Η θεωρία πιθανοτήτων λειτουργεί με τυχαίες μεταβλητές. Για τις τυχαίες μεταβλητές, υπάρχουν οι λεγόμενοι νόμοι διανομής. Ένας τέτοιος νόμος περιγράφει την τυχαία μεταβλητή του με απόλυτη πληρότητα. Ωστόσο, όταν εργάζεστε με πραγματικά σύνολα τυχαίων μεταβλητών, είναι συχνά πολύ δύσκολο να καθοριστεί αμέσως ο νόμος της κατανομής τους και περιορίζονται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμητικών χαρακτηριστικών. Για παράδειγμα, ο υπολογισμός του μέσου όρου και της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής είναι συχνά πολύ χρήσιμος.
Γιατί χρειάζεται
Αν η ουσία της μαθηματικής προσδοκίας είναι κοντά στη μέση τιμή της ποσότητας, τότε σε αυτήν την περίπτωση η διασπορά λέει πώς οι τιμές της ποσότητας μας είναι διασκορπισμένες γύρω από αυτήν τη μαθηματική προσδοκία. Για παράδειγμα, αν μετρήσαμε το IQ μιας ομάδας ανθρώπων και θέλουμε να εξετάσουμε τα αποτελέσματα της μέτρησης (δείγμα), η μαθηματική προσδοκία θα δείξει την κατά προσέγγιση μέση τιμή του πηλίκου νοημοσύνης για αυτήν την ομάδα ανθρώπων και αν υπολογίσουμε τη διακύμανση του δείγματος, θα μάθουμε πώς ομαδοποιούνται τα αποτελέσματα γύρω από τη μαθηματική προσδοκία: μια δέσμη κοντά της (μικρή διακύμανση στο IQ) ή πιο ομοιόμορφα σε ολόκληρο το εύρος από το ελάχιστο έως το μέγιστο αποτέλεσμα (μεγάλη διακύμανση και κάπου στη μέση - μαθηματική προσδοκία).
Για να υπολογίσετε τη διακύμανση, χρειάζεστε ένα νέο χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής - την απόκλιση της τιμής από τη μαθηματικήαναμονή.
Απόκλιση
Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε τη διακύμανση, πρέπει πρώτα να κατανοήσετε την απόκλιση. Ο ορισμός της είναι η διαφορά μεταξύ της τιμής που παίρνει μια τυχαία μεταβλητή και της μαθηματικής της προσδοκίας. Σε γενικές γραμμές, για να καταλάβετε πώς μια τιμή "σκορπίζεται", πρέπει να εξετάσετε πώς κατανέμεται η απόκλιση της. Δηλαδή αντικαθιστούμε την τιμή της τιμής με την τιμή της απόκλισής της από το ταπί. προσδοκίες και εξερευνήστε τον νόμο διανομής του.
Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής, δηλαδή μιας τυχαίας μεταβλητής που παίρνει μεμονωμένες τιμές, γράφεται με τη μορφή πίνακα, όπου η τιμή της τιμής συσχετίζεται με την πιθανότητα εμφάνισής της. Στη συνέχεια, στον νόμο κατανομής απόκλισης, η τυχαία μεταβλητή θα αντικατασταθεί από τον τύπο της, στον οποίο υπάρχει μια τιμή (η οποία έχει διατηρήσει την πιθανότητα της) και το δικό της ματ. αναμονή.
Ιδιότητες του νόμου κατανομής της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής
Έχουμε καταγράψει τον νόμο κατανομής για την απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής. Από αυτό, μπορούμε να εξαγάγουμε μέχρι στιγμής μόνο ένα τέτοιο χαρακτηριστικό όπως η μαθηματική προσδοκία. Για ευκολία, είναι καλύτερο να πάρετε ένα αριθμητικό παράδειγμα.
Ας υπάρχει νόμος κατανομής κάποιας τυχαίας μεταβλητής: X - τιμή, p - πιθανότητα.
Υπολογίζουμε τη μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιώντας τον τύπο και αμέσως την απόκλιση.
Σχεδίαση νέου πίνακα κατανομής απόκλισης.
Υπολογίζουμε την προσδοκία και εδώ.
