Είναι αδύνατο να ισχυριστείς ότι ξέρεις μαθηματικά αν δεν ξέρεις πώς να σχεδιάζετε γραφήματα, να σχεδιάζετε ανισότητες σε μια γραμμή συντεταγμένων και να εργάζεστε με άξονες συντεταγμένων. Το οπτικό στοιχείο στην επιστήμη είναι ζωτικής σημασίας, γιατί χωρίς οπτικά παραδείγματα σε τύπους και υπολογισμούς, μερικές φορές μπορεί να μπερδευτείτε πολύ. Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε πώς να δουλεύουμε με άξονες συντεταγμένων και θα μάθουμε πώς να δημιουργείτε απλά γραφήματα συναρτήσεων.
Αίτηση
Η γραμμή συντεταγμένων είναι η βάση των απλούστερων τύπων γραφημάτων που συναντά ένας μαθητής στην εκπαιδευτική του διαδρομή. Χρησιμοποιείται σχεδόν σε κάθε μαθηματικό θέμα: κατά τον υπολογισμό της ταχύτητας και του χρόνου, την προβολή του μεγέθους των αντικειμένων και τον υπολογισμό του εμβαδού τους, στην τριγωνομετρία κατά την εργασία με ημίτονο και συνημίτονα.
Η κύρια τιμή μιας τέτοιας απευθείας γραμμής είναι η ορατότητα. Επειδή τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που απαιτεί υψηλό επίπεδο αφηρημένης σκέψης, τα γραφήματα βοηθούν στην αναπαράσταση ενός αντικειμένου στον πραγματικό κόσμο. Πώς συμπεριφέρεται; Σε ποιο σημείο του χώρου θα τολίγα δευτερόλεπτα, λεπτά, ώρες; Τι μπορεί να ειπωθεί για αυτό σε σύγκριση με άλλα αντικείμενα; Ποια είναι η ταχύτητά του σε μια τυχαία επιλεγμένη στιγμή; Πώς να χαρακτηρίσετε την κίνησή του;
Και μιλάμε για ταχύτητα για κάποιο λόγο - συχνά εμφανίζεται με γραφήματα συναρτήσεων. Και μπορούν επίσης να εμφανίσουν αλλαγές στη θερμοκρασία ή την πίεση μέσα στο αντικείμενο, το μέγεθός του, τον προσανατολισμό του σε σχέση με τον ορίζοντα. Έτσι, η κατασκευή μιας γραμμής συντεταγμένων απαιτείται συχνά και στη φυσική.
Μονοδιάστατο γράφημα
Υπάρχει η έννοια της πολυδιάστατης. Στον μονοδιάστατο χώρο, αρκεί μόνο ένας αριθμός για να προσδιορίσει τη θέση ενός σημείου. Αυτό ακριβώς συμβαίνει με τη χρήση της γραμμής συντεταγμένων. Εάν ο χώρος είναι δισδιάστατος, τότε απαιτούνται δύο αριθμοί. Τα γραφήματα αυτού του τύπου χρησιμοποιούνται πολύ πιο συχνά και σίγουρα θα τα εξετάσουμε λίγο αργότερα στο άρθρο.
Τι μπορεί να φανεί με τη βοήθεια σημείων στον άξονα, αν υπάρχει μόνο ένας άξονας; Μπορείτε να δείτε το μέγεθος του αντικειμένου, τη θέση του στο διάστημα σε σχέση με κάποιο "μηδέν", δηλαδή το σημείο που επιλέχθηκε ως σημείο αναφοράς.
Η αλλαγή των παραμέτρων με την πάροδο του χρόνου δεν θα είναι ορατή, καθώς όλες οι μετρήσεις θα εμφανίζονται για μια συγκεκριμένη στιγμή. Ωστόσο, από κάπου πρέπει να ξεκινήσετε! Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.
Πώς να δημιουργήσετε έναν άξονα συντεταγμένων
Πρώτα, πρέπει να σχεδιάσετε μια οριζόντια γραμμή - αυτός θα είναι ο άξονάς μας. Στη δεξιά πλευρά, «ακονίστε» το έτσι ώστε να μοιάζει με βέλος. Έτσι, θα υποδείξουμε την κατεύθυνση προς την οποία θα βρίσκονται οι αριθμοίαυξάνουν. Στην κατεύθυνση προς τα κάτω, το βέλος συνήθως δεν τοποθετείται. Παραδοσιακά, ο άξονας δείχνει προς τα δεξιά, επομένως θα ακολουθήσουμε αυτόν τον κανόνα.
