Για να βρείτε τις συναρτήσεις κατανομής των τυχαίων μεταβλητών και των μεταβλητών τους, είναι απαραίτητο να μελετήσετε όλα τα χαρακτηριστικά αυτού του γνωστικού πεδίου. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι για την εύρεση των εν λόγω τιμών, συμπεριλαμβανομένης της αλλαγής μιας μεταβλητής και της δημιουργίας μιας στιγμής. Η διανομή είναι μια έννοια που βασίζεται σε στοιχεία όπως η διασπορά, οι παραλλαγές. Ωστόσο, χαρακτηρίζουν μόνο τον βαθμό του πλάτους σκέδασης.
Οι πιο σημαντικές συναρτήσεις των τυχαίων μεταβλητών είναι αυτές που είναι σχετικές και ανεξάρτητες και ισότιμα κατανεμημένες. Για παράδειγμα, εάν X1 είναι το βάρος ενός τυχαία επιλεγμένου ατόμου από έναν ανδρικό πληθυσμό, X2 είναι το βάρος ενός άλλου, … και Xn είναι το βάρος ενός ακόμη ατόμου από τον ανδρικό πληθυσμό, τότε πρέπει να γνωρίζουμε πώς λειτουργεί η τυχαία Το Χ διανέμεται. Σε αυτή την περίπτωση, ισχύει το κλασικό θεώρημα που ονομάζεται θεώρημα κεντρικού ορίου. Σας επιτρέπει να δείξετε ότι για μεγάλα n η συνάρτηση ακολουθεί τυπικές κατανομές.
Συναρτήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής
Το Θεώρημα Κεντρικού ορίου είναι για την προσέγγιση διακριτών τιμών υπό εξέταση, όπως το διωνυμικό και το Poisson. Οι συναρτήσεις κατανομής τυχαίων μεταβλητών εξετάζονται, πρώτα απ 'όλα, σε απλές τιμές μιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, εάν το X είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή που έχει τη δική της κατανομή πιθανότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, διερευνούμε πώς να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας του Y χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικές προσεγγίσεις, δηλαδή τη μέθοδο της συνάρτησης κατανομής και την αλλαγή στη μεταβλητή. Πρώτον, λαμβάνονται υπόψη μόνο οι τιμές ένα προς ένα. Στη συνέχεια, πρέπει να τροποποιήσετε την τεχνική αλλαγής της μεταβλητής για να βρείτε την πιθανότητα της. Τέλος, πρέπει να μάθουμε πώς η συνάρτηση αντίστροφης αθροιστικής κατανομής μπορεί να βοηθήσει στη μοντελοποίηση τυχαίων αριθμών που ακολουθούν ορισμένα διαδοχικά μοτίβα.
Μέθοδος κατανομής των εξεταζόμενων τιμών
Η μέθοδος της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής είναι εφαρμόσιμη για να βρεθεί η πυκνότητά της. Όταν χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος, υπολογίζεται μια αθροιστική τιμή. Στη συνέχεια, διαφοροποιώντας το, μπορείτε να πάρετε την πυκνότητα πιθανότητας. Τώρα που έχουμε τη μέθοδο της συνάρτησης διανομής, μπορούμε να δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα. Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με μια ορισμένη πυκνότητα πιθανότητας.
Ποια είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του x2; Εάν κοιτάξετε ή γράψετε τη συνάρτηση (πάνω και δεξιά) y \u003d x2, μπορείτε να σημειώσετε ότι είναι ένα αυξανόμενο X και 0 <y<1. Τώρα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη θεωρούμενη μέθοδο για να βρείτε το Y. Αρχικά, βρίσκεται η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής, απλά πρέπει να διαφοροποιήσετε για να λάβετε την πυκνότητα πιθανότητας. Κάνοντας αυτό, παίρνουμε: 0<y<1. Η μέθοδος κατανομής έχει εφαρμοστεί με επιτυχία για να βρεθεί το Y όταν το Y είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση του X. Παρεμπιπτόντως, η f(y) ενσωματώνεται σε 1 έναντι y.
