Ένας από τους κλάδους των μαθηματικών με τους οποίους οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις μεγαλύτερες δυσκολίες είναι η τριγωνομετρία. Δεν είναι περίεργο: για να κατακτήσετε ελεύθερα αυτόν τον τομέα γνώσης, χρειάζεστε χωρική σκέψη, την ικανότητα να βρίσκετε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες, συνεφαπτομένες χρησιμοποιώντας τύπους, απλοποιώντας εκφράσεις και να μπορείτε να χρησιμοποιείτε τον αριθμό pi στους υπολογισμούς. Επιπλέον, πρέπει να είστε σε θέση να εφαρμόζετε τριγωνομετρία όταν αποδεικνύετε θεωρήματα, και αυτό απαιτεί είτε μια ανεπτυγμένη μαθηματική μνήμη είτε την ικανότητα να συνάγετε σύνθετες λογικές αλυσίδες.
Η προέλευση της τριγωνομετρίας
Η εισαγωγή σε αυτήν την επιστήμη θα πρέπει να ξεκινήσει με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτίου και της εφαπτομένης μιας γωνίας, αλλά πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι κάνει η τριγωνομετρία γενικά.
Ιστορικά, τα ορθογώνια τρίγωνα ήταν το κύριο αντικείμενο έρευνας σε αυτό το τμήμα της μαθηματικής επιστήμης. Η παρουσία γωνίας 90 μοιρών καθιστά δυνατή την εκτέλεση διαφόρων λειτουργιών που επιτρέπουν δύοπλευρές και μία γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά για τον προσδιορισμό των τιμών όλων των παραμέτρων του εν λόγω σχήματος. Στο παρελθόν, οι άνθρωποι παρατήρησαν αυτό το μοτίβο και άρχισαν να το χρησιμοποιούν ενεργά στην κατασκευή κτιρίων, στη ναυσιπλοΐα, στην αστρονομία και ακόμη και στην τέχνη.
Έναρξη
Αρχικά, οι άνθρωποι μιλούσαν για τη σχέση γωνιών και πλευρών αποκλειστικά στο παράδειγμα των ορθογωνίων τριγώνων. Στη συνέχεια ανακαλύφθηκαν ειδικοί τύποι, οι οποίοι κατέστησαν δυνατή την επέκταση των ορίων χρήσης στην καθημερινή ζωή αυτής της ενότητας των μαθηματικών.
Η μελέτη της τριγωνομετρίας στο σχολείο σήμερα ξεκινά με ορθογώνια τρίγωνα, μετά από τα οποία η γνώση που αποκτήθηκε χρησιμοποιείται από τους μαθητές στη φυσική και στην επίλυση αφηρημένων τριγωνομετρικών εξισώσεων, η εργασία με τις οποίες ξεκινά από το γυμνάσιο.
Σφαιρική τριγωνομετρία
Αργότερα, όταν η επιστήμη έφτασε στο επόμενο επίπεδο ανάπτυξης, οι τύποι με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη άρχισαν να χρησιμοποιούνται στη σφαιρική γεωμετρία, όπου ισχύουν άλλοι κανόνες, και το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι πάντα μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Αυτό το τμήμα δεν μελετάται στο σχολείο, αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για την ύπαρξή του, τουλάχιστον επειδή η επιφάνεια της γης και η επιφάνεια οποιουδήποτε άλλου πλανήτη είναι κυρτή, πράγμα που σημαίνει ότι οποιαδήποτε σήμανση της επιφάνειας θα είναι «τοξοειδούς σε τρισδιάστατο χώρο.
Πάρτε μια υδρόγειο και μια κλωστή. Στερεώστε το νήμα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υδρογείου, έτσι ώστε να είναι τεντωμένο. Δώστε προσοχή - έχει αποκτήσει το σχήμα τόξου. Ασχολείται με τέτοιες μορφέςσφαιρική γεωμετρία που χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, την αστρονομία και άλλα θεωρητικά και εφαρμοσμένα πεδία.
Δεξί τρίγωνο
Έχοντας μάθει λίγα για τους τρόπους χρήσης της τριγωνομετρίας, ας επιστρέψουμε στη βασική τριγωνομετρία για να κατανοήσουμε περαιτέρω τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη, ποιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν με τη βοήθειά τους και ποιοι τύποι να χρησιμοποιηθούν.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να κατανοήσετε τις έννοιες που σχετίζονται με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Πρώτον, η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Είναι η μεγαλύτερη. Θυμόμαστε ότι σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η αριθμητική του τιμή είναι ίση με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών.
Για παράδειγμα, εάν δύο πλευρές είναι 3 και 4 εκατοστά αντίστοιχα, το μήκος της υποτείνουσας θα είναι 5 εκατοστά. Παρεμπιπτόντως, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το γνώριζαν πριν από περίπου τεσσεράμισι χιλιάδες χρόνια.
Οι δύο υπόλοιπες πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται σκέλη. Επιπλέον, πρέπει να θυμόμαστε ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι 180 μοίρες.
Ορισμός
Τέλος, έχοντας μια στέρεη κατανόηση της γεωμετρικής βάσης, μπορούμε να στραφούμε στον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας.
