Τα μαθηματικά προβλήματα χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστήμες. Αυτά περιλαμβάνουν όχι μόνο τη φυσική, τη χημεία, τη μηχανική και τα οικονομικά, αλλά και την ιατρική, την οικολογία και άλλους κλάδους. Μια σημαντική έννοια που πρέπει να κυριαρχήσετε για να βρείτε λύσεις σε σημαντικά διλήμματα είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης. Το φυσικό νόημά του δεν είναι καθόλου δύσκολο να εξηγηθεί όσο μπορεί να φαίνεται στον αμύητο στην ουσία του θέματος. Αρκεί μόνο να βρούμε κατάλληλα παραδείγματα για αυτό στην πραγματική ζωή και σε συνηθισμένες καθημερινές καταστάσεις. Στην πραγματικότητα, κάθε οδηγός αντιμετωπίζει μια παρόμοια εργασία κάθε μέρα όταν κοιτάζει το ταχύμετρο, προσδιορίζοντας την ταχύτητα του αυτοκινήτου του σε μια συγκεκριμένη στιγμή ενός σταθερού χρόνου. Εξάλλου, σε αυτήν την παράμετρο βρίσκεται η ουσία της φυσικής σημασίας του παραγώγου.
Πώς να βρείτε ταχύτητα
Προσδιορίστε την ταχύτητα ενός ατόμου στο δρόμο, γνωρίζοντας την απόσταση που διανύθηκε και τον χρόνο ταξιδιού, μπορεί εύκολα κάθε μαθητής της πέμπτης τάξης. Για να γίνει αυτό, η πρώτη από τις δεδομένες τιμές διαιρείται με τη δεύτερη. Αλλάδεν γνωρίζει κάθε νέος μαθηματικός ότι αυτή τη στιγμή βρίσκει την αναλογία των αυξήσεων μιας συνάρτησης και ενός ορίσματος. Πράγματι, αν φανταστούμε την κίνηση με τη μορφή γραφήματος, σχεδιάζοντας τη διαδρομή κατά μήκος του άξονα y και τον χρόνο κατά μήκος της τετμημένης, θα είναι ακριβώς έτσι.
Ωστόσο, η ταχύτητα ενός πεζού ή οποιουδήποτε άλλου αντικειμένου που προσδιορίζουμε σε μεγάλο τμήμα της διαδρομής, θεωρώντας την κίνηση ομοιόμορφη, μπορεί κάλλιστα να αλλάξει. Υπάρχουν πολλές μορφές κίνησης στη φυσική. Μπορεί να εκτελεστεί όχι μόνο με σταθερή επιτάχυνση, αλλά να επιβραδύνει και να αυξάνεται με αυθαίρετο τρόπο. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση η γραμμή που περιγράφει την κίνηση δεν θα είναι πλέον ευθεία γραμμή. Γραφικά, μπορεί να λάβει τις πιο περίπλοκες διαμορφώσεις. Αλλά για οποιοδήποτε από τα σημεία του γραφήματος, μπορούμε πάντα να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη που αντιπροσωπεύεται από μια γραμμική συνάρτηση.
Για να διευκρινιστεί η παράμετρος αλλαγής μετατόπισης ανάλογα με το χρόνο, είναι απαραίτητο να συντομεύσετε τα μετρούμενα τμήματα. Όταν γίνουν απείρως μικρά, η υπολογιζόμενη ταχύτητα θα είναι στιγμιαία. Αυτή η εμπειρία μας βοηθά να ορίσουμε την παράγωγο. Η φυσική του σημασία προκύπτει επίσης λογικά από τέτοιους συλλογισμούς.
Όσον αφορά τη γεωμετρία
Είναι γνωστό ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του σώματος, τόσο πιο απότομη είναι η γραφική παράσταση της εξάρτησης της μετατόπισης από τον χρόνο, και επομένως η γωνία κλίσης της εφαπτομένης στο γράφημα σε ένα ορισμένο σημείο. Ένας δείκτης τέτοιων αλλαγών μπορεί να είναι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα x και της εφαπτομένης γραμμής. Απλώς καθορίζει την τιμή της παραγώγου και υπολογίζεται από την αναλογία των μηκώναπέναντι από το διπλανό σκέλος σε ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από κάθετο που πέφτει από κάποιο σημείο στον άξονα x.
Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία της πρώτης παραγώγου. Το φυσικό αποκαλύπτεται στο γεγονός ότι η αξία του αντίθετου σκέλους στην περίπτωσή μας είναι η απόσταση που διανύουμε και του διπλανού είναι ο χρόνος. Η αναλογία τους είναι η ταχύτητα. Και πάλι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η στιγμιαία ταχύτητα, που καθορίζεται όταν και τα δύο κενά τείνουν να είναι απείρως μικρά, είναι η ουσία της έννοιας της παραγώγου, υποδεικνύοντας τη φυσική της σημασία. Η δεύτερη παράγωγος σε αυτό το παράδειγμα θα είναι η επιτάχυνση του αμαξώματος, η οποία με τη σειρά της δείχνει τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας.
Παραδείγματα εύρεσης παραγώγων στη φυσική
Η παράγωγος είναι δείκτης του ρυθμού μεταβολής οποιασδήποτε συνάρτησης, ακόμη και όταν δεν μιλάμε για κίνηση με την κυριολεκτική έννοια της λέξης. Για να το δείξουμε αυτό ξεκάθαρα, ας πάρουμε μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα. Ας υποθέσουμε ότι η τρέχουσα ισχύς, ανάλογα με το χρόνο, αλλάζει σύμφωνα με τον ακόλουθο νόμο: I=0, 4t2. Απαιτείται να βρεθεί η τιμή του ρυθμού με τον οποίο αλλάζει αυτή η παράμετρος στο τέλος του 8ου δευτερολέπτου της διαδικασίας. Σημειώστε ότι η ίδια η επιθυμητή τιμή, όπως μπορεί να κριθεί από την εξίσωση, αυξάνεται συνεχώς.
Για να το λύσετε, πρέπει να βρείτε την πρώτη παράγωγο, η φυσική σημασία της οποίας εξετάστηκε νωρίτερα. Εδώ dI / dt=0,8t. Στη συνέχεια, το βρίσκουμε στο t \u003d 8, παίρνουμε ότι ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει η τρέχουσα ισχύς είναι 6,4 A / c. Εδώ θεωρείται ότιΤο ρεύμα μετριέται σε αμπέρ και ο χρόνος, αντίστοιχα, σε δευτερόλεπτα.
Όλα αλλάζουν
Ο ορατός περιβάλλοντα κόσμος, που αποτελείται από ύλη, υφίσταται διαρκώς αλλαγές, όντας σε κίνηση διαφόρων διεργασιών που συμβαίνουν σε αυτόν. Μια ποικιλία παραμέτρων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή τους. Αν τα ενώνει η εξάρτηση, τότε γράφονται μαθηματικά ως συνάρτηση που δείχνει καθαρά τις αλλαγές τους. Και όπου υπάρχει κίνηση (σε όποια μορφή κι αν εκφράζεται), υπάρχει και ένα παράγωγο, το φυσικό νόημα του οποίου εξετάζουμε αυτή τη στιγμή.
Σε αυτήν την περίπτωση, το ακόλουθο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία του σώματος αλλάζει σύμφωνα με το νόμο T=0, 2 t 2. Θα πρέπει να βρείτε τον ρυθμό θέρμανσής του στο τέλος του 10ου δευτερολέπτου. Το πρόβλημα επιλύεται με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που περιγράφηκε στην προηγούμενη περίπτωση. Δηλαδή, βρίσκουμε την παράγωγο και αντικαθιστούμε την τιμή για t \u003d 10 σε αυτό, παίρνουμε T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Αυτό σημαίνει ότι η τελική απάντηση είναι 4 μοίρες ανά δευτερόλεπτο, δηλαδή η διαδικασία θέρμανσης και η αλλαγή της θερμοκρασίας, μετρημένη σε βαθμούς, συμβαίνει ακριβώς με τέτοια ταχύτητα.