Στο τελευταίο παράδειγμα, χρησιμοποιήθηκε μεγάλη προσοχή για την ευρετηρίαση των αθροιστικών συναρτήσεων και της πυκνότητας πιθανοτήτων είτε με X είτε με Y για να υποδειχθεί σε ποια τυχαία μεταβλητή ανήκαν. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουμε τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής του Y, έχουμε το X. Εάν πρέπει να βρείτε μια τυχαία μεταβλητή X και την πυκνότητά της, τότε απλά πρέπει να τη διαφοροποιήσετε.
Τεχνική αλλαγής μεταβλητής
Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή που δίνεται από μια συνάρτηση κατανομής με κοινό παρονομαστή f (x). Σε αυτήν την περίπτωση, αν βάλετε την τιμή του y στο X=v (Y), τότε θα λάβετε την τιμή του x, για παράδειγμα v (y). Τώρα, πρέπει να πάρουμε τη συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Y. Όπου η πρώτη και η δεύτερη ισότητα λαμβάνει χώρα από τον ορισμό της αθροιστικής Y. Η τρίτη ισότητα ισχύει επειδή το τμήμα της συνάρτησης για το οποίο u (X) ≦ y είναι ισχύει επίσης ότι X ≦ v (Y). Και το τελευταίο γίνεται για να προσδιοριστεί η πιθανότητα σε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή X. Τώρα πρέπει να πάρουμε την παράγωγο του FY (y), τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής του Y, για να πάρουμε την πυκνότητα πιθανότητας Y.
Γενίκευση για τη συνάρτηση μείωσης
Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με κοινή f (x) που ορίζεται σε c1<x<c2. Και έστω Y=u (X) μια φθίνουσα συνάρτηση του X με αντίστροφο X=v (Y). Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής και φθίνουσα, υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση X=v (Y).
Για να αντιμετωπίσετε αυτό το ζήτημα, μπορείτε να συλλέξετε ποσοτικά δεδομένα και να χρησιμοποιήσετε την εμπειρική συνάρτηση αθροιστικής διανομής. Με αυτές τις πληροφορίες και ελκυστικές γι' αυτές, πρέπει να συνδυάσετε δείγματα μέσων, τυπικές αποκλίσεις, δεδομένα πολυμέσων και ούτω καθεξής.
Ομοίως, ακόμη και ένα αρκετά απλό πιθανό μοντέλο μπορεί να έχει τεράστιο αριθμό αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, αν γυρίσετε ένα νόμισμα 332 φορές. Τότε ο αριθμός των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται από τα flips είναι μεγαλύτερος από αυτόν του google (10100) - αριθμός, αλλά όχι λιγότερο από 100 εκατομμύριο φορές υψηλότερος από τα στοιχειώδη σωματίδια στο γνωστό σύμπαν. Δεν ενδιαφέρεται για μια ανάλυση που δίνει απάντηση σε κάθε πιθανό αποτέλεσμα. Θα χρειαζόταν μια πιο απλή ιδέα, όπως ο αριθμός των κεφαλιών ή το μεγαλύτερο χτύπημα των ουρών. Για να εστιάσουμε σε θέματα ενδιαφέροντος, γίνεται αποδεκτό ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Ο ορισμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο εξής: μια τυχαία μεταβλητή είναι μια πραγματική συνάρτηση με χώρο πιθανότητας.
Το εύρος S μιας τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται μερικές φορές χώρος κατάστασης. Έτσι, αν X είναι η εν λόγω τιμή, τότε N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, και ούτω καθεξής. Η τελευταία από αυτές, στρογγυλοποιώντας το X στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό, ονομάζεται συνάρτηση πατώματος.
