Το θέμα «αριθμητική πρόοδος» μελετάται στο γενικό μάθημα της άλγεβρας στα σχολεία της 9ης τάξης. Αυτό το θέμα είναι σημαντικό για περαιτέρω σε βάθος μελέτη των μαθηματικών των σειρών αριθμών. Σε αυτό το άρθρο, θα εξοικειωθούμε με την αριθμητική πρόοδο, τη διαφορά της, καθώς και με τυπικές εργασίες που μπορεί να αντιμετωπίσουν οι μαθητές.
Η έννοια της αλγεβρικής προόδου
Η αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενο στοιχείο μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο, εάν εφαρμοστεί κάποιος μαθηματικός νόμος. Υπάρχουν δύο απλοί τύποι προόδου: η γεωμετρική και η αριθμητική, η οποία ονομάζεται επίσης αλγεβρική. Ας σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.
Ας φανταστούμε κάποιον ρητό αριθμό, τον συμβολίζουμε με το σύμβολο a1, όπου ο δείκτης δείχνει τον τακτικό του αριθμό στη σειρά που εξετάζουμε. Ας προσθέσουμε κάποιον άλλο αριθμό σε ένα1 , ας τον συμβολίσουμε d. Μετά το δεύτεροένα στοιχείο μιας σειράς μπορεί να απεικονιστεί ως εξής: a2=a1+d. Τώρα προσθέστε ξανά το d, παίρνουμε: a3=a2+d. Συνεχίζοντας αυτή τη μαθηματική πράξη, μπορείτε να πάρετε μια ολόκληρη σειρά αριθμών, η οποία θα ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Όπως γίνεται κατανοητό από τα παραπάνω, για να βρείτε το ν-ο στοιχείο αυτής της ακολουθίας, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: a =a1+ (n -1)d. Πράγματι, αντικαθιστώντας το n=1 στην παράσταση, παίρνουμε a1=a1, εάν n=2, τότε ο τύπος υποδηλώνει: a2=a1 + 1d, και ούτω καθεξής.
Για παράδειγμα, εάν η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου είναι 5 και a1=1, τότε αυτό σημαίνει ότι η σειρά αριθμών του εν λόγω τύπου μοιάζει με: 1, 6, 11, 16, 21, … Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε όρος του είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο κατά 5.
Τύποι για τη διαφορά αριθμητικής προόδου
Από τον παραπάνω ορισμό της εξεταζόμενης σειράς αριθμών, προκύπτει ότι για να την προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε δύο αριθμούς: a1 και d. Το τελευταίο ονομάζεται διαφορά αυτής της προόδου. Καθορίζει μοναδικά τη συμπεριφορά ολόκληρης της σειράς. Πράγματι, εάν το d είναι θετικό, τότε η αριθμητική σειρά θα αυξάνεται συνεχώς, αντίθετα, στην περίπτωση του αρνητικού d, οι αριθμοί της σειράς θα αυξάνονται μόνο με modulo, ενώ η απόλυτη τιμή τους θα μειώνεται με την αύξηση του αριθμού n.
Ποια είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου; Εξετάστε τους δύο κύριους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό αυτής της τιμής:
- d=an+1-a , αυτός ο τύπος προκύπτει απευθείας από τον ορισμό της εν λόγω σειράς αριθμών.
- d=(-a1+a)/(n-1), αυτή η έκφραση λαμβάνεται εκφράζοντας το d από τον τύπο που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου. Σημειώστε ότι αυτή η έκφραση γίνεται απροσδιόριστη (0/0) εάν n=1. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τουλάχιστον 2 στοιχεία της σειράς για να προσδιορίσουμε τη διαφορά της.
Αυτοί οι δύο βασικοί τύποι χρησιμοποιούνται για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος εύρεσης της διαφοράς προόδου. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος τύπος που πρέπει επίσης να γνωρίζετε.
Άθροισμα πρώτων στοιχείων
Ο τύπος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του αθροίσματος οποιουδήποτε αριθμού μελών μιας αλγεβρικής προόδου, σύμφωνα με ιστορικά στοιχεία, αποκτήθηκε για πρώτη φορά από τον «πρίγκιπα» των μαθηματικών του 18ου αιώνα, Καρλ Γκάους. Ένας Γερμανός επιστήμονας, ενώ ήταν ακόμη αγόρι στις δημοτικές τάξεις ενός σχολείου χωριού, παρατήρησε ότι για να προσθέσετε φυσικούς αριθμούς στη σειρά από το 1 έως το 100, πρέπει πρώτα να αθροίσετε το πρώτο στοιχείο και το τελευταίο (η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση στο άθροισμα του προτελευταίου και του δεύτερου, του προτελευταίου και του τρίτου στοιχείου, και ούτω καθεξής), και στη συνέχεια αυτός ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό αυτών των ποσών, δηλαδή επί 50.
