Οι καθηγητές Μαθηματικών εισάγουν τους μαθητές τους στην έννοια του «συνδυαστικού προβλήματος» ήδη από την πέμπτη τάξη. Αυτό είναι απαραίτητο για να μπορούν να εργάζονται με πιο σύνθετες εργασίες στο μέλλον. Η συνδυαστική φύση ενός προβλήματος μπορεί να γίνει κατανοητή ως η δυνατότητα επίλυσής του με την απαρίθμηση στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου.
Το κύριο σημάδι των εργασιών αυτής της σειράς είναι η ερώτηση προς αυτούς, η οποία ακούγεται σαν "Πόσες επιλογές;" ή "Με πόσους τρόπους;" Η λύση συνδυαστικών προβλημάτων εξαρτάται άμεσα από το αν ο λύτης κατάλαβε το νόημα, αν ήταν σε θέση να αναπαραστήσει σωστά τη δράση ή τη διαδικασία που περιγράφηκε στην εργασία.
Πώς να λύσετε ένα συνδυαστικό πρόβλημα;
Είναι σημαντικό να προσδιορίσετε σωστά τον τύπο όλων των συνδέσεων στο υπό εξέταση πρόβλημα, αλλά είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν υπάρχουν επαναλήψεις στοιχείων σε αυτό, εάν τα ίδια τα στοιχεία αλλάζουν, εάν η σειρά τους παίζει μεγάλο ρόλο, και επίσης σε σχέση με κάποια άλλαπαράγοντες.
Ένα συνδυαστικό πρόβλημα μπορεί να έχει διάφορους περιορισμούς που μπορούν να τεθούν στις συνδέσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, θα χρειαστεί να υπολογίσετε πλήρως τη λύση του και να ελέγξετε εάν αυτοί οι περιορισμοί έχουν κάποια επίδραση στη σύνδεση όλων των στοιχείων. Εάν υπάρχει πραγματικά επιρροή, είναι απαραίτητο να ελέγξετε ποια.
Πού να ξεκινήσω;
Πρώτα πρέπει να μάθετε πώς να επιλύετε τα πιο απλά συνδυαστικά προβλήματα. Η γνώση απλού υλικού θα σας επιτρέψει να μάθετε να κατανοείτε πιο σύνθετες εργασίες. Συνιστάται να ξεκινήσετε πρώτα να επιλύετε προβλήματα με περιορισμούς που δεν λαμβάνονται υπόψη όταν εξετάζετε μια απλούστερη επιλογή.
Συνιστάται επίσης να προσπαθήσετε να λύσετε πρώτα εκείνα τα προβλήματα στα οποία πρέπει να λάβετε υπόψη έναν μικρότερο αριθμό κοινών στοιχείων. Με αυτόν τον τρόπο, θα μπορείτε να κατανοήσετε την αρχή της δημιουργίας δειγμάτων και να μάθετε πώς να τα δημιουργείτε μόνοι σας στο μέλλον. Εάν το πρόβλημα για το οποίο πρέπει να χρησιμοποιήσετε συνδυαστικά αποτελείται από έναν συνδυασμό πολλών απλούστερων, συνιστάται να το λύσετε σε μέρη.
Επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων
Τέτοια προβλήματα μπορεί να φαίνονται εύκολο να λυθούν, αλλά η συνδυαστική είναι αρκετά δύσκολη, μερικά από αυτά δεν έχουν λυθεί τα τελευταία εκατοντάδες χρόνια. Ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα είναι ο προσδιορισμός του αριθμού των μαγικών τετραγώνων ειδικής τάξης όταν ο αριθμός n είναι μεγαλύτερος από 4.
Το συνδυαστικό πρόβλημα σχετίζεται στενά με τη θεωρία των πιθανοτήτων, που εμφανίστηκε στους μεσαιωνικούς χρόνους. Πιθανότηταη προέλευση ενός συμβάντος μπορεί να υπολογιστεί μόνο με χρήση συνδυαστικών, σε αυτήν την περίπτωση θα χρειαστεί να εναλλάσσονται όλοι οι παράγοντες σε μέρη για να ληφθεί η βέλτιστη λύση.
