Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας ειδικός κλάδος των μαθηματικών, που μελετάται μόνο από φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάστε τις προοπτικές γνωριμίας με την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής; Τότε αυτό το θέμα θα σας ενδιαφέρει πολύ. Ας εξοικειωθούμε με μερικές από τις πιο σημαντικές βασικές έννοιες αυτού του τμήματος της επιστήμης.
Θυμηθείτε τα βασικά
Ακόμα κι αν θυμάστε τις πιο απλές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, μην παραμελήσετε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το γεγονός είναι ότι χωρίς σαφή κατανόηση των βασικών, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.
Έτσι, υπάρχει κάποιο τυχαίο συμβάν, κάποιο πείραμα. Ως αποτέλεσμα των ενεργειών που εκτελούνται, μπορούμε να έχουμε πολλά αποτελέσματα - μερικά από αυτά είναι πιο κοινά, άλλα λιγότερο κοινά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των πραγματικά ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου προς τον συνολικό αριθμό των πιθανών. Μόνο γνωρίζοντας τον κλασικό ορισμό αυτής της έννοιας, μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του συνεχούςτυχαίες μεταβλητές.
Αριθμητικός μέσος όρος
Ακόμη και στο σχολείο, στα μαθήματα μαθηματικών, άρχισες να δουλεύεις με τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το κύριο πράγμα για εμάς αυτή τη στιγμή είναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους για τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής.
Έχουμε μια ακολουθία αριθμών και θέλουμε να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να αθροίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Έστω ότι έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι 45 και θα διαιρέσουμε αυτήν την τιμή με το 9. Απάντηση: - 5.
Dispersion
Επιστημονικά μιλώντας, η διακύμανση είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των λαμβανόμενων τιμών χαρακτηριστικών από τον αριθμητικό μέσο όρο. Το ένα συμβολίζεται με κεφαλαίο λατινικό γράμμα D. Τι χρειάζεται για τον υπολογισμό του; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του διαθέσιμου αριθμού και του αριθμητικού μέσου όρου και τον τετραγωνίζουμε. Θα υπάρξουν ακριβώς τόσες αξίες όσες μπορεί να υπάρξουν αποτελέσματα για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, συνοψίζουμε όλα όσα λάβαμε και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Αν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.
Το
Η διασπορά έχει επίσης ιδιότητες που πρέπει να θυμάστε για να το εφαρμόσετε κατά την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, εάν η τυχαία μεταβλητή αυξηθεί κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ φορές το τετράγωνο (δηλαδή XX). Δεν είναι ποτέ λιγότερο από το μηδέν και δεν εξαρτάται απόμετατόπιση τιμών κατά ίση τιμή προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Επίσης, για ανεξάρτητες δοκιμές, η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.
Τώρα πρέπει οπωσδήποτε να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.
Ας υποθέσουμε ότι εκτελέσαμε 21 πειράματα και είχαμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε το καθένα από αυτά, αντίστοιχα, 1, 2, 2, 3, 4, 4 και 5 φορές. Ποια θα είναι η διακύμανση;
Πρώτα, ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο: το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Διαιρέστε το με το 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρέστε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετραγωνίστε κάθε τιμή και προσθέστε τα αποτελέσματα μαζί. Αποδεικνύεται 12. Τώρα μένει να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων, και, όπως φαίνεται, αυτό είναι όλο. Υπάρχει όμως ένα πιάσιμο! Ας το συζητήσουμε.
Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων
Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, ο παρονομαστής μπορεί να είναι ένας από δύο αριθμούς: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ή ο αριθμός των στοιχείων της ακολουθίας (που στην πραγματικότητα είναι ο ίδιος). Από τι εξαρτάται;
Αν ο αριθμός των δοκιμών μετριέται σε εκατοντάδες, τότε πρέπει να βάλουμε N στον παρονομαστή. Αν σε μονάδες, τότε N-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν το σύνορο αρκετά συμβολικά: σήμερα τρέχει κατά μήκος του αριθμού 30. Εάν πραγματοποιούσαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε το ποσό με N-1 και αν περισσότερο, τότε με N.
Εργασία
Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας για την επίλυση του προβλήματος διακύμανσης και προσδοκιών. Εμείςέλαβε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να διαιρεθεί με Ν ή Ν-1. Δεδομένου ότι πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Άρα η απάντηση είναι: η διακύμανση είναι 12 / 2=2.
Προσδοκία
Ας περάσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία πρέπει να εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιαζόμενη με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η προκύπτουσα τιμή, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνεται μόνο μία φορά για ολόκληρη την εργασία, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα εξετάζει.
Ο τύπος προσδοκίας είναι αρκετά απλός: παίρνουμε ένα αποτέλεσμα, το πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητα του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, το τρίτο αποτέλεσμα κ.λπ. Όλα όσα σχετίζονται με αυτήν την έννοια είναι εύκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών είναι ίσο με τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος. Το ίδιο ισχύει και για το έργο. Δεν επιτρέπει κάθε ποσότητα στη θεωρία πιθανοτήτων να εκτελεστούν τέτοιες απλές πράξεις. Ας αναλάβουμε μια εργασία και ας υπολογίσουμε την αξία δύο εννοιών που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Επιπλέον, αποσπάσαμε την προσοχή μας από τη θεωρία - ήρθε η ώρα να εξασκηθούμε.