Βγαίνει μηδέν. Υπάρχει μόνο ένα παράδειγμα, αλλά θα είναι πάντα έτσι: δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί αυτό στη γενική περίπτωση. Ο τύπος για τη μαθηματική προσδοκία της απόκλισης μπορεί να αποσυντεθεί στη διαφορά μεταξύ των μαθηματικών προσδοκιών μιας τυχαίας μεταβλητής και, ανεξάρτητα από το πόσο στραβά μπορεί να ακούγεται, στη μαθηματική προσδοκία του ματ. προσδοκίες (αναδρομή, ωστόσο), οι οποίες είναι ίδιες, επομένως η διαφορά τους θα είναι μηδενική.
Αυτό είναι αναμενόμενο: τελικά, οι αποκλίσεις στο πρόσημο μπορεί να είναι θετικές και αρνητικές, επομένως, κατά μέσο όρο θα πρέπει να δίνουν μηδέν.
Πώς να υπολογίσετε τη διακύμανση μιας διακριτής περίπτωσης. ποσότητες
Αν ματ. είναι άσκοπο να υπολογίσεις την προσδοκία απόκλισης, πρέπει να ψάξεις για κάτι άλλο. Μπορείτε απλά να πάρετε τις απόλυτες τιμές των αποκλίσεων (modulo). αλλά με τις ενότητες, όλα δεν είναι τόσο απλά, επομένως οι αποκλίσεις τετραγωνίζονται και στη συνέχεια υπολογίζεται η μαθηματική προσδοκία τους. Στην πραγματικότητα, αυτό εννοείται όταν μιλούν για τον τρόπο υπολογισμού της διακύμανσης.
Δηλαδή, παίρνουμε τις αποκλίσεις, τις τετραγωνίζουμε και κάνουμε έναν πίνακα τετραγωνικών αποκλίσεων και πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε τυχαίες μεταβλητές. Αυτός είναι ένας νέος νόμος διανομής. Για να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, πρέπει να προσθέσετε τα γινόμενα του τετραγώνου της απόκλισης και της πιθανότητας.
Ευκολότερη φόρμουλα
Ωστόσο, το άρθρο ξεκίνησε με το γεγονός ότι ο νόμος κατανομής της αρχικής τυχαίας μεταβλητής είναι συχνά άγνωστος. Χρειάζεται λοιπόν κάτι πιο ελαφρύ. Πράγματι, υπάρχει ένας άλλος τύπος που σας επιτρέπει να υπολογίσετε τη διακύμανση του δείγματος χρησιμοποιώντας μόνο το χαλί.αναμονή:
Διασπορά - η διαφορά μεταξύ του χαλιού. προσδοκία του τετραγώνου μιας τυχαίας μεταβλητής και, αντιστρόφως, του τετραγώνου του στρώματός της. αναμονή.
Υπάρχει μια απόδειξη για αυτό, αλλά δεν έχει νόημα να την παρουσιάσουμε εδώ, αφού δεν έχει πρακτική αξία (και χρειάζεται μόνο να υπολογίσουμε τη διακύμανση).
Πώς να υπολογίσετε τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής σε μεταβλητές σειρές
Σε πραγματικές στατιστικές, είναι αδύνατο να αντικατοπτριστούν όλες οι τυχαίες μεταβλητές (γιατί, σε γενικές γραμμές, υπάρχουν, κατά κανόνα, ένας άπειρος αριθμός από αυτές). Επομένως, αυτό που μπαίνει στη μελέτη είναι το λεγόμενο αντιπροσωπευτικό δείγμα από κάποιο γενικό γενικό πληθυσμό. Και, δεδομένου ότι τα αριθμητικά χαρακτηριστικά οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής από έναν τέτοιο γενικό πληθυσμό υπολογίζονται από το δείγμα, ονομάζονται δείγμα: μέσος όρος δείγματος, αντίστοιχα, διακύμανση δείγματος. Μπορείτε να το υπολογίσετε με τον ίδιο τρόπο όπως ο συνηθισμένος (μέσω των τετραγωνικών αποκλίσεων).
Ωστόσο, μια τέτοια διασπορά ονομάζεται προκατειλημμένη. Ο τύπος αμερόληπτης διακύμανσης φαίνεται λίγο διαφορετικός. Συνήθως απαιτείται για τον υπολογισμό του.
Μικρή προσθήκη
Ένα ακόμη αριθμητικό χαρακτηριστικό συνδέεται με τη διασπορά. Χρησιμεύει επίσης για την αξιολόγηση του τρόπου με τον οποίο η τυχαία μεταβλητή διασκορπίζεται γύρω από το στρώμα της. προσδοκίες. Δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά στον τρόπο υπολογισμού της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης: η τελευταία είναι η τετραγωνική ρίζα της πρώτης.