Επίλυση προβλήματος
Συνδυαστικά προβλήματα με λύση χρησιμοποιούνται για να διδάξουν σε μαθητές και φοιτητές πώς να εργάζονται με αυτό το υλικό. Σε γενικές γραμμές, θα πρέπει να προκαλούν το ενδιαφέρον και την επιθυμία ενός ατόμου να βρει μια κοινή λύση. Εκτός από τους μαθηματικούς υπολογισμούς, είναι απαραίτητο να εφαρμόσετε ψυχικό στρες και να χρησιμοποιήσετε εικασίες.
Κατά τη διαδικασία επίλυσης των εργασιών που έχουν τεθεί, το παιδί θα είναι σε θέση να αναπτύξει τη μαθηματική του φαντασία και τις συνδυαστικές του ικανότητες, κάτι που μπορεί να του είναι πολύ χρήσιμο στο μέλλον. Σταδιακά, το επίπεδο πολυπλοκότητας των προς επίλυση εργασιών πρέπει να αυξηθεί για να μην ξεχνάμε τις υπάρχουσες γνώσεις και να προσθέτουμε νέες σε αυτές.
Μέθοδος 1. Μπούστο
Οι μέθοδοι επίλυσης συνδυαστικών προβλημάτων διαφέρουν πολύ μεταξύ τους, αλλά όλες μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τον μαθητή για να πάρει μια απάντηση. Ένας από τους απλούστερους, αλλά ταυτόχρονα και τους πιο μακρινούς τρόπους είναι η ωμή βία. Με αυτό, χρειάζεται απλώς να εξετάσετε όλες τις πιθανές λύσεις χωρίς να συντάσσετε σχήματα και πίνακες.
Κατά κανόνα, η ερώτηση σε ένα τέτοιο πρόβλημα σχετίζεται με πιθανές παραλλαγές της προέλευσης ενός συμβάντος, για παράδειγμα: ποιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 4, 8, 9; Με την αναζήτηση όλων των επιλογών, συντάσσεται μια απάντηση που αποτελείται από πιθανούς συνδυασμούς. Αυτή η μέθοδος είναι μεγάλη εάν ο αριθμός των πιθανών επιλογώνσχετικά μικρό.
Μέθοδος 2. Δέντρο επιλογών
Μερικά συνδυαστικά προβλήματα μπορούν να λυθούν μόνο με τη δημιουργία γραφημάτων που περιγράφουν λεπτομερώς πληροφορίες για κάθε στοιχείο. Η δημιουργία ενός δέντρου πιθανών επιλογών είναι ένας άλλος τρόπος για να βρείτε μια απάντηση. Είναι κατάλληλο για την επίλυση προβλημάτων που δεν είναι πολύ δύσκολα, στα οποία υπάρχει μια επιπλέον προϋπόθεση.
Ένα παράδειγμα τέτοιας εργασίας:
Ποιοι πενταψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 0, 1, 7, 8; Για να το λύσετε, πρέπει να δημιουργήσετε ένα δέντρο από όλους τους πιθανούς συνδυασμούς και υπάρχει μια πρόσθετη προϋπόθεση - ο αριθμός δεν μπορεί να ξεκινήσει από το μηδέν. Έτσι, η απάντηση θα αποτελείται από όλους τους αριθμούς που θα ξεκινούν με 1, 7 ή 8
Μέθοδος 3. Σχηματισμός πινάκων
Τα συνδυαστικά προβλήματα μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας πίνακες. Μοιάζουν με το δέντρο των πιθανών επιλογών, καθώς προσφέρουν μια οπτική λύση στην κατάσταση. Για να βρείτε τη σωστή απάντηση, πρέπει να σχηματίσετε έναν πίνακα, ο οποίος θα αντικατοπτρίζεται: οι οριζόντιες και κάθετες συνθήκες θα είναι ίδιες.