Συναρτήσεις διανομής
Μόλις προσδιοριστεί η συνάρτηση κατανομής ενδιαφέροντος για μια τυχαία μεταβλητή x, το ερώτημα συνήθως γίνεται: "Ποιες είναι οι πιθανότητες το X να εμπίπτει σε κάποιο υποσύνολο τιμών Β;". Για παράδειγμα, B={μονοί αριθμοί}, B={μεγαλύτερο από 1}, ή B={μεταξύ 2 και 7} για να υποδείξετε εκείνα τα αποτελέσματα που έχουν X, την τιμήτυχαία μεταβλητή, στο υποσύνολο A. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, μπορείτε να περιγράψετε τα συμβάντα ως εξής.
{X είναι περιττός αριθμός}, {X είναι μεγαλύτερο από 1}={X> 1}, {X είναι μεταξύ 2 και 7}={2 <X <7} για να ταιριάζει με τις τρεις παραπάνω επιλογές για το υποσύνολο Β. Πολλές ιδιότητες τυχαίων μεγεθών δεν σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο X. Αντίθετα, εξαρτώνται από τον τρόπο με τον οποίο το X εκχωρεί τις τιμές του. Αυτό οδηγεί σε έναν ορισμό που μοιάζει με αυτό: η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής x είναι αθροιστική και καθορίζεται από ποσοτικές παρατηρήσεις.
Τυχαίες μεταβλητές και συναρτήσεις κατανομής
Έτσι, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής x να λάβει τιμές στο διάστημα με αφαίρεση. Σκεφτείτε να συμπεριλάβετε ή να εξαιρέσετε τελικά σημεία.
Θα ονομάσουμε μια τυχαία μεταβλητή διακριτή εάν έχει έναν πεπερασμένο ή μετρήσιμο άπειρο χώρο καταστάσεων. Έτσι, το X είναι ο αριθμός των κεφαλών σε τρία ανεξάρτητα κτυπήματα ενός προκατειλημμένου νομίσματος που ανεβαίνει με πιθανότητα p. Πρέπει να βρούμε τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής FX για το X. Έστω X ο αριθμός των κορυφών σε μια συλλογή τριών φύλλων. Τότε Y=X3 μέσω FX. Το FX ξεκινά στο 0, τελειώνει στο 1 και δεν μειώνεται όσο αυξάνονται οι τιμές x. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής FX μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X είναι σταθερή, εκτός από τα άλματα. Κατά το άλμα το FX είναι συνεχές. Να αποδείξετε τη δήλωση σχετικά με τη σωστήη συνέχεια της συνάρτησης κατανομής από την ιδιότητα πιθανότητας είναι δυνατή χρησιμοποιώντας τον ορισμό. Ακούγεται κάπως έτσι: μια σταθερή τυχαία μεταβλητή έχει ένα αθροιστικό FX που είναι διαφοροποιήσιμο.
Για να δείξουμε πώς μπορεί να συμβεί αυτό, μπορούμε να δώσουμε ένα παράδειγμα: έναν στόχο με ακτίνα μονάδας. Πιθανώς. το βέλος κατανέμεται ομοιόμορφα στην καθορισμένη περιοχή. Για μερικά λ> 0. Έτσι, οι συναρτήσεις κατανομής συνεχών τυχαίων μεταβλητών αυξάνονται ομαλά. Το FX έχει τις ιδιότητες μιας συνάρτησης διανομής.
Ένας άντρας περιμένει στη στάση του λεωφορείου μέχρι να φτάσει το λεωφορείο. Έχοντας αποφασίσει μόνος του ότι θα αρνηθεί όταν η αναμονή φτάσει τα 20 λεπτά. Εδώ είναι απαραίτητο να βρείτε τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για το T. Η ώρα που ένα άτομο θα είναι ακόμα στο σταθμό των λεωφορείων ή δεν θα φύγει. Παρά το γεγονός ότι η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής ορίζεται για κάθε τυχαία μεταβλητή. Παρόλα αυτά, άλλα χαρακτηριστικά θα χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά: η μάζα για μια διακριτή μεταβλητή και η συνάρτηση πυκνότητας κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Συνήθως η τιμή εξάγεται μέσω μιας από αυτές τις δύο τιμές.
