση εκτίμηση της. Για παράδειγμα, arctg 6, arctg (-¼).
Σχεδιάζοντας ένα γράφημα
Δεδομένου ότι η εφαπτομένη μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης τόξου είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή. Ας εξηγήσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες.
Η ίδια εφαπτομένη αντιστοιχεί σε άπειρο αριθμό ορισμάτων. Για παράδειγμα, όχι μόνο η εφαπτομένη του μηδέν είναι ίση με το μηδέν, αλλά και η εφαπτομένη οποιουδήποτε αριθμού της μορφής π k, όπου το k είναι ακέραιος. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί συμφώνησαν να επιλέξουν τιμές για την εφαπτομένη του τόξου από το διάστημα από -½ π έως ½ π. Πρέπει να γίνει κατανοητό με αυτόν τον τρόπο. Το εύρος της συνάρτησης του τόξου είναι το διάστημα (-½ π; ½ π). Τα άκρα του διακένου δεν περιλαμβάνονται, καθώς η εφαπτομένη -½p και ½p δεν υπάρχουν.
Στο καθορισμένο διάστημα, η εφαπτομένη είναι συνεχήςαυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης τόξου αυξάνεται επίσης συνεχώς σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, αλλά οριοθετείται από πάνω και κάτω. Ως αποτέλεσμα, έχει δύο οριζόντιες ασύμπτωτες: y=-½ π και y=½ π.
Σε αυτήν την περίπτωση, tg 0=0, άλλα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης, εκτός από το (0;0), το γράφημα δεν μπορεί να έχει λόγω αύξησης.
Όπως προκύπτει από την ισοτιμία της συνάρτησης εφαπτομένης, η τοξοεφαπτομένη έχει παρόμοια ιδιότητα.
Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα, πάρτε πολλά σημεία από τις τυπικές τιμές:
Η παράγωγος της συνάρτησης y=arctg x σε οποιοδήποτε σημείο υπολογίζεται με τον τύπο:
Σημειώστε ότι η παράγωγός του είναι παντού θετική. Αυτό είναι συνεπές με το συμπέρασμα που έγινε νωρίτερα σχετικά με τη συνεχή αύξηση της συνάρτησης.
Η δεύτερη παράγωγος του τόξου εξαφανίζεται στο σημείο 0, είναι αρνητική για τις θετικές τιμές του ορίσματος και το αντίστροφο.
Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης εφαπτομένης τόξου έχει σημείο καμπής στο μηδέν και είναι προς τα κάτω κυρτή στο διάστημα (-∞; 0] και προς τα πάνω κυρτή στο διάστημα [0; +∞).