Ο τύπος που αντικατοπτρίζει το δηλωμένο αποτέλεσμα σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί σε μια αυθαίρετη περίπτωση. Θα μοιάζει με αυτό: S =n/2(a +a1). Σημειώστε ότι για να βρείτε την καθορισμένη τιμή, δεν απαιτείται γνώση της διαφοράς d,εάν είναι γνωστοί δύο όροι της προόδου (a και a1).
Παράδειγμα 1. Προσδιορίστε τη διαφορά, γνωρίζοντας τους δύο όρους της σειράς a1 και an
Ας δείξουμε πώς να εφαρμόζουμε τους τύπους που αναφέρονται παραπάνω στο άρθρο. Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα: η διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι άγνωστη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί με τι θα ισούται εάν a13=-5, 6 και a1 =-12, 1.
Δεδομένου ότι γνωρίζουμε τις τιμές δύο στοιχείων της αριθμητικής ακολουθίας και ένα από αυτά είναι ο πρώτος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Νο. 2 για να προσδιορίσουμε τη διαφορά d. Έχουμε: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Στην παράσταση χρησιμοποιήσαμε την τιμή n=13, αφού το μέλος με αυτόν τον αύξοντα αριθμό είναι γνωστό.
Η διαφορά που προκύπτει δείχνει ότι η πρόοδος αυξάνεται, παρά το γεγονός ότι τα στοιχεία που δίνονται στην συνθήκη του προβλήματος έχουν αρνητική τιμή. Μπορεί να φανεί ότι a13>a1, αν και |a13|<|a 1 |.
Παράδειγμα 2. Θετικά μέλη της προόδου στο παράδειγμα 1
Ας χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα που λήφθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα για να λύσουμε ένα νέο πρόβλημα. Διατυπώνεται ως εξής: από ποιον αριθμό σειράς αρχίζουν να παίρνουν θετικές τιμές τα στοιχεία της προόδου στο παράδειγμα 1;
Όπως φαίνεται, η πρόοδος κατά την οποία a1=-12, 1 και d=0. 54167 αυξάνεται, επομένως από κάποιο αριθμό οι αριθμοί θα αρχίσουν να παίρνουν μόνο θετικά αξίες. Για να προσδιορίσουμε αυτόν τον αριθμό n, πρέπει να λύσουμε μια απλή ανισότητα, η οποία είναιγραμμένο μαθηματικά ως εξής: a >0 ή, χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο, ξαναγράφουμε την ανισότητα: a1 + (n-1)d>0. Είναι απαραίτητο να βρούμε το άγνωστο n, ας το εκφράσουμε: n>-1a1/d + 1. Τώρα απομένει να αντικαταστήσουμε τις γνωστές τιμές της διαφοράς και του πρώτου μέλους της ακολουθίας. Παίρνουμε: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ή n>23, 338. Επειδή το n μπορεί να πάρει μόνο ακέραιες τιμές, προκύπτει από την προκύπτουσα ανισότητα ότι οποιαδήποτε μέλη της σειράς θα έχουν έναν αριθμό μεγαλύτερο από 23 θα είναι θετικό.
Ελέγξτε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για να υπολογίσετε το 23ο και το 24ο στοιχείο αυτής της αριθμητικής προόδου. Έχουμε: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (αρνητικός αριθμός); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (θετική τιμή). Έτσι, το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι σωστό: ξεκινώντας από n=24, όλα τα μέλη της σειράς αριθμών θα είναι μεγαλύτερα από το μηδέν.
Παράδειγμα 3. Πόσοι κορμοί χωράνε;
Ας δώσουμε ένα περίεργο πρόβλημα: κατά την υλοτομία, αποφασίστηκε να στοιβάζονται πριονισμένοι κορμοί ο ένας πάνω στον άλλο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα αρχεία καταγραφής μπορούν να στοιβάζονται με αυτόν τον τρόπο, γνωρίζοντας ότι θα χωρέσουν 10 σειρές συνολικά;
Σε αυτόν τον τρόπο στοίβαξης αρχείων καταγραφής, μπορείτε να παρατηρήσετε ένα ενδιαφέρον πράγμα: κάθε επόμενη σειρά θα περιέχει ένα ημερολόγιο λιγότερο από την προηγούμενη, δηλαδή υπάρχει μια αλγεβρική πρόοδος, η διαφορά της οποίας είναι d=1. Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των αρχείων καταγραφής σε κάθε σειρά είναι μέλος αυτής της προόδου,και, επίσης, δεδομένου ότι a1=1 (μόνο ένα αρχείο καταγραφής χωράει στην κορυφή), βρίσκουμε τον αριθμό a10. Έχουμε: a10=1 + 1(10-1)=10. Δηλαδή, στη 10η σειρά, που βρίσκεται στο έδαφος, θα υπάρχουν 10 κορμοί.
Η συνολική ποσότητα αυτής της «πυραμιδικής» κατασκευής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Gauss. Λαμβάνουμε: S10=10/2(10+1)=55 αρχεία καταγραφής.