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η αναλογία του απέναντι σκέλους (δηλαδή της πλευράς απέναντι από την επιθυμητή γωνία) προς την υποτείνουσα. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Να θυμάστε ότι ούτε ημίτονο ούτε συνημίτονο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα! Γιατί;Επειδή η υποτείνουσα είναι εξ ορισμού η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου. Όσο μακρύ κι αν είναι το πόδι, θα είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα, που σημαίνει ότι η αναλογία τους θα είναι πάντα μικρότερη από ένα. Έτσι, εάν λάβετε ένα ημίτονο ή συνημίτονο με τιμή μεγαλύτερη από 1 στην απάντηση στο πρόβλημα, αναζητήστε σφάλμα στους υπολογισμούς ή τη συλλογιστική. Αυτή η απάντηση είναι σαφώς λανθασμένη.
Τέλος, η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Το ίδιο αποτέλεσμα θα δώσει τη διαίρεση του ημιτόνου με το συνημίτονο. Κοιτάξτε: σύμφωνα με τον τύπο, διαιρούμε το μήκος της πλευράς με την υποτείνουσα, μετά την οποία διαιρούμε με το μήκος της δεύτερης πλευράς και πολλαπλασιάζουμε με την υποτείνουσα. Έτσι, παίρνουμε τον ίδιο λόγο όπως στον ορισμό της εφαπτομένης.
Cotangent, αντίστοιχα, είναι ο λόγος της πλευράς που γειτνιάζει με τη γωνία προς την αντίθετη πλευρά. Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα διαιρώντας τη μονάδα με την εφαπτομένη.
Έχουμε λοιπόν εξετάσει τους ορισμούς του τι είναι ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη και μπορούμε να ασχοληθούμε με τύπους.
Απλοί τύποι
Στην τριγωνομετρία δεν μπορεί κανείς να κάνει χωρίς τύπους - πώς να βρει ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη χωρίς αυτούς; Αλλά αυτό ακριβώς απαιτείται κατά την επίλυση προβλημάτων.
Ο πρώτος τύπος που πρέπει να γνωρίζετε όταν ξεκινάτε να μελετάτε την τριγωνομετρία λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα. Αυτός ο τύπος είναι μια άμεση συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος, αλλά εξοικονομεί χρόνο εάν πρέπει να μάθετε την τιμή της γωνίας και όχι της πλευράς.
Πολλοί μαθητές δεν μπορούν να θυμηθούν τον δεύτερο τύπο, επίσης πολύδημοφιλές στην επίλυση σχολικών προβλημάτων: το άθροισμα του ενός και του τετραγώνου της εφαπτομένης μιας γωνίας είναι ίσο με το ένα διαιρούμενο με το τετράγωνο του συνημιτόνου της γωνίας. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά: τελικά, αυτή είναι η ίδια δήλωση όπως στον πρώτο τύπο, μόνο και οι δύο πλευρές της ταυτότητας διαιρούνταν με το τετράγωνο του συνημίτονο. Αποδεικνύεται ότι μια απλή μαθηματική πράξη κάνει τον τριγωνομετρικό τύπο εντελώς αγνώριστο. Θυμηθείτε: γνωρίζοντας τι είναι το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, τους κανόνες μετατροπής και μερικούς βασικούς τύπους, μπορείτε ανά πάσα στιγμή να εξαγάγετε ανεξάρτητα τους απαιτούμενους πιο σύνθετους τύπους σε ένα κομμάτι χαρτί.
Τύποι διπλής γωνίας και προσθήκη ορισμάτων
Δύο ακόμη τύποι που πρέπει να μάθετε σχετίζονται με τις τιμές ημιτόνου και συνημιτόνου για το άθροισμα και τη διαφορά των γωνιών. Φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Λάβετε υπόψη ότι στην πρώτη περίπτωση, το ημίτονο και το συνημίτονο πολλαπλασιάζονται και τις δύο φορές, και στη δεύτερη περίπτωση, προστίθεται το ζεύγος γινόμενο του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
Υπάρχουν επίσης τύποι που σχετίζονται με ορίσματα διπλής γωνίας. Προέρχονται πλήρως από τα προηγούμενα - ως πρακτική, προσπαθήστε να τα αποκτήσετε μόνοι σας, παίρνοντας τη γωνία του άλφα ίση με τη γωνία του βήτα.
Τέλος, σημειώστε ότι οι τύποι διπλής γωνίας μπορούν να μετατραπούν για να μειωθεί ο βαθμός ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης άλφα.
Θεωρήματα
Τα δύο κύρια θεωρήματα στη βασική τριγωνομετρία είναι το θεώρημα ημιτόνου και το θεώρημα συνημιτόνου. Με τη βοήθεια αυτών των θεωρημάτων, μπορείτε εύκολα να καταλάβετε πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, και ως εκ τούτου την περιοχή του σχήματος και το μέγεθοςκάθε πλευρά, κ.λπ.