Μαζικές συναρτήσεις
Αυτές οι τιμές λαμβάνονται υπόψη από τις ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες έχουν γενικό (μάζα) χαρακτήρα. Το πρώτο βασίζεται στο γεγονός ότι οι πιθανότητες δεν είναι αρνητικές. Το δεύτερο προκύπτει από την παρατήρηση ότι το σύνολο για όλα τα x=2S, ο χώρος καταστάσεων για το X, σχηματίζει ένα διαμέρισμα της πιθανολογικής ελευθερίας του X. Παράδειγμα: πέταγμα ενός προκατειλημμένου νομίσματος του οποίου τα αποτελέσματα είναι ανεξάρτητα. Μπορείτε να συνεχίσετε να κάνετεορισμένες ενέργειες μέχρι να πάρετε ένα ρολό κεφαλιών. Έστω ότι το X υποδηλώνει μια τυχαία μεταβλητή που δίνει τον αριθμό των ουρών μπροστά από την πρώτη κεφαλή. Και το p δηλώνει την πιθανότητα σε οποιαδήποτε δεδομένη ενέργεια.
Έτσι, η συνάρτηση πιθανότητας μάζας έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά γνωρίσματα. Επειδή οι όροι σχηματίζουν μια αριθμητική ακολουθία, το X ονομάζεται γεωμετρική τυχαία μεταβλητή. Γεωμετρικό σχήμα c, cr, cr2,.,,, crn έχει άθροισμα. Και, επομένως, το sn έχει ένα όριο ως n 1. Σε αυτήν την περίπτωση, το άπειρο άθροισμα είναι το όριο.
Η παραπάνω συνάρτηση μάζας σχηματίζει μια γεωμετρική ακολουθία με λόγο. Επομένως, οι φυσικοί αριθμοί a και b. Η διαφορά στις τιμές στη συνάρτηση κατανομής είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης μάζας.
Οι τιμές πυκνότητας που εξετάζονται έχουν έναν ορισμό: Το X είναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας η κατανομή FX έχει παράγωγο. FX που ικανοποιεί το Z xFX (x)=fX (t) dt-1 ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Και το Χ ονομάζεται συνεχής τυχαία μεταβλητή. Στο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, η συνάρτηση πυκνότητας είναι η παράγωγος της κατανομής. Μπορείτε να υπολογίσετε τις πιθανότητες υπολογίζοντας καθορισμένα ολοκληρώματα.
Επειδή τα δεδομένα συλλέγονται από πολλαπλές παρατηρήσεις, πρέπει να ληφθούν υπόψη περισσότερες από μία τυχαίες μεταβλητές τη φορά για να μοντελοποιηθούν οι πειραματικές διαδικασίες. Επομένως, το σύνολο αυτών των τιμών και η κοινή κατανομή τους για τις δύο μεταβλητές X1 και X2 σημαίνει προβολή γεγονότων. Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, ορίζονται κοινές πιθανοτικές συναρτήσεις μάζας. Για συνεχείς θεωρούνται τα fX1, X2, όπουη κοινή πυκνότητα πιθανότητας ικανοποιείται.
Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
Δύο τυχαίες μεταβλητές X1 και X2 είναι ανεξάρτητες εάν οποιαδήποτε δύο συμβάντα που σχετίζονται με αυτές είναι ίδια. Με λόγια, η πιθανότητα δύο συμβάντα {X1 2 B1} και {X2 2 B2} να συμβαίνουν ταυτόχρονα, y, είναι ίση με το γινόμενο των παραπάνω μεταβλητών, ότι καθένα από αυτά συμβαίνει ξεχωριστά. Για ανεξάρτητες διακριτές τυχαίες μεταβλητές, υπάρχει μια κοινή πιθανολογική συνάρτηση μάζας, η οποία είναι το γινόμενο του περιοριστικού όγκου ιόντων. Για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές που είναι ανεξάρτητες, η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το γινόμενο των τιμών οριακής πυκνότητας. Τέλος, θεωρούμε n ανεξάρτητες παρατηρήσεις x1, x2,.,,, xn που προκύπτει από άγνωστη συνάρτηση πυκνότητας ή μάζας f. Για παράδειγμα, μια άγνωστη παράμετρος σε συναρτήσεις για μια εκθετική τυχαία μεταβλητή που περιγράφει το χρόνο αναμονής για ένα δίαυλο.
