Η μελέτη των συναρτήσεων και των γραφημάτων τους είναι ένα θέμα που δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στο πλαίσιο του προγράμματος σπουδών του Λυκείου. Ορισμένα βασικά στοιχεία της μαθηματικής ανάλυσης - διαφοροποίηση - περιλαμβάνονται στο επίπεδο προφίλ της εξέτασης στα μαθηματικά. Μερικοί μαθητές έχουν προβλήματα με αυτό το θέμα, καθώς μπερδεύουν τα γραφήματα της συνάρτησης και της παραγώγου και επίσης ξεχνούν τους αλγόριθμους. Αυτό το άρθρο θα καλύψει τους κύριους τύπους εργασιών και τον τρόπο επίλυσής τους.
Ποια είναι η τιμή της συνάρτησης;
Μια μαθηματική συνάρτηση είναι μια ειδική εξίσωση. Καθιερώνει μια σχέση μεταξύ των αριθμών. Η συνάρτηση εξαρτάται από την τιμή του ορίσματος.
Η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται σύμφωνα με τον συγκεκριμένο τύπο. Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε οποιοδήποτε όρισμα που αντιστοιχεί στο εύρος των έγκυρων τιμών σε αυτόν τον τύπο στη θέση του x και εκτελέστε τις απαραίτητες μαθηματικές πράξεις. Τι;
Πώς μπορείτε να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης,χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση γραφήματος;
Η γραφική αναπαράσταση της εξάρτησης μιας συνάρτησης από ένα όρισμα ονομάζεται γράφημα συνάρτησης. Είναι χτισμένο σε ένα επίπεδο με ένα συγκεκριμένο τμήμα μονάδας, όπου η τιμή μιας μεταβλητής ή ορίσματος απεικονίζεται κατά μήκος του οριζόντιου άξονα τετμημένης και η αντίστοιχη τιμή συνάρτησης κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα τεταγμένης.
Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο πιο δεξιά βρίσκεται στο γράφημα. Και όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της ίδιας της συνάρτησης, τόσο υψηλότερο είναι το σημείο.
Τι λέει αυτό; Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης θα είναι το σημείο που βρίσκεται το χαμηλότερο στο γράφημα. Για να το βρείτε σε ένα τμήμα γραφήματος, χρειάζεστε:
1) Βρείτε και σημειώστε τα άκρα αυτού του τμήματος.
2) Προσδιορίστε οπτικά ποιο σημείο σε αυτό το τμήμα βρίσκεται το χαμηλότερο.
3) Ως απάντηση, γράψτε την αριθμητική του τιμή, η οποία μπορεί να προσδιοριστεί προβάλλοντας ένα σημείο στον άξονα y.
Ακραία σημεία στο διάγραμμα παραγώγων. Πού να κοιτάξετε;
Ωστόσο, κατά την επίλυση προβλημάτων, μερικές φορές δίνεται ένα γράφημα όχι μιας συνάρτησης, αλλά της παραγώγου της. Για να αποφύγετε να κάνετε κατά λάθος ένα ηλίθιο λάθος, είναι καλύτερο να διαβάσετε προσεκτικά τις συνθήκες, καθώς εξαρτάται από το πού πρέπει να αναζητήσετε ακραίους βαθμούς.
Έτσι, η παράγωγος είναι ο στιγμιαίος ρυθμός αύξησης της συνάρτησης. Σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό, η παράγωγος αντιστοιχεί στην κλίση της εφαπτομένης, η οποία σύρεται απευθείας στο δεδομένο σημείο.
Είναι γνωστό ότι στα άκρα σημεία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox. Αυτό σημαίνει ότι η κλίση του είναι 0.
Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στα άκρα σημεία η παράγωγος βρίσκεται στον άξονα x ή εξαφανίζεται. Αλλά επιπλέον, σε αυτά τα σημεία, η συνάρτηση αλλάζει την κατεύθυνση της. Δηλαδή, μετά από μια περίοδο αύξησης, αρχίζει να μειώνεται και το παράγωγο, κατά συνέπεια, αλλάζει από θετικό σε αρνητικό. Ή το αντίστροφο.
Αν η παράγωγος γίνει αρνητική από θετική, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Αν από αρνητικό γίνεται θετικό - το ελάχιστο σημείο.
Σημαντικό: εάν πρέπει να καθορίσετε ένα ελάχιστο ή μέγιστο σημείο στην εργασία, τότε ως απάντηση θα πρέπει να γράψετε την αντίστοιχη τιμή κατά μήκος του άξονα της τετμημένης. Αλλά εάν πρέπει να βρείτε την τιμή της συνάρτησης, τότε πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε την αντίστοιχη τιμή του ορίσματος στη συνάρτηση και να την υπολογίσετε.
Πώς να βρείτε ακραία σημεία χρησιμοποιώντας παράγωγο;
Τα εξεταζόμενα παραδείγματα αναφέρονται κυρίως στην εργασία με αριθμό 7 της εξέτασης, η οποία περιλαμβάνει εργασία με ένα γράφημα μιας παραγώγου ή ενός αντιπαραγώγου. Αλλά η εργασία 12 της ΧΡΗΣΗΣ - να βρεθεί η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα (μερικές φορές η μεγαλύτερη) - εκτελείται χωρίς σχέδια και απαιτεί βασικές δεξιότητες στη μαθηματική ανάλυση.
Για να το εκτελέσετε, πρέπει να μπορείτε να βρείτε ακραία σημεία χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Ο αλγόριθμος για την εύρεση τους είναι ο εξής:
- Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
- Ρυθμίστε το στο μηδέν.
- Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.
- Ελέγξτε εάν τα σημεία που λήφθηκαν είναι ακραία σημεία ή σημεία καμπής.
Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε ένα διάγραμμα και συνεχίστετα διαστήματα που προκύπτουν καθορίζουν τα πρόσημα της παραγώγου αντικαθιστώντας τους αριθμούς που ανήκουν στα τμήματα στην παράγωγο. Εάν, όταν λύνετε την εξίσωση, έχετε ρίζες διπλής πολλαπλότητας, αυτά είναι σημεία καμπής.
Εφαρμόζοντας τα θεωρήματα, προσδιορίστε ποια σημεία είναι ελάχιστα και ποια μέγιστα
Υπολογισμός της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας μια παράγωγο
Ωστόσο, έχοντας πραγματοποιήσει όλες αυτές τις ενέργειες, θα βρούμε τις τιμές των ελάχιστων και μέγιστων σημείων κατά μήκος του άξονα x. Αλλά πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα;
Τι πρέπει να γίνει για να βρεθεί ο αριθμός που αντιστοιχεί στη συνάρτηση σε ένα συγκεκριμένο σημείο; Πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή του ορίσματος σε αυτόν τον τύπο.
Τα σημεία του ελάχιστου και του μέγιστου αντιστοιχούν στη μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα. Έτσι, για να βρείτε την τιμή της συνάρτησης, πρέπει να υπολογίσετε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τις τιμές x που ελήφθησαν.
Σημαντικό! Εάν η εργασία απαιτεί να καθορίσετε ένα ελάχιστο ή μέγιστο σημείο, τότε ως απάντηση θα πρέπει να γράψετε την αντίστοιχη τιμή κατά μήκος του άξονα x. Αλλά εάν πρέπει να βρείτε την τιμή της συνάρτησης, τότε πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε την αντίστοιχη τιμή του ορίσματος στη συνάρτηση και να εκτελέσετε τις απαραίτητες μαθηματικές πράξεις.
Τι πρέπει να κάνω εάν δεν υπάρχουν χαμηλά σε αυτό το τμήμα;
Αλλά πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα χωρίς ακραία σημεία;
Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση μειώνεται ή αυξάνεται μονοτονικά σε αυτήν. Στη συνέχεια, πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή των ακραίων σημείων αυτού του τμήματος στη συνάρτηση. Υπάρχουν δύο τρόποι.
1) Έχοντας υπολογίσειπαράγωγο και τα διαστήματα στα οποία είναι θετική ή αρνητική, για να συμπεράνουμε εάν η συνάρτηση μειώνεται ή αυξάνεται σε ένα δεδομένο τμήμα.
Σύμφωνα με αυτά, αντικαταστήστε μια μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή του ορίσματος στη συνάρτηση.
2) Απλώς αντικαταστήστε και τα δύο σημεία στη συνάρτηση και συγκρίνετε τις τιμές συνάρτησης που προκύπτουν.
Σε ποιες εργασίες η εύρεση της παραγώγου είναι προαιρετική
Κατά κανόνα, στις αναθέσεις USE, πρέπει ακόμα να βρείτε την παράγωγο. Υπάρχουν μόνο μερικές εξαιρέσεις.
1) Παραβολή.
Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται με τον τύπο.
Αν είναι < 0, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω. Και η κορυφή του είναι το μέγιστο σημείο.
Αν ένα > 0, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, η κορυφή είναι το ελάχιστο σημείο.
Έχοντας υπολογίσει το σημείο κορυφής της παραβολής, θα πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή της στη συνάρτηση και να υπολογίσετε την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης.
2) Συνάρτηση y=tg x. Ή y=ctg x.
Αυτές οι συναρτήσεις αυξάνονται μονότονα. Επομένως, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της ίδιας της συνάρτησης. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε πώς να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα με παραδείγματα.
Κύριοι τύποι εργασιών
Εργασία: η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Παράδειγμα στο γράφημα.
Στην εικόνα βλέπετε τη γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f (x) στο διάστημα [-6; 6]. Σε ποιο σημείο του τμήματος [-3; 3] το f(x) παίρνει τη μικρότερη τιμή;
Έτσι, για αρχή, θα πρέπει να επιλέξετε το καθορισμένο τμήμα. Σε αυτήν, η συνάρτηση παίρνει μια μηδενική τιμή και αλλάζει το πρόσημά της - αυτό είναι το ακραίο σημείο. Εφόσον η παράγωγος από αρνητικό γίνεται θετική, σημαίνει ότι αυτό είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης. Αυτό το σημείο αντιστοιχεί στην τιμή του ορίσματος 2.
Απάντηση: 2.
Συνεχίστε να βλέπετε παραδείγματα. Εργασία: βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα.
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y=(x - 8) ex-7 στο διάστημα [6; 8].
1. Πάρτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Εξισώστε την παράγωγο που προκύπτει με μηδέν και λύστε την εξίσωση.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ή ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, χωρίς ρίζες
3. Αντικαταστήστε την τιμή των ακραίων σημείων στη συνάρτηση, καθώς και τις λαμβανόμενες ρίζες της εξίσωσης.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Απάντηση: -1.
Έτσι, σε αυτό το άρθρο, εξετάστηκε η κύρια θεωρία σχετικά με τον τρόπο εύρεσης της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα, η οποία είναι απαραίτητη για την επιτυχή επίλυση εργασιών USE σε εξειδικευμένα μαθηματικά. Επίσης στοιχεία μαθηματικώνΗ ανάλυση χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εργασιών από το μέρος Γ της εξέτασης, αλλά προφανώς αντιπροσωπεύουν ένα διαφορετικό επίπεδο πολυπλοκότητας και οι αλγόριθμοι για τις λύσεις τους είναι δύσκολο να χωρέσουν στο πλαίσιο ενός υλικού.