Ας ορίσουμε ένα σημάδι μηδέν, το οποίο θα εμφανίζει την αρχή των συντεταγμένων. Αυτό είναι ακριβώς το μέρος από το οποίο γίνεται η αντίστροφη μέτρηση, είτε πρόκειται για μέγεθος, βάρος, ταχύτητα ή οτιδήποτε άλλο. Εκτός από το μηδέν, πρέπει απαραίτητα να ορίσουμε τη λεγόμενη τιμή διαίρεσης, δηλαδή να εισαγάγουμε ένα πρότυπο μονάδας, σύμφωνα με το οποίο θα σχεδιάσουμε ορισμένες ποσότητες στον άξονα. Αυτό πρέπει να γίνει για να μπορέσετε να βρείτε το μήκος του τμήματος στη γραμμή συντεταγμένων.
Με ίση απόσταση μεταξύ τους, βάλτε τελείες ή "εγκοπές" στη γραμμή και κάτω από αυτές γράψτε 1, 2, 3, αντίστοιχα, κ.ο.κ. Και τώρα, όλα είναι έτοιμα. Αλλά με το πρόγραμμα που προκύπτει, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε.
Τύποι σημείων στη γραμμή συντεταγμένων
Από την πρώτη ματιά στα σχέδια που προτείνονται στα σχολικά βιβλία, γίνεται ξεκάθαρο: τα σημεία στον άξονα μπορούν να συμπληρωθούν ή να μην συμπληρωθούν. Πιστεύετε ότι είναι σύμπτωση; Καθόλου! Μια "συμπαγής" κουκκίδα χρησιμοποιείται για μια μη αυστηρή ανισότητα - αυτή που διαβάζεται ως "μεγαλύτερη ή ίση με". Εάν πρέπει να περιορίσουμε αυστηρά το διάστημα (για παράδειγμα, το "x" μπορεί να πάρει τιμές από μηδέν έως ένα, αλλά δεν το περιλαμβάνει), θα χρησιμοποιήσουμε ένα "κούφιο" σημείο, δηλαδή, στην πραγματικότητα, έναν μικρό κύκλο στον άξονα. Πρέπει να σημειωθεί ότι στους μαθητές δεν αρέσουν πραγματικά οι αυστηρές ανισότητες, γιατί είναι πιο δύσκολο να εργαστείς μαζί τους.
Ανάλογα με ποιους βαθμούςχρήση στο γράφημα, θα καλούνται επίσης τα χτισμένα διαστήματα. Εάν η ανισότητα και στις δύο πλευρές δεν είναι αυστηρή, τότε παίρνουμε ένα τμήμα. Εάν από τη μία πλευρά αποδειχθεί "ανοιχτό", τότε θα ονομάζεται μισό διάστημα. Τέλος, εάν ένα τμήμα μιας γραμμής οριοθετείται και στις δύο πλευρές από κοίλα σημεία, θα ονομάζεται διάστημα.
Αεροπλάνο
Όταν κατασκευάζουμε δύο ευθείες στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορούμε ήδη να εξετάσουμε τα γραφήματα των συναρτήσεων. Ας υποθέσουμε ότι η οριζόντια γραμμή είναι ο άξονας του χρόνου και η κάθετη γραμμή είναι η απόσταση. Και τώρα είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε ποια απόσταση θα ξεπεράσει το αντικείμενο σε ένα λεπτό ή μία ώρα ταξιδιού. Έτσι, η εργασία με ένα επίπεδο καθιστά δυνατή την παρακολούθηση της αλλαγής στην κατάσταση ενός αντικειμένου. Αυτό είναι πολύ πιο ενδιαφέρον από την εξερεύνηση μιας στατικής κατάστασης.
Το απλούστερο γράφημα σε ένα τέτοιο επίπεδο είναι μια ευθεία γραμμή, αντικατοπτρίζει τη συνάρτηση Y(X)=aX + b. Λυγίζει η γραμμή; Αυτό σημαίνει ότι το αντικείμενο αλλάζει τα χαρακτηριστικά του κατά τη διάρκεια της μελέτης.