Πιθανές απαντήσεις θα ληφθούν στη διασταύρωση στηλών και γραμμών. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα ληφθούν απαντήσεις στη τομή μιας στήλης και μιας γραμμής με τα ίδια δεδομένα, αυτές οι διασταυρώσεις πρέπει να επισημαίνονται ειδικά για να μην μπερδεύονται κατά τη σύνταξη της τελικής απάντησης. Αυτή η μέθοδος δεν επιλέγεται συχνά από τους μαθητές, πολλοί προτιμούν ένα δέντρο με επιλογές.
Μέθοδος 4. Πολλαπλασιασμός
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος επίλυσης συνδυαστικών προβλημάτων - ο κανόνας του πολλαπλασιασμού. Είναι καλάείναι κατάλληλο στην περίπτωση που, σύμφωνα με την κατάσταση, δεν είναι απαραίτητο να απαριθμήσετε όλες τις πιθανές λύσεις, απλά πρέπει να βρείτε τον μέγιστο αριθμό τους. Αυτή η μέθοδος είναι μοναδική στο είδος της, χρησιμοποιείται πολύ συχνά όταν μόλις αρχίζει να λύνει συνδυαστικά προβλήματα.
Ένα παράδειγμα τέτοιας εργασίας μπορεί να μοιάζει με αυτό:
6 άτομα περιμένουν την εξέταση στο διάδρομο. Πόσους τρόπους μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να τα τακτοποιήσετε στη γενική λίστα; Για να λάβετε μια απάντηση, πρέπει να διευκρινίσετε πόσα από αυτά μπορεί να είναι στην πρώτη θέση, πόσα στη δεύτερη, στην τρίτη, κ.λπ. Η απάντηση θα είναι ο αριθμός 720
Συνδυαστική και οι τύποι της
Η συνδυαστική εργασία δεν είναι μόνο σχολικό υλικό, αλλά και οι φοιτητές πανεπιστημίου το μελετούν. Υπάρχουν διάφοροι τύποι συνδυαστικής στην επιστήμη και καθένας από αυτούς έχει τη δική του αποστολή. Η αριθμητική συνδυαστική πρέπει να εξετάζει την απαρίθμηση και την απαρίθμηση πιθανών διαμορφώσεων με πρόσθετες προϋποθέσεις.
Η δομική συνδυαστική είναι συστατικό του πανεπιστημιακού προγράμματος, μελετά τη θεωρία των μητροειδών και γραφημάτων. Η ακραία συνδυαστική σχετίζεται επίσης με το πανεπιστημιακό υλικό και εδώ υπάρχουν ατομικοί περιορισμοί. Μια άλλη ενότητα είναι η θεωρία Ramsey, η οποία ασχολείται με τη μελέτη δομών σε τυχαίες παραλλαγές στοιχείων. Υπάρχει επίσης η γλωσσική συνδυαστική, η οποία ασχολείται με το ζήτημα της συμβατότητας ορισμένων στοιχείων μεταξύ τους.
Μέθοδος διδασκαλίας συνδυαστικών προβλημάτων
Σύμφωνα με το σεμινάριοσχέδια, η ηλικία των μαθητών, η οποία έχει σχεδιαστεί για την αρχική εξοικείωση με αυτό το υλικό και για την επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων, είναι ο βαθμός 5. Είναι εκεί που για πρώτη φορά προσφέρεται αυτό το θέμα για εξέταση στους μαθητές, εξοικειώνονται με το φαινόμενο της συνδυαστικότητας και προσπαθούν να λύσουν τις εργασίες που τους έχουν ανατεθεί. Ταυτόχρονα, είναι πολύ σημαντικό όταν τίθεται ένα συνδυαστικό πρόβλημα, να χρησιμοποιείται μια μέθοδος όταν τα ίδια τα παιδιά αναζητούν απαντήσεις σε ερωτήσεις.