Άλλο παράδειγμα
Εκτελέσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 είδη αποτελεσμάτων - αριθμούς από το 0 έως το 9 - που εμφανίστηκαν σε διαφορετικά ποσοστά. Αυτά είναι, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε τις πιθανότητες, πρέπει να διαιρέσετε τις ποσοστιαίες τιμές με το 100. Έτσι, παίρνουμε 0,02. 0, 1, κ.λπ. Ας αναπαραστήσουμε για τη διακύμανση ενός τυχαίουΠαράδειγμα αξίας και μαθηματικών προσδοκιών για την επίλυση του προβλήματος.
Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο που θυμόμαστε από το δημοτικό σχολείο: 50/10=5.
Τώρα ας μεταφράσουμε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων "σε κομμάτια" για να διευκολύνουμε την μέτρηση. Παίρνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο από κάθε τιμή που λαμβάνεται, μετά την οποία τετραγωνίζουμε καθένα από τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5=(-4). Επιπλέον: (-4)(-4)=16. Για άλλες τιμές, κάντε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, τότε αφού προσθέσετε όλα τα ενδιάμεσα αποτελέσματα θα λάβετε 90.
Συνεχίστε τον υπολογισμό της διακύμανσης και του μέσου όρου διαιρώντας το 90 με το N. Γιατί επιλέγουμε N και όχι N-1; Σωστά, γιατί ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ξεπερνά τα 30. Άρα: 90/10=9. Πήραμε τη διασπορά. Εάν λάβετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα κοινό λάθος στους υπολογισμούς. Ελέγξτε ξανά τι έχετε γράψει και σίγουρα όλα θα μπουν στη θέση τους.
Τέλος, ας θυμηθούμε τη φόρμουλα προσδοκιών. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο την απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η προσδοκία θα είναι ίση με 5, 48. Θυμόμαστε μόνο πώς να εκτελούμε λειτουργίες, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των πρώτων στοιχείων: 00, 02 + 10, 1… και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλώς πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.
Απόκλιση
Μια άλλη έννοια που σχετίζεται στενά με τη διακύμανση και την αναμενόμενη τιμή είναιτυπική απόκλιση. Συμβολίζεται είτε με τα λατινικά γράμματα sd, είτε με το ελληνικό πεζό «σίγμα». Αυτή η ιδέα δείχνει πώς, κατά μέσο όρο, οι τιμές αποκλίνουν από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.
Αν δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας κανονικής κατανομής και θέλετε να δείτε την τιμή της τυπικής απόκλισης απευθείας σε αυτό, αυτό μπορεί να γίνει σε διάφορα στάδια. Πάρτε τη μισή εικόνα στα αριστερά ή στα δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε μια κάθετη στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Η τιμή του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα είναι η τυπική απόκλιση.
Λογισμικό
Όπως μπορείτε να δείτε από τις περιγραφές των τύπων και τα παραδείγματα που παρουσιάζονται, ο υπολογισμός της διακύμανσης και των μαθηματικών προσδοκιών δεν είναι η ευκολότερη διαδικασία από αριθμητική άποψη. Για να μην χάνουμε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται στην τριτοβάθμια εκπαίδευση - ονομάζεται "R". Διαθέτει συναρτήσεις που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τιμές για πολλές έννοιες από τη στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων.
Για παράδειγμα, ορίζετε ένα διάνυσμα τιμών. Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα <-c(1, 5, 2…). Τώρα, όταν χρειάζεται να υπολογίσετε κάποιες τιμές για αυτό το διάνυσμα, γράφετε μια συνάρτηση και τη δίνετε ως όρισμα. Για να βρείτε τη διακύμανση, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε το var. Ένα παράδειγμα τηςχρήση: var(διάνυσμα). Στη συνέχεια, απλά πατάτε "enter" και λαμβάνετε το αποτέλεσμα.
Συμπερασματικά
Η διακύμανση και η μαθηματική προσδοκία είναι οι βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογιστεί οτιδήποτε στο μέλλον. Στο κύριο μάθημα των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, εξετάζονται ήδη από τους πρώτους μήνες της μελέτης του αντικειμένου. Ακριβώς λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλών εννοιών και της αδυναμίας υπολογισμού τους, πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν στο πρόγραμμα και αργότερα λαμβάνουν κακούς βαθμούς στο τέλος της συνεδρίας, γεγονός που τους στερεί τις υποτροφίες.
Εξασκηθείτε τουλάχιστον μία εβδομάδα για μισή ώρα την ημέρα, λύνοντας προβλήματα παρόμοια με αυτά που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιοδήποτε τεστ θεωρίας πιθανοτήτων θα αντεπεξέλθετε σε παραδείγματα χωρίς περιττές συμβουλές και φύλλα εξαπάτησης.