Επίλυση πρακτικών προβλημάτων
Φυσικά, στην πραγματική ζωή όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα από ό,τι στα θεωρητικά προβλήματα. Στην πράξη, η τιμή των ποσοτήτων προσδιορίζεται συνήθως κατά τη διάρκεια του πειράματος. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούνται όργανα που δίνουν μετρήσεις κατά τις μετρήσεις με συγκεκριμένο σφάλμα. Επομένως, στους υπολογισμούς, πρέπει να ασχοληθεί κανείς με κατά προσέγγιση τιμές των παραμέτρων και να καταφύγει σε στρογγυλοποίηση άβολων αριθμών,καθώς και άλλες απλουστεύσεις. Έχοντας λάβει υπόψη αυτό, θα προχωρήσουμε ξανά σε προβλήματα σχετικά με τη φυσική σημασία της παραγώγου, δεδομένου ότι αποτελούν απλώς ένα είδος μαθηματικού μοντέλου των πιο περίπλοκων διεργασιών που συμβαίνουν στη φύση.
Έκρηξη ηφαιστείου
Ας φανταστούμε ότι εκρήγνυται ένα ηφαίστειο. Πόσο επικίνδυνος μπορεί να είναι; Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, πρέπει να ληφθούν υπόψη πολλοί παράγοντες. Θα προσπαθήσουμε να φιλοξενήσουμε ένα από αυτά.
Από το στόμιο του «πύρινου τέρατος» εκτοξεύονται κάθετα προς τα πάνω πέτρες, έχοντας αρχική ταχύτητα από τη στιγμή που βγαίνουν προς τα έξω 120 m/s. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τι μπορούν να φτάσουν στο μέγιστο ύψος.
Για να βρούμε την επιθυμητή τιμή, θα συνθέσουμε μια εξίσωση για την εξάρτηση του ύψους H, μετρημένο σε μέτρα, από άλλες τιμές. Αυτά περιλαμβάνουν την αρχική ταχύτητα και χρόνο. Η τιμή της επιτάχυνσης θεωρείται γνωστή και περίπου ίση με 10 m/s2.
Μερικό παράγωγο
Τώρα ας εξετάσουμε τη φυσική σημασία της παραγώγου μιας συνάρτησης από μια ελαφρώς διαφορετική οπτική γωνία, επειδή η ίδια η εξίσωση μπορεί να περιέχει όχι μία, αλλά πολλές μεταβλητές. Για παράδειγμα, στο προηγούμενο πρόβλημα, η εξάρτηση του ύψους των λίθων που εκτοξεύτηκαν από την οπή του ηφαιστείου καθορίστηκε όχι μόνο από την αλλαγή στα χρονικά χαρακτηριστικά, αλλά και από την τιμή της αρχικής ταχύτητας. Το τελευταίο θεωρήθηκε σταθερή, σταθερή τιμή. Αλλά σε άλλες εργασίες με εντελώς διαφορετικές συνθήκες, όλα θα μπορούσαν να είναι διαφορετικά. Αν οι ποσότητες στις οποίες το σύμπλοκοσυνάρτηση, αρκετές, οι υπολογισμοί γίνονται σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους.
Η φυσική σημασία της συχνής παραγώγου πρέπει να προσδιορίζεται όπως στη συνηθισμένη περίπτωση. Αυτός είναι ο ρυθμός με τον οποίο η συνάρτηση αλλάζει σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο καθώς αυξάνεται η παράμετρος της μεταβλητής. Υπολογίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε όλες οι άλλες συνιστώσες να λαμβάνονται ως σταθερές, μόνο μία θεωρείται ως μεταβλητή. Τότε όλα γίνονται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες.
Απαραίτητος σύμβουλος για πολλά θέματα
Κατανοώντας τη φυσική σημασία της παραγώγου, δεν είναι δύσκολο να δώσουμε παραδείγματα επίλυσης περίπλοκων και πολύπλοκων προβλημάτων, στα οποία η απάντηση μπορεί να βρεθεί με τέτοια γνώση. Αν έχουμε μια συνάρτηση που περιγράφει την κατανάλωση καυσίμου ανάλογα με την ταχύτητα του αυτοκινήτου, μπορούμε να υπολογίσουμε σε ποιες παραμέτρους της τελευταίας η κατανάλωση βενζίνης θα είναι η μικρότερη.