Φανταστείτε ότι στέκεστε στην ταράτσα ενός κτιρίου κρατώντας μια πέτρα στο απλωμένο χέρι σας. Όταν το αφήσετε, θα πετάξει προς τα κάτω, ξεκινώντας την κίνησή του από μηδενική ταχύτητα. Όμως σε ένα δευτερόλεπτο θα ξεπεράσει τα 36 χιλιόμετρα την ώρα. Η πέτρα θα συνεχίσει να επιταχύνει περαιτέρω και για να σχεδιάσετε την κίνησή της στο γράφημα, θα χρειαστεί να μετρήσετε την ταχύτητά της σε πολλά σημεία του χρόνου, θέτοντας σημεία στον άξονα στα κατάλληλα σημεία.
Τα σημάδια στην οριζόντια γραμμή συντεταγμένων από προεπιλογή ονομάζονται X1, X2, X3 και στην κατακόρυφο - Y1, Y2, Y3, αντίστοιχα. προβάλλονταςτους στο επίπεδο και βρίσκοντας τις τομές, βρίσκουμε θραύσματα του προκύπτοντος σχεδίου. Συνδέοντάς τα με μία γραμμή, παίρνουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. Σε περίπτωση πτώσης πέτρας, η τετραγωνική συνάρτηση θα μοιάζει με: Y(X)=aXX + bX + c.
Κλίμακα
Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να βάζουμε ακέραιες τιμές δίπλα σε διαιρέσεις με ευθεία γραμμή. Εάν σκέφτεστε την κίνηση ενός σαλιγκαριού που σέρνεται με ταχύτητα 0,03 μέτρα ανά λεπτό, ορίστε ως τιμές στο κλάσμα συντεταγμένων. Σε αυτήν την περίπτωση, ορίστε το διάστημα της κλίμακας στα 0,01 μέτρα.
Είναι ιδιαίτερα βολικό να εκτελείτε τέτοια σχέδια σε ένα σημειωματάριο σε ένα κλουβί - εδώ μπορείτε να δείτε αμέσως εάν υπάρχει αρκετός χώρος στο φύλλο για το διάγραμμά σας, εάν υπερβείτε τα περιθώρια. Δεν είναι δύσκολο να υπολογίσετε τη δύναμή σας, επειδή το πλάτος του κελιού σε ένα τέτοιο σημειωματάριο είναι 0,5 εκατοστά. Πήρε - μείωσε την εικόνα. Οι αλλαγές στην κλίμακα του γραφήματος δεν θα οδηγήσουν σε απώλεια ή αλλαγή των ιδιοτήτων του.
Συντεταγμένες σημείου και τμήματος
Όταν δίνεται ένα μαθηματικό πρόβλημα σε ένα μάθημα, μπορεί να περιέχει τις παραμέτρους διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων, τόσο με τη μορφή μήκους πλευρών, περιμέτρου, εμβαδού, όσο και με τη μορφή συντεταγμένων. Σε αυτήν την περίπτωση, ίσως χρειαστεί να δημιουργήσετε ένα σχήμα και να λάβετε ορισμένα δεδομένα που σχετίζονται με αυτό. Τίθεται το ερώτημα: πώς να βρείτε τις απαιτούμενες πληροφορίες στη γραμμή συντεταγμένων; Και πώς να φτιάξετε ένα σχήμα;
Για παράδειγμα, μιλάμε για ένα σημείο. Στη συνέχεια θα εμφανιστεί ένα κεφαλαίο γράμμα στην κατάσταση του προβλήματος και αρκετοί αριθμοί θα εμφανίζονται σε αγκύλες, πιο συχνά δύο (αυτό σημαίνει ότι θα μετρήσουμε σε δισδιάστατο χώρο). Εάν υπάρχουν τρεις αριθμοί σε αγκύλες, που χωρίζονται με ερωτηματικό ή κόμμα, τότε αυτό είναι ένα τρισδιάστατο διάστημα. Κάθε μία από τις τιμές είναι μια συντεταγμένη στον αντίστοιχο άξονα: πρώτα κατά μήκος της οριζόντιας (X), μετά κατά μήκος της κάθετης (Y).
Θυμάστε πώς να σχεδιάσετε ένα τμήμα; Το πέρασες στη γεωμετρία. Εάν υπάρχουν δύο σημεία, τότε μπορεί να τραβήξει μια γραμμή μεταξύ τους. Οι συντεταγμένες τους υποδεικνύονται σε αγκύλες εάν εμφανίζεται ένα τμήμα στο πρόβλημα. Για παράδειγμα: A(15, 13) - B(1, 4). Για να δημιουργήσετε μια τέτοια γραμμή, πρέπει να βρείτε και να σημειώσετε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων και στη συνέχεια να τα συνδέσετε. Αυτό είναι!