Μεταξύ άλλων, αφού μελετήσετε αυτό το θέμα, θα είναι πολύ πιο εύκολο να εισαγάγετε την έννοια του παραγοντικού και να τη χρησιμοποιήσετε κατά την επίλυση εξισώσεων, προβλημάτων κ.λπ. Έτσι, ο συνδυασμός παίζει σημαντικό ρόλο στην περαιτέρω εκπαίδευση.
Συνδυαστικά προβλήματα: γιατί χρειάζονται;
Αν γνωρίζετε τι είναι τα συνδυαστικά προβλήματα, τότε δεν θα αντιμετωπίσετε δυσκολίες με την επίλυσή τους. Η τεχνική για την επίλυσή τους μπορεί να είναι χρήσιμη όταν χρειάζεται να δημιουργήσετε χρονοδιαγράμματα, χρονοδιαγράμματα εργασίας, καθώς και σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς που δεν είναι κατάλληλοι για ηλεκτρονικές συσκευές.
Σε σχολεία με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών και της πληροφορικής, μελετώνται επιπλέον συνδυαστικά προβλήματα· γι' αυτό συντάσσονται ειδικά μαθήματα, διδακτικά βοηθήματα και εργασίες. Κατά κανόνα, πολλά προβλήματα αυτού του τύπου μπορούν να συμπεριληφθούν στην Ενιαία Κρατική Εξέταση Μαθηματικών, συνήθως είναι «κρυμμένα» στο μέρος Γ.
Πώς να λύσετε γρήγορα ένα συνδυαστικό πρόβλημα;
Είναι πολύ σημαντικό να μπορείτε να δείτε το συνδυαστικό πρόβλημαγρήγορα, καθώς μπορεί να έχει καλυμμένη διατύπωση, αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό όταν περνάτε τις εξετάσεις, όπου κάθε λεπτό μετράει. Σημειώστε χωριστά τις πληροφορίες που βλέπετε στο κείμενο του προβλήματος σε ένα κομμάτι χαρτί και, στη συνέχεια, προσπαθήστε να τις αναλύσετε με βάση τους τέσσερις τρόπους που γνωρίζετε.
Αν μπορείτε να βάλετε πληροφορίες σε έναν πίνακα ή άλλο σχηματισμό, προσπαθήστε να τις λύσετε. Αν δεν μπορείτε να το κατατάξετε, σε αυτή την περίπτωση είναι καλύτερο να το αφήσετε για λίγο και να προχωρήσετε σε άλλη εργασία για να μην χάσετε πολύτιμο χρόνο. Αυτή η κατάσταση μπορεί να αποφευχθεί επιλύοντας έναν συγκεκριμένο αριθμό εργασιών αυτού του τύπου εκ των προτέρων.
Πού μπορώ να βρω παραδείγματα;
Το μόνο πράγμα που θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να επιλύετε συνδυαστικά προβλήματα είναι παραδείγματα. Μπορείτε να τα βρείτε σε ειδικές μαθηματικές συλλογές που πωλούνται σε καταστήματα εκπαιδευτικής λογοτεχνίας. Ωστόσο, εκεί μπορείτε να βρείτε πληροφορίες μόνο για φοιτητές πανεπιστημίου, οι μαθητές θα πρέπει να αναζητήσουν εργασίες επιπλέον, κατά κανόνα, οι εργασίες για αυτούς επινοούνται από άλλους καθηγητές.
Οι καθηγητές τριτοβάθμιας εκπαίδευσης πιστεύουν ότι οι μαθητές πρέπει να εκπαιδεύονται και να τους προσφέρουν συνεχώς πρόσθετη εκπαιδευτική βιβλιογραφία. Μία από τις καλύτερες συλλογές είναι οι «Μέθοδοι Διακριτικής Ανάλυσης στην Επίλυση Συνδυαστικών Προβλημάτων», που γράφτηκε το 1977 και εκδόθηκε επανειλημμένα από τους κορυφαίους εκδοτικούς οίκους της χώρας. Εκεί μπορείτε να βρείτε εργασίες που ήταν σχετικές εκείνη την εποχή και παραμένουν επίκαιρες σήμερα.
