Συχνά στη ζωή ερχόμαστε αντιμέτωποι με την ανάγκη να αξιολογήσουμε τις πιθανότητες να συμβεί ένα γεγονός. Είτε αξίζει να αγοράσετε ένα λαχείο είτε όχι, ποιο θα είναι το φύλο του τρίτου παιδιού της οικογένειας, εάν αύριο θα είναι αίθριος ο καιρός ή θα βρέξει ξανά - υπάρχουν αμέτρητα τέτοια παραδείγματα. Στην απλούστερη περίπτωση, θα πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων με τον συνολικό αριθμό των γεγονότων. Αν υπάρχουν 10 νικητήρια δελτία στην κλήρωση και υπάρχουν 50 συνολικά, τότε οι πιθανότητες να πάρεις ένα έπαθλο είναι 10/50=0,2, δηλαδή 20 έναντι 100. Τι γίνεται όμως αν υπάρχουν πολλά γεγονότα και είναι κοντά σχετιζομαι με? Σε αυτή την περίπτωση, δεν θα μας ενδιαφέρει πλέον η απλή, αλλά η υπό όρους πιθανότητα. Τι είναι αυτή η τιμή και πώς μπορεί να υπολογιστεί - αυτό θα συζητηθεί στο άρθρο μας.
Έννοια
Πιθανότητα υπό όρους είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα συγκεκριμένο συμβάν, δεδομένου ότι έχει ήδη συμβεί ένα άλλο σχετικό γεγονός. Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα μεπετώντας ένα νόμισμα. Αν δεν έχει γίνει ακόμη ισοπαλία, τότε οι πιθανότητες να πάρει κεφάλια ή ουραγές θα είναι οι ίδιες. Αλλά αν πέντε φορές στη σειρά το νόμισμα απλώνεται με το εθνόσημο ψηλά, τότε συμφωνήστε να περιμένετε την 6η, την 7η και ακόμη περισσότερο τη 10η επανάληψη ενός τέτοιου αποτελέσματος θα ήταν παράλογη. Με κάθε επαναλαμβανόμενη κατεύθυνση, οι πιθανότητες εμφάνισης ουρών αυξάνονται και αργά ή γρήγορα θα πέσει έξω.
Τύπος πιθανοτήτων υπό όρους
Ας δούμε τώρα πώς υπολογίζεται αυτή η τιμή. Ας συμβολίσουμε το πρώτο γεγονός ως Β και το δεύτερο ως Α. Εάν οι πιθανότητες εμφάνισης του Β είναι διαφορετικές από το μηδέν, τότε θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
P (A|B)=P (AB) / P (B), όπου:
- P (A|B) – υπό όρους πιθανότητα έκβασης A;
- P (AB) - η πιθανότητα κοινής εμφάνισης των γεγονότων A και B;
- P (B) – πιθανότητα του συμβάντος B.
Μετασχηματίζοντας ελαφρώς αυτόν τον λόγο, παίρνουμε P (AB)=P (A|B)P (B). Και αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο της επαγωγής, τότε μπορούμε να αντλήσουμε τον τύπο προϊόντος και να τον χρησιμοποιήσουμε για έναν αυθαίρετο αριθμό γεγονότων:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Πρακτική
Για να καταλάβουμε ευκολότερα πώς υπολογίζεται η υπό όρους πιθανότητα ενός συμβάντος, ας δούμε μερικά παραδείγματα. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα βάζο που περιέχει 8 σοκολάτες και 7 μέντες. Έχουν το ίδιο μέγεθος και τυχαία.δύο από αυτά ανασύρονται διαδοχικά. Ποιες είναι οι πιθανότητες να είναι και τα δύο σοκολατένια; Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Έστω ότι το αποτέλεσμα Α σημαίνει ότι η πρώτη καραμέλα είναι σοκολάτα, το αποτέλεσμα Β είναι η δεύτερη καραμέλα σοκολάτας. Τότε λαμβάνετε τα εξής:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Ας εξετάσουμε μια ακόμη περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια οικογένεια με δύο παιδιά και γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα παιδί είναι κορίτσι.
Ποια είναι η υπό όρους πιθανότητα αυτοί οι γονείς να μην έχουν ακόμη αγόρια; Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, ξεκινάμε με σημειογραφία. Έστω P(B) η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα κορίτσι στην οικογένεια, P(A|B) η πιθανότητα ότι το δεύτερο παιδί είναι επίσης κορίτσι, P(AB) οι πιθανότητες να υπάρχουν δύο κορίτσια η οικογένεια. Τώρα ας κάνουμε τους υπολογισμούς. Συνολικά, μπορεί να υπάρχουν 4 διαφορετικοί συνδυασμοί του φύλου των παιδιών, και σε αυτήν την περίπτωση, μόνο σε μία περίπτωση (όταν υπάρχουν δύο αγόρια στην οικογένεια), δεν θα υπάρχει κορίτσι μεταξύ των παιδιών. Επομένως, η πιθανότητα P (B)=3/4, και P (AB)=1/4. Στη συνέχεια, ακολουθώντας τον τύπο μας, παίρνουμε:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Το αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευθεί ως εξής: αν δεν γνωρίζαμε το φύλο ενός από τα παιδιά, τότε οι πιθανότητες δύο κοριτσιών θα ήταν 25 έναντι 100. Επειδή όμως γνωρίζουμε ότι ένα παιδί είναι κορίτσι, το πιθανότητα ότι η οικογένεια των αγοριών όχι, αυξάνεται στο ένα τρίτο.