Και όλα τα πολύγωνα, όπως γνωρίζετε, μπορούν να σχεδιαστούν χρησιμοποιώντας τμήματα. Το πρόβλημα λύθηκε.
Υπολογισμοί
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο αντικείμενο του οποίου η θέση κατά μήκος του άξονα Χ χαρακτηρίζεται από δύο αριθμούς: ξεκινά από το σημείο με συντεταγμένη (-3) και τελειώνει στο (+2). Αν θέλουμε να μάθουμε το μήκος αυτού του αντικειμένου, τότε πρέπει να αφαιρέσουμε τον μικρότερο αριθμό από τον μεγαλύτερο αριθμό. Σημειώστε ότι ένας αρνητικός αριθμός απορροφά το πρόσημο της αφαίρεσης, γιατί «το μείον επί το μείον ισούται με συν». Έτσι προσθέτουμε (2+3) και παίρνουμε 5. Αυτό είναι το απαιτούμενο αποτέλεσμα.
Άλλο παράδειγμα: μας δίνεται το τελικό σημείο και το μήκος του αντικειμένου, αλλά όχι το σημείο έναρξης (και πρέπει να το βρούμε). Έστω η θέση του γνωστού σημείου (6) και το μέγεθος του υπό μελέτη αντικειμένου είναι (4). Αφαιρώντας το μήκος από την τελική συντεταγμένη, παίρνουμε την απάντηση. Σύνολο: (6 - 4)=2.
Αρνητικοί αριθμοί
Συχνά στην πράξη απαιτείται η εργασία με αρνητικές τιμές. Σε αυτή την περίπτωση θαμετακινηθείτε προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα αντικείμενο ύψους 3 εκατοστών επιπλέει στο νερό. Το ένα τρίτο του είναι βυθισμένο σε υγρό, τα δύο τρίτα είναι στον αέρα. Στη συνέχεια, επιλέγοντας την επιφάνεια του νερού ως άξονα, παίρνουμε δύο αριθμούς χρησιμοποιώντας τους απλούστερους αριθμητικούς υπολογισμούς: το πάνω σημείο του αντικειμένου έχει τη συντεταγμένη (+2) και το κάτω - (-1) εκατοστό.
Είναι εύκολο να δούμε ότι στην περίπτωση ενός επιπέδου, έχουμε τέσσερα τέταρτα της γραμμής συντεταγμένων. Κάθε ένα από αυτά έχει τον δικό του αριθμό. Στο πρώτο (πάνω δεξιά) μέρος θα υπάρχουν σημεία με δύο θετικές συντεταγμένες, στο δεύτερο - επάνω αριστερά - οι τιμές του άξονα X θα είναι αρνητικές και κατά μήκος του άξονα Y - θετικές. Το τρίτο και το τέταρτο μετρώνται περαιτέρω αριστερόστροφα.
Σημαντική ιδιοκτησία
Γνωρίζετε ότι μια γραμμή μπορεί να αναπαρασταθεί ως άπειρος αριθμός σημείων. Μπορούμε να δούμε όσο προσεκτικά θέλουμε οποιονδήποτε αριθμό τιμών σε κάθε κατεύθυνση του άξονα, αλλά δεν θα συναντήσουμε επαναλαμβανόμενες. Φαίνεται αφελές και κατανοητό, αλλά αυτή η δήλωση πηγάζει από ένα σημαντικό γεγονός: κάθε αριθμός αντιστοιχεί σε ένα και μόνο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων.
Συμπέρασμα
Να θυμάστε ότι οποιοιδήποτε άξονες, σχήματα και, αν είναι δυνατόν, γραφικά πρέπει να είναι χτισμένα σε χάρακα. Οι μονάδες μέτρησης δεν εφευρέθηκαν τυχαία από τον άνθρωπο - εάν κάνετε λάθος όταν σχεδιάζετε, διατρέχετε τον κίνδυνο να δείτε μια διαφορετική εικόνα από αυτή που θα έπρεπε.
Να είστε προσεκτικοί και ακριβείς στη σχεδίαση και στους υπολογισμούς. Όπως κάθε επιστήμη που μελετάται στο σχολείο, τα μαθηματικά αγαπούν την ακρίβεια. Βάλε λίγη προσπάθεια και καλάοι αξιολογήσεις δεν θα αργήσουν να έρθουν.
