Αυτό το άρθρο περιγράφει τη συνάρτηση κύματος και τη φυσική της σημασία. Εξετάζεται επίσης η εφαρμογή αυτής της έννοιας στο πλαίσιο της εξίσωσης Schrödinger.
Η επιστήμη βρίσκεται στα πρόθυρα της ανακάλυψης της κβαντικής φυσικής
Στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, οι νέοι που ήθελαν να συνδέσουν τη ζωή τους με την επιστήμη αποθαρρύνονταν από το να γίνουν φυσικοί. Υπήρχε η άποψη ότι όλα τα φαινόμενα έχουν ήδη ανακαλυφθεί και δεν μπορούν πλέον να υπάρξουν μεγάλες ανακαλύψεις σε αυτόν τον τομέα. Τώρα, παρά τη φαινομενική πληρότητα της ανθρώπινης γνώσης, κανείς δεν θα τολμήσει να μιλήσει με αυτόν τον τρόπο. Γιατί αυτό συμβαίνει συχνά: ένα φαινόμενο ή ένα αποτέλεσμα προβλέπεται θεωρητικά, αλλά οι άνθρωποι δεν έχουν αρκετή τεχνική και τεχνολογική δύναμη για να τα αποδείξουν ή να τα διαψεύσουν. Για παράδειγμα, ο Αϊνστάιν προέβλεψε τα βαρυτικά κύματα πριν από περισσότερα από εκατό χρόνια, αλλά κατέστη δυνατό να αποδειχθεί η ύπαρξή τους μόλις πριν από ένα χρόνο. Αυτό ισχύει και για τον κόσμο των υποατομικών σωματιδίων (δηλαδή, μια τέτοια έννοια όπως μια κυματική συνάρτηση ισχύει για αυτά): μέχρι οι επιστήμονες να συνειδητοποιήσουν ότι η δομή του ατόμου είναι πολύπλοκη, δεν χρειαζόταν να μελετήσουν τη συμπεριφορά τέτοιων μικρών αντικειμένων.
Φάσματα και φωτογραφία
Πιέστε σεΗ ανάπτυξη της κβαντικής φυσικής ήταν η ανάπτυξη τεχνικών φωτογραφίας. Μέχρι τις αρχές του εικοστού αιώνα, η λήψη εικόνων ήταν δυσκίνητη, χρονοβόρα και δαπανηρή: η κάμερα ζύγιζε δεκάδες κιλά και τα μοντέλα έπρεπε να στέκονται μισή ώρα σε μία θέση. Επιπλέον, το παραμικρό λάθος στο χειρισμό εύθραυστων γυάλινων πλακών επικαλυμμένων με φωτοευαίσθητο γαλάκτωμα οδήγησε σε μη αναστρέψιμη απώλεια πληροφοριών. Αλλά σταδιακά οι συσκευές έγιναν ελαφρύτερες, η ταχύτητα κλείστρου - όλο και λιγότερο, και η λήψη εκτυπώσεων - όλο και πιο τέλεια. Και τέλος, κατέστη δυνατή η απόκτηση ενός φάσματος διαφορετικών ουσιών. Τα ερωτήματα και οι ασυνέπειες που προέκυψαν στις πρώτες θεωρίες σχετικά με τη φύση των φασμάτων δημιούργησαν μια εντελώς νέα επιστήμη. Η κυματική συνάρτηση ενός σωματιδίου και η εξίσωσή του Schrödinger έγιναν η βάση για τη μαθηματική περιγραφή της συμπεριφοράς του μικροκόσμου.
Δυαδικότητα σωματιδίων-κύματος
Μετά τον προσδιορισμό της δομής του ατόμου, προέκυψε το ερώτημα: γιατί το ηλεκτρόνιο δεν πέφτει στον πυρήνα; Εξάλλου, σύμφωνα με τις εξισώσεις του Maxwell, οποιοδήποτε κινούμενο φορτισμένο σωματίδιο ακτινοβολεί, επομένως, χάνει ενέργεια. Αν αυτό ίσχυε για τα ηλεκτρόνια στον πυρήνα, το σύμπαν όπως το ξέρουμε δεν θα διαρκούσε πολύ. Θυμηθείτε ότι στόχος μας είναι η κυματική συνάρτηση και η στατιστική της σημασία.