Στην ιατρική, μπορείτε να προβλέψετε πώς θα αντιδράσει το ανθρώπινο σώμα σε ένα φάρμακο που συνταγογραφείται από γιατρό. Η λήψη του φαρμάκου επηρεάζει μια ποικιλία φυσιολογικών παραμέτρων. Αυτές περιλαμβάνουν αλλαγές στην αρτηριακή πίεση, τον καρδιακό ρυθμό, τη θερμοκρασία του σώματος και πολλά άλλα. Όλα εξαρτώνται από τη δόση του φαρμάκου που λαμβάνεται. Αυτοί οι υπολογισμοί βοηθούν στην πρόβλεψη της πορείας της θεραπείας, τόσο σε ευνοϊκές εκδηλώσεις όσο και σε ανεπιθύμητα ατυχήματα που μπορεί να επηρεάσουν θανάσιμα τις αλλαγές στο σώμα του ασθενούς.
Αναμφίβολα, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε τη φυσική σημασία του παραγώγου στην τεχνικήζητήματα, ιδίως στην ηλεκτρική μηχανική, την ηλεκτρονική, το σχεδιασμό και την κατασκευή.
Απόσταση φρεναρίσματος
Ας εξετάσουμε το επόμενο πρόβλημα. Κινούμενο με σταθερή ταχύτητα, το αυτοκίνητο, πλησιάζοντας στη γέφυρα, χρειάστηκε να επιβραδύνει 10 δευτερόλεπτα πριν την είσοδο, καθώς ο οδηγός παρατήρησε μια πινακίδα που απαγόρευε την κίνηση με ταχύτητα άνω των 36 km/h. Ο οδηγός παραβίασε τους κανόνες εάν η απόσταση πέδησης μπορεί να περιγραφεί με τον τύπο S=26t - t2?
Υπολογίζοντας την πρώτη παράγωγο, βρίσκουμε τον τύπο για την ταχύτητα, παίρνουμε v=28 – 2t. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε την τιμή t=10 στην καθορισμένη παράσταση.
Δεδομένου ότι αυτή η τιμή εκφράστηκε σε δευτερόλεπτα, η ταχύτητα είναι 8 m/s, που σημαίνει 28,8 km/h. Αυτό καθιστά δυνατό να κατανοήσουμε ότι ο οδηγός άρχισε να επιβραδύνει εγκαίρως και δεν παραβίασε τους κανόνες οδικής κυκλοφορίας, και ως εκ τούτου το όριο που αναγράφεται στο σήμα ταχύτητας.
Αυτό αποδεικνύει τη σημασία της φυσικής σημασίας του παραγώγου. Ένα παράδειγμα επίλυσης αυτού του προβλήματος καταδεικνύει το εύρος της χρήσης αυτής της έννοιας σε διάφορους τομείς της ζωής. Συμπεριλαμβανομένων σε καθημερινές καταστάσεις.
Παράγωγο στα οικονομικά
Μέχρι τον 19ο αιώνα, οι οικονομολόγοι λειτουργούσαν ως επί το πλείστον με μέσους όρους, είτε ήταν η παραγωγικότητα της εργασίας είτε η τιμή της παραγωγής. Αλλά από κάποιο σημείο και μετά, οι οριακές τιμές έγιναν πιο απαραίτητες για την πραγματοποίηση αποτελεσματικών προβλέψεων σε αυτόν τον τομέα. Αυτά περιλαμβάνουν οριακή χρησιμότητα, εισόδημα ή κόστος. Η κατανόηση αυτού έδωσε ώθηση στη δημιουργία ενός εντελώς νέου εργαλείου στην οικονομική έρευνα,που υπάρχει και αναπτύσσεται για περισσότερα από εκατό χρόνια.
Για να γίνουν τέτοιοι υπολογισμοί, όπου κυριαρχούν έννοιες όπως το ελάχιστο και το μέγιστο, είναι απλώς απαραίτητο να κατανοήσουμε τη γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου. Μεταξύ των δημιουργών της θεωρητικής βάσης αυτών των κλάδων, μπορεί κανείς να ονομάσει εξέχοντες Άγγλους και Αυστριακούς οικονομολόγους όπως οι US Jevons, K. Menger και άλλοι. Φυσικά, οι οριακές τιμές στους οικονομικούς υπολογισμούς δεν είναι πάντα βολικές στη χρήση. Και, για παράδειγμα, οι τριμηνιαίες εκθέσεις δεν ταιριάζουν απαραίτητα στο υπάρχον σχήμα, αλλά παρόλα αυτά, η εφαρμογή μιας τέτοιας θεωρίας σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιμη και αποτελεσματική.