Μίμηση τυχαίων μεταβλητών
Ο κύριος στόχος αυτού του θεωρητικού πεδίου είναι να παρέχει τα εργαλεία που απαιτούνται για την ανάπτυξη διαδικασιών εξαγωγής συμπερασμάτων που βασίζονται σε ορθές αρχές της στατιστικής επιστήμης. Έτσι, μια πολύ σημαντική περίπτωση χρήσης του λογισμικού είναι η δυνατότητα δημιουργίας ψευδο-δεδομένων για μίμηση πραγματικών πληροφοριών. Αυτό καθιστά δυνατή τη δοκιμή και τη βελτίωση των μεθόδων ανάλυσης προτού χρειαστεί να τις χρησιμοποιήσετε σε πραγματικές βάσεις δεδομένων. Αυτό απαιτείται προκειμένου να διερευνηθούν οι ιδιότητες των δεδομένων μέσωπρίπλασμα. Για πολλές οικογένειες τυχαίων μεταβλητών που χρησιμοποιούνται συνήθως, το R παρέχει εντολές για τη δημιουργία τους. Για άλλες περιπτώσεις, θα χρειαστούν μέθοδοι για τη μοντελοποίηση μιας ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που έχουν κοινή κατανομή.
Διακεκριμένες τυχαίες μεταβλητές και μοτίβο εντολών. Η εντολή δείγμα χρησιμοποιείται για τη δημιουργία απλών και στρωματοποιημένων τυχαίων δειγμάτων. Ως αποτέλεσμα, εάν μια ακολουθία x είναι είσοδος, το sample(x, 40) επιλέγει 40 εγγραφές από το x έτσι ώστε όλες οι επιλογές μεγέθους 40 να έχουν την ίδια πιθανότητα. Αυτό χρησιμοποιεί την προεπιλεγμένη εντολή R για ανάκτηση χωρίς αντικατάσταση. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τη μοντελοποίηση διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Για να γίνει αυτό, πρέπει να δώσετε έναν χώρο κατάστασης στο διάνυσμα x και τη συνάρτηση μάζας f. Μια κλήση για αντικατάσταση=TRUE υποδεικνύει ότι η δειγματοληψία πραγματοποιείται με την αντικατάσταση. Στη συνέχεια, για να δοθεί ένα δείγμα n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που έχουν κοινή συνάρτηση μάζας f, χρησιμοποιείται το δείγμα (x, n, αντικατάσταση=TRUE, prob=f).
Προσδιορίστηκε ότι το 1 είναι η μικρότερη τιμή που αντιπροσωπεύεται και το 4 είναι η μεγαλύτερη από όλες. Εάν η εντολή prob=f παραλειφθεί, τότε το δείγμα θα κάνει ομοιόμορφη δειγματοληψία από τις τιμές στο διάνυσμα x. Μπορείτε να ελέγξετε την προσομοίωση σε σχέση με τη συνάρτηση μάζας που δημιούργησε τα δεδομένα κοιτάζοντας το σύμβολο διπλού ίσον,==. Και επανυπολογίζοντας τις παρατηρήσεις που παίρνουν κάθε δυνατή τιμή για το x. Μπορείτε να φτιάξετε ένα τραπέζι. Επαναλάβετε αυτό για 1000 και συγκρίνετε την προσομοίωση με την αντίστοιχη συνάρτηση μάζας.