Μια έξυπνη εικασία επιστημόνων ήρθε στη διάσωση: τα στοιχειώδη σωματίδια είναι και κύματα και σωματίδια (σωματίδια). Οι ιδιότητές τους είναι τόσο μάζα με ορμή όσο και μήκος κύματος με συχνότητα. Επιπλέον, λόγω της παρουσίας δύο προηγουμένως ασυμβίβαστων ιδιοτήτων, τα στοιχειώδη σωματίδια έχουν αποκτήσει νέα χαρακτηριστικά.
Ένα από αυτά είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς περιστροφή. Στον κόσμομικρότερα σωματίδια, κουάρκ, υπάρχουν τόσες πολλές από αυτές τις ιδιότητες που τους δίνονται απολύτως απίστευτα ονόματα: γεύση, χρώμα. Αν ο αναγνώστης τα συναντήσει σε ένα βιβλίο για την κβαντομηχανική, ας θυμηθεί: δεν είναι καθόλου αυτό που φαίνονται με την πρώτη ματιά. Ωστόσο, πώς να περιγράψετε τη συμπεριφορά ενός τέτοιου συστήματος, όπου όλα τα στοιχεία έχουν ένα περίεργο σύνολο ιδιοτήτων; Η απάντηση βρίσκεται στην επόμενη ενότητα.
εξίσωση Schrödinger
Βρείτε την κατάσταση στην οποία βρίσκεται ένα στοιχειώδες σωματίδιο (και, σε γενικευμένη μορφή, ένα κβαντικό σύστημα), επιτρέπει την εξίσωση του Erwin Schrödinger:
i ħ[(d/dt) Ψ]=Ĥ ψ.
Οι χαρακτηρισμοί σε αυτήν την αναλογία είναι οι εξής:
- ħ=h/2 π, όπου h είναι η σταθερά του Planck.
- Ĥ – Χαμιλτονιανός, χειριστής συνολικής ενέργειας του συστήματος.
- Ψ είναι η συνάρτηση κύματος.
Αλλάζοντας τις συντεταγμένες στις οποίες επιλύεται αυτή η συνάρτηση και τις συνθήκες σύμφωνα με τον τύπο του σωματιδίου και το πεδίο στο οποίο βρίσκεται, μπορεί κανείς να αποκτήσει τον νόμο συμπεριφοράς του υπό εξέταση συστήματος.
Οι έννοιες της κβαντικής φυσικής
Ας μην παραπλανηθεί ο αναγνώστης από τη φαινομενική απλότητα των όρων που χρησιμοποιούνται. Λέξεις και εκφράσεις όπως "τελεστής", "ολική ενέργεια", "μοναδιαίο κύτταρο" είναι φυσικοί όροι. Οι αξίες τους θα πρέπει να διευκρινιστούν ξεχωριστά και είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε σχολικά βιβλία. Στη συνέχεια, θα δώσουμε μια περιγραφή και τη μορφή της συνάρτησης κύματος, αλλά αυτό το άρθρο είναι ανασκόπησης. Για μια βαθύτερη κατανόηση αυτής της έννοιας, είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τη μαθηματική συσκευή σε ένα ορισμένο επίπεδο.
Συνάρτηση κυμάτων
Η μαθηματική της έκφρασηέχει τη μορφή
|ψ(t)>=ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
Η κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου ή οποιουδήποτε άλλου στοιχειώδους σωματιδίου περιγράφεται πάντα με το ελληνικό γράμμα Ψ, επομένως μερικές φορές ονομάζεται και συνάρτηση psi.
Πρώτα πρέπει να καταλάβετε ότι η συνάρτηση εξαρτάται από όλες τις συντεταγμένες και τον χρόνο. Άρα Ψ(x, t) είναι στην πραγματικότητα Ψ(x1, x2… x, t). Σημαντική σημείωση, αφού η λύση της εξίσωσης Σρέντινγκερ εξαρτάται από τις συντεταγμένες.
Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ότι |x> σημαίνει το διάνυσμα βάσης του επιλεγμένου συστήματος συντεταγμένων. Δηλαδή, ανάλογα με το τι ακριβώς πρέπει να ληφθεί, η ορμή ή η πιθανότητα |x> θα μοιάζει με | x1, x2, …, x >. Προφανώς, το n θα εξαρτηθεί επίσης από την ελάχιστη διανυσματική βάση του επιλεγμένου συστήματος. Δηλαδή στον συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο n=3. Για τον άπειρο αναγνώστη, ας εξηγήσουμε ότι όλα αυτά τα εικονίδια κοντά στον δείκτη x δεν είναι απλώς μια ιδιοτροπία, αλλά μια συγκεκριμένη μαθηματική πράξη. Δεν θα είναι δυνατό να το κατανοήσουμε χωρίς τους πιο σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς, γι' αυτό ελπίζουμε ειλικρινά όσοι ενδιαφέρονται να ανακαλύψουν μόνοι τους τη σημασία του.
