Στερεομετρία είναι η μελέτη των χαρακτηριστικών τρισδιάστατων γεωμετρικών σχημάτων. Ένα από τα γνωστά ογκομετρικά σχήματα που εμφανίζεται σε προβλήματα γεωμετρίας είναι ένα ευθύ πρίσμα. Ας εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο τι είναι και ας περιγράψουμε επίσης λεπτομερώς ένα πρίσμα με τριγωνική βάση.
Το πρίσμα και οι τύποι του
Ένα πρίσμα είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα παράλληλης μετάφρασης ενός πολυγώνου στο διάστημα. Ως αποτέλεσμα αυτής της γεωμετρικής πράξης, σχηματίζεται ένα σχήμα, που αποτελείται από πολλά παραλληλόγραμμα και δύο ίδια πολύγωνα παράλληλα μεταξύ τους. Τα παραλληλόγραμμα είναι οι πλευρές του πρίσματος και τα πολύγωνα είναι οι βάσεις του.
Οποιοδήποτε πρίσμα έχει n+2 πλευρές, 3n άκρες και 2n κορυφές, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών ή των πλευρών της πολυγωνικής βάσης. Η εικόνα δείχνει ένα πενταγωνικό πρίσμα που έχει 7 πλευρές, 10 κορυφές και 15 άκρες.
Η εξεταζόμενη κατηγορία σχημάτων αντιπροσωπεύεται από διάφορους τύπους πρισμάτων. Τα παραθέτουμε εν συντομία:
- κοίλη και κυρτή;
- λοξό και ίσιο;
- λάθος και σωστό.
Κάθε αριθμός ανήκει σε έναν από τους τρεις αναφερόμενους τύπους ταξινόμησης. Κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, είναι ευκολότερο να κάνετε υπολογισμούς για κανονικά και ευθύγραμμα πρίσματα. Το τελευταίο θα συζητηθεί με περισσότερες λεπτομέρειες στις επόμενες παραγράφους του άρθρου.
Τι είναι ένα ευθύ πρίσμα;
Ένα ευθύ πρίσμα είναι ένα κοίλο ή κυρτό, κανονικό ή ακανόνιστο πρίσμα, στο οποίο όλες οι πλευρές αντιπροσωπεύονται από τετράπλευρα με γωνίες 90°. Αν τουλάχιστον ένα από τα τετράγωνα των πλευρών δεν είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, τότε το πρίσμα ονομάζεται λοξό. Ένας άλλος ορισμός μπορεί επίσης να δοθεί: ένα ευθύ πρίσμα είναι ένα τέτοιο σχήμα μιας δεδομένης κατηγορίας στην οποία οποιαδήποτε πλευρική ακμή είναι ίση με το ύψος. Κάτω από το ύψος h του πρίσματος, θεωρείται η απόσταση μεταξύ των βάσεων του.
Και οι δύο ορισμοί που δίνονται ότι είναι ένα άμεσο πρίσμα είναι ίσοι και αυτάρκεις. Από αυτά προκύπτει ότι όλες οι δίεδρες γωνίες μεταξύ οποιασδήποτε βάσης και κάθε πλευράς είναι 90°.
Ειπώθηκε παραπάνω ότι είναι βολικό να εργάζεστε με ευθείες φιγούρες κατά την επίλυση προβλημάτων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το ύψος ταιριάζει με το μήκος της πλευρικής πλευράς. Το τελευταίο γεγονός διευκολύνει τη διαδικασία υπολογισμού του όγκου ενός σχήματος και του εμβαδού της πλευρικής του επιφάνειας.
Όγκος ενός άμεσου πρίσματος
Όγκος - μια τιμή εγγενής σε οποιοδήποτε χωρικό σχήμα, η οποία αντικατοπτρίζει αριθμητικά το τμήμα του χώρου που περικλείεται μεταξύ των επιφανειών του εξεταζόμενουαντικείμενο. Ο όγκος ενός πρίσματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο γενικό τύπο:
V=Soh.