Απεικόνιση μετασχηματισμού πιθανότητας
Πρώτοπροσομοίωση συναρτήσεων ομοιογενούς κατανομής τυχαίων μεταβλητών u1, u2,.,,, un στο διάστημα [0, 1]. Περίπου το 10% των αριθμών θα πρέπει να είναι εντός [0, 3, 0, 4]. Αυτό αντιστοιχεί στο 10% των προσομοιώσεων στο διάστημα [0, 28, 0, 38] για μια τυχαία μεταβλητή με τη συνάρτηση κατανομής FX να εμφανίζεται. Ομοίως, περίπου το 10% των τυχαίων αριθμών θα πρέπει να βρίσκεται στο διάστημα [0, 7, 0, 8]. Αυτό αντιστοιχεί σε 10% προσομοιώσεις στο διάστημα [0, 96, 1, 51] της τυχαίας μεταβλητής με τη συνάρτηση κατανομής FX. Αυτές οι τιμές στον άξονα x μπορούν να ληφθούν λαμβάνοντας το αντίστροφο από το FX. Εάν το X είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα fX θετική παντού στον τομέα της, τότε η συνάρτηση κατανομής είναι αυστηρά αυξανόμενη. Σε αυτήν την περίπτωση, το FX έχει μια αντίστροφη συνάρτηση FX-1 γνωστή ως συνάρτηση quantile. FX (x) u μόνο όταν x FX-1 (u). Ο μετασχηματισμός πιθανότητας προκύπτει από την ανάλυση της τυχαίας μεταβλητής U=FX (X).
Το
FX έχει εύρος από 0 έως 1. Δεν μπορεί να είναι κάτω από 0 ή πάνω από 1. Για τιμές του u μεταξύ 0 και 1. Εάν μπορεί να προσομοιωθεί το U, τότε μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή FX πρέπει να είναι προσομοίωση μέσω μιας συνάρτησης ποσοστού. Πάρτε την παράγωγο για να δείτε ότι η πυκνότητα u ποικίλλει μέσα στο 1. Εφόσον η τυχαία μεταβλητή U έχει σταθερή πυκνότητα στο διάστημα των πιθανών τιμών της, ονομάζεται ομοιόμορφη στο διάστημα [0, 1]. Μοντελοποιείται σε R με την εντολή runif. Η ταυτότητα ονομάζεται πιθανοτικός μετασχηματισμός. Μπορείτε να δείτε πώς λειτουργεί στο παράδειγμα του πίνακα βελών. X μεταξύ 0 και 1, συνάρτησηκατανομή u=FX (x)=x2, και ως εκ τούτου η συνάρτηση ποσοστού x=FX-1 (u). Είναι δυνατό να μοντελοποιηθούν ανεξάρτητες παρατηρήσεις της απόστασης από το κέντρο του πίνακα βελών και έτσι να δημιουργηθούν ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές U1, U2,.,, Ουν. Η συνάρτηση διανομής και η εμπειρική συνάρτηση βασίζονται σε 100 προσομοιώσεις της κατανομής μιας σανίδας βελών. Για μια εκθετική τυχαία μεταβλητή, πιθανώς u=FX (x)=1 - exp (- x), και επομένως x=- 1 ln (1 - u). Μερικές φορές η λογική αποτελείται από ισοδύναμες δηλώσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να συνδέσετε τα δύο μέρη του επιχειρήματος. Η ταυτότητα τομής είναι παρόμοια για όλα τα 2 {S i i} S, αντί για κάποια τιμή. Η ένωση Ci είναι ίση με τον χώρο καταστάσεων S και κάθε ζεύγος αποκλείεται αμοιβαία. Δεδομένου ότι το Bi - χωρίζεται σε τρία αξιώματα. Κάθε έλεγχος βασίζεται στην αντίστοιχη πιθανότητα P. Για οποιοδήποτε υποσύνολο. Χρήση ταυτότητας για να βεβαιωθείτε ότι η απάντηση δεν εξαρτάται από το εάν περιλαμβάνονται τα τελικά σημεία του διαστήματος.
Εκθετική συνάρτηση και οι μεταβλητές της
Για κάθε αποτέλεσμα σε όλα τα γεγονότα, χρησιμοποιείται τελικά η δεύτερη ιδιότητα της συνέχειας των πιθανοτήτων, η οποία θεωρείται αξιωματική. Ο νόμος κατανομής της συνάρτησης μιας τυχαίας μεταβλητής εδώ δείχνει ότι η καθεμία έχει τη δική της λύση και απάντηση.