Τέλος, είναι απαραίτητο να εξηγήσουμε ότι Ψ(x, t)=.
Φυσική ουσία της κυματικής συνάρτησης
Παρά τη βασική τιμή αυτής της ποσότητας, η ίδια δεν έχει ως βάση κάποιο φαινόμενο ή έννοια. Η φυσική έννοια της κυματικής συνάρτησης είναι το τετράγωνο του συνολικού συντελεστή της. Ο τύπος μοιάζει με αυτό:
|Ψ (x1, x2, …, x , t)| 2=ω, όπου ω είναι η τιμή της πυκνότητας πιθανότητας. Στην περίπτωση διακριτών φασμάτων (και όχι συνεχών), αυτή η τιμή γίνεται απλώς μια πιθανότητα.
Συνέπεια της φυσικής σημασίας της κυματικής συνάρτησης
Ένα τέτοιο φυσικό νόημα έχει εκτεταμένες συνέπειες για ολόκληρο τον κβαντικό κόσμο. Όπως γίνεται σαφές από την τιμή του ω, όλες οι καταστάσεις των στοιχειωδών σωματιδίων αποκτούν μια πιθανολογική απόχρωση. Το πιο προφανές παράδειγμα είναι η χωρική κατανομή των νεφών ηλεκτρονίων σε τροχιές γύρω από τον ατομικό πυρήνα.
Ας πάρουμε δύο τύπους υβριδισμού ηλεκτρονίων σε άτομα με τις απλούστερες μορφές νεφών: s και p. Τα σύννεφα του πρώτου τύπου έχουν σφαιρικό σχήμα. Αλλά αν ο αναγνώστης θυμάται από τα σχολικά βιβλία της φυσικής, αυτά τα νέφη ηλεκτρονίων απεικονίζονται πάντα ως κάποιου είδους θολή συστάδα σημείων και όχι ως μια λεία σφαίρα. Αυτό σημαίνει ότι σε μια ορισμένη απόσταση από τον πυρήνα υπάρχει μια ζώνη με τη μεγαλύτερη πιθανότητα να συναντήσει ένα ηλεκτρόνιο s. Ωστόσο, λίγο πιο κοντά και λίγο πιο μακριά αυτή η πιθανότητα δεν είναι μηδενική, είναι απλώς μικρότερη. Σε αυτή την περίπτωση, για τα p-ηλεκτρόνια, το σχήμα του νέφους ηλεκτρονίων απεικονίζεται ως ένας κάπως θολός αλτήρας. Δηλαδή, υπάρχει μια αρκετά πολύπλοκη επιφάνεια στην οποία η πιθανότητα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο είναι η μεγαλύτερη. Αλλά ακόμη και κοντά σε αυτόν τον «αλτήρα», τόσο πιο μακριά όσο και πιο κοντά στον πυρήνα, μια τέτοια πιθανότητα δεν είναι ίση με μηδέν.
Ομαλοποίηση της συνάρτησης κύματος
Το τελευταίο συνεπάγεται την ανάγκη κανονικοποίησης της κυματικής συνάρτησης. Με τον όρο κανονικοποίηση εννοείται μια τέτοια «προσαρμογή» κάποιων παραμέτρων, στις οποίες ισχύεικάποια αναλογία. Αν λάβουμε υπόψη τις χωρικές συντεταγμένες, τότε η πιθανότητα εύρεσης ενός δεδομένου σωματιδίου (ένα ηλεκτρόνιο, για παράδειγμα) στο υπάρχον Σύμπαν θα πρέπει να είναι ίση με 1. Ο τύπος μοιάζει με αυτό:
ʃV Ψ Ψ dV=1.
Έτσι, εκπληρώνεται ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας: αν ψάχνουμε για ένα συγκεκριμένο ηλεκτρόνιο, πρέπει να βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα δεδομένο χώρο. Διαφορετικά, η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger απλά δεν έχει νόημα. Και δεν έχει σημασία αν αυτό το σωματίδιο βρίσκεται μέσα σε ένα αστέρι ή σε ένα γιγάντιο κοσμικό κενό, πρέπει να είναι κάπου.