Τι γίνεται αν χρειαστεί να δημιουργήσετε ένα συνδυαστικό πρόβλημα;
Πιο συχνά, τα συνδυαστικά προβλήματα πρέπει να συντίθενταικαθηγητές που είναι υποχρεωμένοι να διδάξουν στους μαθητές να σκέφτονται έξω από το πλαίσιο. Εδώ όλα θα εξαρτηθούν από τις δημιουργικές δυνατότητες του μεταγλωττιστή. Συνιστάται να δίνετε προσοχή στις υπάρχουσες συλλογές και να προσπαθείτε να συνθέσετε ένα πρόβλημα έτσι ώστε να συνδυάζει πολλούς τρόπους επίλυσής του ταυτόχρονα και να έχει διαφορετικά δεδομένα από το βιβλίο.
Οι καθηγητές πανεπιστημίου από αυτή την άποψη είναι πολύ πιο ελεύθεροι από τους δασκάλους των σχολείων, συχνά δίνουν στους μαθητές τους το καθήκον να βρουν οι ίδιοι συνδυαστικά προβλήματα με λεπτομερείς μεθόδους λύσης και εξηγήσεις. Εάν δεν είστε ούτε το ένα ούτε το άλλο, μπορείτε να ζητήσετε βοήθεια από αυτούς που καταλαβαίνουν πραγματικά το θέμα, καθώς και να προσλάβετε έναν ιδιωτικό δάσκαλο. Μια ακαδημαϊκή ώρα είναι αρκετή για να δημιουργήσετε πολλά παρόμοια προβλήματα.
Συνδυαστική - η επιστήμη του μέλλοντος;
Πολλοί ειδικοί στον τομέα των μαθηματικών και της φυσικής πιστεύουν ότι είναι το συνδυαστικό πρόβλημα που μπορεί να γίνει ώθηση στην ανάπτυξη όλων των τεχνικών επιστημών. Αρκεί να ακολουθήσουμε μια μη τυπική προσέγγιση για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων και τότε θα είναι δυνατή η απάντηση σε ερωτήσεις που στοιχειώνουν τους επιστήμονες εδώ και αρκετούς αιώνες. Μερικοί από αυτούς υποστηρίζουν σοβαρά ότι η συνδυαστική είναι μια βοήθεια για όλες τις σύγχρονες επιστήμες, ειδικά την αστροναυτική. Θα είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίσετε τις διαδρομές πτήσης των πλοίων χρησιμοποιώντας συνδυαστικά προβλήματα και θα σας επιτρέψουν επίσης να προσδιορίσετε την ακριβή θέση ορισμένων ουράνιων σωμάτων.
Η εφαρμογή μιας μη τυπικής προσέγγισης έχει ξεκινήσει εδώ και καιρό στις ασιατικές χώρες, όπου οι μαθητές ακόμη καιΟ πολλαπλασιασμός, η αφαίρεση, η πρόσθεση και η διαίρεση επιλύονται χρησιμοποιώντας συνδυαστικές μεθόδους. Προς έκπληξη πολλών Ευρωπαίων επιστημόνων, η τεχνική λειτουργεί πραγματικά. Τα σχολεία στην Ευρώπη μέχρι στιγμής έχουν αρχίσει να μαθαίνουν μόνο από την εμπειρία των συναδέλφων τους. Πότε ακριβώς η συνδυαστική θα γίνει ένας από τους κύριους κλάδους των μαθηματικών, είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς. Τώρα η επιστήμη μελετάται από κορυφαίους επιστήμονες του κόσμου που επιδιώκουν να τη διαδώσουν.