Το θεώρημα ημιτόνου δηλώνει ότι ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του μήκους καθεμιάς από τις πλευρές ενός τριγώνου με την τιμή της απέναντι γωνίας, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με δύο ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή τον κύκλο που περιέχει όλα τα σημεία του δεδομένου τριγώνου.
Το θεώρημα συνημιτόνου γενικεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, προβάλλοντάς το σε οποιαδήποτε τρίγωνα. Αποδεικνύεται ότι από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών, αφαιρέστε το γινόμενο τους, πολλαπλασιασμένο με το διπλό συνημίτονο της γωνίας που γειτνιάζει με αυτά - η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο της τρίτης πλευράς. Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται ότι είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος συνημιτόνου.
Λάθη λόγω απροσεξίας
Ακόμη και αν γνωρίζουμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, είναι εύκολο να κάνουμε ένα λάθος λόγω απουσίας ή λάθους στους απλούστερους υπολογισμούς. Για να αποφύγετε τέτοια λάθη, ας ρίξουμε μια ματιά στα πιο δημοφιλή.
Καταρχάς, μην μετατρέπετε τα κοινά κλάσματα σε δεκαδικά ψηφία πριν λάβετε το τελικό αποτέλεσμα - μπορείτε να αφήσετε την απάντηση ως κοινό κλάσμα, εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά στη συνθήκη. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός δεν μπορεί να ονομαστεί λάθος, αλλά θα πρέπει να θυμόμαστε ότι σε κάθε στάδιο της εργασίας, μπορεί να εμφανιστούν νέες ρίζες, οι οποίες, σύμφωνα με την ιδέα του συγγραφέα, θα πρέπει να μειωθούν. Σε αυτή την περίπτωση, θα χάσετε χρόνο σε περιττές μαθηματικές πράξεις. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τιμές όπως η ρίζα των τριών ή δύο, επειδή εμφανίζονται σε εργασίες σε κάθε βήμα. Το ίδιο ισχύει και για τη στρογγυλοποίηση.«Άσχημοι» αριθμοί.
Στη συνέχεια, σημειώστε ότι το θεώρημα συνημιτόνου ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο, αλλά όχι για το Πυθαγόρειο θεώρημα! Εάν ξεχάσετε κατά λάθος να αφαιρέσετε το διπλάσιο του γινόμενου των πλευρών πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους, όχι μόνο θα έχετε ένα εντελώς λάθος αποτέλεσμα, αλλά θα δείξετε και μια πλήρη παρανόηση του θέματος. Αυτό είναι χειρότερο από ένα απρόσεκτο λάθος.
Τρίτον, μην συγχέετε τις τιμές για γωνίες 30 και 60 μοιρών για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες, συνεφαπτομένες. Θυμηθείτε αυτές τις τιμές, γιατί το ημίτονο των 30 μοιρών είναι ίσο με το συνημίτονο του 60 και το αντίστροφο. Είναι εύκολο να τα ανακατέψετε και αναπόφευκτα θα έχετε ένα λανθασμένο αποτέλεσμα.
Αίτηση
Πολλοί μαθητές δεν βιάζονται να αρχίσουν να σπουδάζουν τριγωνομετρία, επειδή δεν κατανοούν την εφαρμοσμένη σημασία της. Τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη για έναν μηχανικό ή αστρονόμο; Αυτές είναι έννοιες χάρη στις οποίες μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση από μακρινά αστέρια, να προβλέψετε την πτώση ενός μετεωρίτη, να στείλετε ένα ερευνητικό ανιχνευτή σε άλλο πλανήτη. Χωρίς αυτά, είναι αδύνατο να χτιστεί ένα κτίριο, να σχεδιαστεί ένα αυτοκίνητο, να υπολογιστεί το φορτίο στην επιφάνεια ή η τροχιά ενός αντικειμένου. Και αυτά είναι μόνο τα πιο προφανή παραδείγματα! Εξάλλου, η τριγωνομετρία με τη μία ή την άλλη μορφή χρησιμοποιείται παντού, από τη μουσική μέχρι την ιατρική.
Συμπερασματικά
Λοιπόν, ξέρετε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη. Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε σε υπολογισμούς και να λύσετε με επιτυχία σχολικά προβλήματα.
Όλη η ουσίαη τριγωνομετρία μειώνεται στο γεγονός ότι σύμφωνα με τις γνωστές παραμέτρους του τριγώνου, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των αγνώστων. Υπάρχουν έξι παράμετροι συνολικά: τα μήκη των τριών πλευρών και τα μεγέθη των τριών γωνιών. Η όλη διαφορά στις εργασίες έγκειται στο γεγονός ότι δίνονται διαφορετικά δεδομένα εισόδου.
Πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη με βάση τα γνωστά μήκη των ποδιών ή την υποτείνουσα, ξέρετε τώρα. Δεδομένου ότι αυτοί οι όροι δεν σημαίνουν τίποτα περισσότερο από έναν λόγο και ο λόγος είναι ένα κλάσμα, ο κύριος στόχος του τριγωνομετρικού προβλήματος είναι να βρει τις ρίζες μιας συνηθισμένης εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων. Και εδώ θα σας βοηθήσουν τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά.