Δηλαδή, το γινόμενο του ύψους και του εμβαδού της βάσης θα δώσει την επιθυμητή τιμή V. Εφόσον οι βάσεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσες, τότε για να προσδιορίσετε την περιοχή So μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε από αυτά.
Το πλεονέκτημα της χρήσης του παραπάνω τύπου ειδικά για ένα ευθύ πρίσμα σε σύγκριση με τους άλλους τύπους του είναι ότι είναι πολύ εύκολο να βρεθεί το ύψος της φιγούρας, αφού συμπίπτει με το μήκος της πλευρικής ακμής.
Πλάγια περιοχή
Είναι βολικό να υπολογίσετε όχι μόνο τον όγκο για ένα ευθύ σχήμα της υπό εξέταση κατηγορίας, αλλά και την πλευρική του επιφάνεια. Πράγματι, οποιαδήποτε πλευρά του είναι είτε ορθογώνιο είτε τετράγωνο. Κάθε μαθητής ξέρει πώς να υπολογίσει το εμβαδόν αυτών των επίπεδων ψηφίων, γι' αυτό είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε τις γειτονικές πλευρές μεταξύ τους.
Υποθέστε ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα αυθαίρετο n-γόνιο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με ai. Ο δείκτης i κυμαίνεται από 1 έως n. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου υπολογίζεται ως εξής:
Si=aih.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας Sbείναι εύκολο να υπολογιστεί αν αθροιστούν όλα τα εμβαδά Si ορθογώνια. Σε αυτήν την περίπτωση, παίρνουμε τον τελικό τύπο για το Sbευθύ πρίσμα:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Έτσι, για να προσδιορίσετε την πλευρική επιφάνεια για ένα ευθύ πρίσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ύψος του με την περίμετρο μιας βάσης.
Πρόβλημα με τριγωνικό πρίσμα
Υποθέστε ότι δίνεται ένα ευθύ πρίσμα. Η βάση είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Τα σκέλη αυτού του τριγώνου είναι 12 cm και 8 cm. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του σχήματος και τη συνολική του επιφάνεια αν το ύψος του πρίσματος είναι 15 cm.
Πρώτα, ας υπολογίσουμε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος. Το τρίγωνο (ορθογώνιο) που βρίσκεται στις βάσεις του έχει εμβαδόν:
So=a1a2/2=128/2=48cm2.
Όπως μπορείτε να μαντέψετε, το a1 και το a2 είναι σκέλη σε αυτήν την εξίσωση. Γνωρίζοντας την περιοχή βάσης και το ύψος (δείτε την κατάσταση του προβλήματος), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το V:
V=Soh=4815=720cm3.
Η συνολική επιφάνεια του σχήματος σχηματίζεται από δύο μέρη: τις περιοχές των βάσεων και την πλευρική επιφάνεια. Τα εμβαδά των δύο βάσεων είναι:
S2o=2So=482=96cm2.
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας, πρέπει να γνωρίζετε την περίμετρο ενός ορθογώνιου τριγώνου. Υπολογίστε με το Πυθαγόρειο θεώρημα την υποτείνησή του a3, έχουμε:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 εκ.
Τότε η περίμετρος του τριγώνου της βάσης του δεξιού πρίσματος θα είναι:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 εκ.
Εφαρμογή του τύπου για Sb, που γράφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο,λάβετε:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
Προσθέτοντας τις περιοχές των S2o και Sb, λαμβάνουμε τη συνολική επιφάνεια του μελετημένου γεωμετρικού σχήματος:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
Ένα τριγωνικό πρίσμα, το οποίο είναι κατασκευασμένο από ειδικούς τύπους γυαλιού, χρησιμοποιείται στην οπτική για τη μελέτη των φασμάτων των αντικειμένων που εκπέμπουν φως. Τέτοια πρίσματα είναι σε θέση να αποσυνθέσουν το φως σε συχνότητες συστατικών λόγω του φαινομένου της διασποράς.