Λίγο ψηλότερα αναφέραμε ότι οι μεταβλητές από τις οποίες εξαρτάται η συνάρτηση μπορεί επίσης να είναι μη χωρικές συντεταγμένες. Σε αυτήν την περίπτωση, η κανονικοποίηση πραγματοποιείται σε όλες τις παραμέτρους από τις οποίες εξαρτάται η συνάρτηση.
Στιγμιαίο ταξίδι: κόλπο ή πραγματικότητα;
Στην κβαντική μηχανική, ο διαχωρισμός των μαθηματικών από τη φυσική σημασία είναι απίστευτα δύσκολος. Για παράδειγμα, το κβάντο εισήχθη από τον Planck για την ευκολία της μαθηματικής έκφρασης μιας από τις εξισώσεις. Τώρα η αρχή της διακριτικότητας πολλών μεγεθών και εννοιών (ενέργεια, γωνιακή ορμή, πεδίο) αποτελεί τη βάση της σύγχρονης προσέγγισης στη μελέτη του μικροκόσμου. Αυτό το παράδοξο έχει και ο Ψ. Σύμφωνα με μια από τις λύσεις της εξίσωσης Schrödinger, είναι πιθανό η κβαντική κατάσταση του συστήματος να αλλάξει αμέσως κατά τη διάρκεια της μέτρησης. Αυτό το φαινόμενο συνήθως αναφέρεται ως μείωση ή κατάρρευση της κυματικής συνάρτησης. Εάν αυτό είναι δυνατό στην πραγματικότητα, τα κβαντικά συστήματα είναι ικανά να κινούνται με άπειρη ταχύτητα. Αλλά το όριο ταχύτητας για πραγματικά αντικείμενα του Σύμπαντος μαςαμετάβλητο: τίποτα δεν μπορεί να ταξιδέψει πιο γρήγορα από το φως. Το φαινόμενο αυτό δεν έχει καταγραφεί ποτέ, αλλά δεν έχει καταστεί ακόμη δυνατό να διαψευσθεί θεωρητικά. Με τον καιρό, ίσως, αυτό το παράδοξο θα λυθεί: είτε η ανθρωπότητα θα έχει ένα όργανο που θα διορθώνει ένα τέτοιο φαινόμενο, είτε θα υπάρχει ένα μαθηματικό τέχνασμα που θα αποδεικνύει την ασυνέπεια αυτής της υπόθεσης. Υπάρχει μια τρίτη επιλογή: οι άνθρωποι θα δημιουργήσουν ένα τέτοιο φαινόμενο, αλλά την ίδια στιγμή το ηλιακό σύστημα θα πέσει σε μια τεχνητή μαύρη τρύπα.
Κυματική συνάρτηση ενός συστήματος πολλαπλών σωματιδίων (άτομο υδρογόνου)
Όπως έχουμε δηλώσει σε όλο το άρθρο, η συνάρτηση psi περιγράφει ένα στοιχειώδες σωματίδιο. Αλλά σε πιο προσεκτική εξέταση, το άτομο υδρογόνου μοιάζει με ένα σύστημα δύο μόνο σωματιδίων (ένα αρνητικό ηλεκτρόνιο και ένα θετικό πρωτόνιο). Οι κυματοσυναρτήσεις του ατόμου υδρογόνου μπορούν να περιγραφούν ως δύο σωματιδίων ή από έναν χειριστή τύπου μήτρας πυκνότητας. Αυτοί οι πίνακες δεν είναι ακριβώς επέκταση της συνάρτησης psi. Αντιθέτως, δείχνουν την αντιστοιχία μεταξύ των πιθανοτήτων εύρεσης ενός σωματιδίου στη μία και στην άλλη κατάσταση. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι το πρόβλημα λύνεται μόνο για δύο σώματα ταυτόχρονα. Οι πίνακες πυκνότητας μπορούν να εφαρμοστούν σε ζεύγη σωματιδίων, αλλά δεν είναι δυνατές για πιο πολύπλοκα συστήματα, για παράδειγμα, όταν αλληλεπιδρούν τρία ή περισσότερα σώματα. Σε αυτό το γεγονός, μπορεί να εντοπιστεί μια απίστευτη ομοιότητα ανάμεσα στην πιο «τραχύ» μηχανική και την πολύ «λεπτή» κβαντική φυσική. Επομένως, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι από τη στιγμή που υπάρχει η κβαντική μηχανική, δεν μπορούν να προκύψουν νέες ιδέες στη συνηθισμένη φυσική. Το ενδιαφέρον κρύβεται πίσω από οποιοδήποτεμε περιστροφή μαθηματικών χειρισμών.
